2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第14课__对数函数

____第14课__对__数__函__数____

1. 理解对数函数的定义、图象和性质．

2. 能用对数函数的性质比较两个对数的大小．

3. 能用对数函数的图象和性质来解决简单的综合性问题.

1. 阅读必修1第81～87页，完成以下任务：

(1) 对数函数的概念是什么？通过第83页例1，掌握求对数函数定义域的方法．

(2) 对数函数的图象和性质是怎样的？通过第83页例2，掌握比较对数大小的方法．

(3) 通过第84～85页例3、例4，掌握对数函数图象的变换．

2. 由重点题目第87页习题第8、14题进一步观察和探究对数函数的图象和性质.

　基础诊断　

1. 函数y＝log2(x－x2)的定义域是__(0，1)__，值域是__(－∞，－2]__， 单调增区间是____．

解析：由题意得，x－x2>0，解得0<x<1，故函数y＝log2(x－x2)的定义域为(0，1)；

因为y＝log2(x－x2)

＝log2≤log2＝－2，

所以函数的值域为(－∞，－2]；

因为y＝log2t是单调增函数，所以函数g(x)＝x－x2的增区间即为原函数的增区间．因为g(x)＝x－x2在上单调递增，故原函数的单调增区间为.

2. 函数f(x)＝的定义域为__(0，]__．

解析：由题意得解得0<x≤，故函数f(x)的定义域为(0，]．

3. 若－1<loga<1，则实数a的取值范围为__∪__．

解析：由－1<loga<1得loga<loga<logaa.若0<a<1，则函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，所以>>a，解得0<a<；若a>1，则函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，所以<<a，解得a>.

综上，a的取值范围为∪.

4. 已知a∈R，函数f(x)＝log2，若关于x的方程f(x)＋log2x2＝0的解集中恰有一个元素，则a的值为__－或0__．

解析：由题意得log2＋log2x2＝0，即log2(ax2＋x)＝0，即ax2＋x－1＝0.

当a＝0时，解得x＝1，符合题意；

当a≠0时，Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.

综上，a的值为0或－.

　范例导航　

考向❶  含对数式的大小比较

例1　比较下列各组数中两个值的大小：

(1) log23.4，log28.5；

(2) log0.31.8，log0.32.7；

(3) loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．

解析：(1) 根据函数y＝log2x单调递增可得log23.4<log28.5.　

(2) 根据函数y＝log0.3x单调递减可得log0.31.8>log0.32.7.

(3) 函数y＝logax的单调性需分两种情况讨论：

①当0<a<1时，函数y＝logax单调递减，

所以loga5.1>loga5.9；

②当a>1时，函数y＝logax单调递增，

所以loga5.1<loga5.9.

比较下列各组数的大小．

(1) log3与log5；

(2) log1.10.7与log1.20.7；

(3) 已知logb<loga<logc，比较2a，2b，2c的大小．

解析：(1) 因为log3<log31＝0，log5>log51＝0，所以log3<log5.

(2) 方法一：因为0<0.7<1，1.1<1.2，

所以0>log0.71.1>log0.71.2，

所以<，

由换底公式可得log1.10.7<log1.20.7.

方法二：作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象，

如图所示，由两图象与直线x＝0.7相交可知log1.10.7<log1.20.7.

(3) 因为y＝logx为减函数，且logb<loga<logc，所以b>a>c.

考向❷  对数函数的图象(变换)与性质

例2　已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若对于任意的x∈都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．

解析：因为f(x)＝logax，则y＝|f(x)|的图象如图所示．由图可知，要使x∈时恒有|f(x)|≤1,

只需|f|≤1，即－1≤loga≤1，即logaa－1≤loga≤logaa.

当a>1时，a－1≤≤a，解得a≥3；

当0<a<1时，a－1≥≥a，解得0<a≤.

综上所述，a的取值范围是∪[3，＋∞)．

(1) 已知函数f(x)＝|lg x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围为__(3，＋∞)__；

解析：画出函数f(x)＝|lg x|的图象如图所示．

因为0<a<b，f(a)＝f(b)，所以0<a<1，b>1，所以lg a<0，lg b>0.又因为f(a)＝f(b)，所以－lg a＝lg b，即ab＝1，所以a＋2b＝a＋，易证μ＝a＋在区间(0，1)上单调递减，所以μ>3，即a＋2b>3.

(2) 已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则f(－2)__<__f(a＋1)．(填“<”“＝”或“>”)

解析：因为f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，所以a＋1>2.因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)<f(a＋1).

考向❸  对数函数的图象与性质的综合运用

例3　已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.

(1) 求f(x)的定义域；

(2) 判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(3) 若a>1，求使f(x)>0的x的解集．

解析：(1) 由题意得

解得－1<x<1.

故所求函数f(x)的定义域为{x|－1<x<1}．

(2) 由(1)知f(x)的定义域为{x|－1<x<1}，

且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，

故f(x)为奇函数．

(3) 因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－1<x<1}上是增函数，所以由f(x)>0，得>1，

解得0<x<1，

所以使f(x)>0的x的解集是{x|0<x<1}．

　自测反馈　

1. 设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a，b，c的大小关系为__a>b>c__．

解析：a＝log3π>1，b＝log23，则<b<1，c＝log32<，所以a>b>c.

2. 已知函数f(x)＝ln(a≠2)为奇函数，则实数a＝__－2__．

解析：依题意有f(－x)＋f(x)＝ln＋ln＝0，即·＝1，故1－a2x2＝1－4x2，所以a2＝4.又a≠2，故a＝－2.

3. 已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)的值为____．

解析：因为1<log23<2，所以3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)，因为4<3＋log23<5，所以f(3＋log23)＝＝×＝×2log23－1＝×＝.

4. 定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f＝0，则满足f>0的x的取值范围是__∪(2，＋∞)__．

解析：由题意得，f(logx)>f，因为f(x)为R上的偶函数且在[0，＋∞)上单调递增可得，logx>或logx<－，解得0<x<或x>2，故x的取值范围是∪(2，＋∞)．

1. 对数函数的底数与真数应满足的条件必须重视，对于含参数问题，一般都需分类讨论．

2. 比较对数大小时，先与0比较分正负；正数与1比较，分大于1还是小于1.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用．

3. 你还有哪些体悟，写下来：