2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第5课__函数的概念

第二章　函　　数

____第5课__函数的概念____

1. 体会函数是描述两个变量之间依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念．

2. 了解构成函数的要素有定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域．

3. 了解映射的概念，进一步了解函数是非空数集到非空数集的映射.

1. 阅读：必修1第23～27页及第46页．

2. 解悟：①读懂函数定义，并思考初中的函数定义与高中课本函数的定义是否相同？《函数》这一章节为何置于《集合》章节之后？②圈画函数定义中的关键词，准确理解函数的概念，并思考式子y2＝x中变量y是变量x的函数吗？为什么？③阅读第46页，思考映射和函数有什么区别和联系？ 怎样的映射不是函数，你能举例吗？④函数的三要素有哪些？怎样才能算相同的函数？至少需要满足几个条件？

3. 践习：在教材空白处，完成第26～27页练习第4、6、7题.

　基础诊断　

1. 下列对应法则f中，不是从A到B的函数的序号是__③__．

①A＝，B＝{－6，－3，1}，f＝－6，f(1)＝－3，f＝1；

②A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；

③A＝B＝{1，2，3}，f(x)＝2x－1；

④A＝B＝{x|x≥1}，f(x)＝2x＋1；

⑤A＝Z，B＝{－1，1}，当n为奇数时，f(n)＝－1；当n为偶数时，f(n)＝1.

解析：根据函数的定义，①②④⑤中，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与它对应；在③中f(3)＝5，集合B中没有元素与集合A中的3对应，故不是从A到B的函数．

2.  判断下面说法是否正确．(在括号中画“√”或“”)

(1)  f(x)＝与g(x)＝表示同一函数．(　　)

解析：因为函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，函数g(x)的定义域为R，定义域不同，所以表示的不是同一函数，故是错误的．

(2) 若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相同. (　　)

解析：若两个函数的定义域、值域和对应法则都相同，则这两个函数相同，故是错误的．

(3) 若函数f(x)的定义域为{x|1≤x<3}，则函数f(2x－1)的定义域为{x|1≤x<5}．(　　)

解析：若函数f(x)的定义域为{x|1≤x<3}，所以1≤2x－1<3，解得1≤x<2，所以函数f(2x－1)的定义域为{x|1≤x<2}，故是错误的．

(4) 函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个．(　√　)

解析：根据函数的定义，对于定义域内的任意一个自变量x，存在唯一的函数值y与之对应，所以函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有一个．

(5) 函数f(x)＝＋1的值域是[1，＋∞)．(　　)

解析：因为x2≥0，所以x2＋4≥4，所以≥2，所以f(x)＝＋1≥3，所以函数f(x)＝＋1的值域是[1，＋∞)是错误的．

(6) f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数．(　√　)

解析：因为函数f(x)与函数g(x)的定义域、对应法则和值域都相同，故函数f(x)与函数g(x)是同一函数．

3. 设一函数的解析式为f(x)＝2x＋3，它的值域为{－1，2，5，8}，则函数f(x)的定义域为____．

解析：当f(x)＝－1时，2x＋3＝－1，解得x＝－2；

当f(x)＝2时，2x＋3＝2，解得x＝－；

当f(x)＝5时，2x＋3＝5，解得x＝1；

当f(x)＝8时，2x＋3＝8，解得x＝，

所以函数f(x)的定义域为.

4.  函数y＝f(x＋1)的值域为[3，5]，则函数y＝2f(x)的值域为__[6，10]__．

解析：因为函数y＝f(x＋1)的值域为[3，5]，函数f(x)是将函数f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度得到的，所以f(x)的值域也为[3，5]，所以2f(x)的值域为[6，10]．

5. 若函数y＝的定义域为R，则a的取值范围是__[0，8]__．

解析：由题意得a＝0或解得0≤a≤8，所以a∈[0，8]．

　范例导航　

考向❶  求函数的定义域

例1　求下列函数的定义域：

(1) y＝＋；

(2) y＝.

解析：(1) 由题意得解得x≠±2或x≥1或x≤－1，故函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1，2)∪(2，＋∞)．

(2) 由题意0<2－x<1，解得1<x<2，故函数的定义域为(1，2)．

已知函数f(x)＝，若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．记y＝g(x)的定义域为A，不等式x2－(2a－1)x＋a(a－1)≤0的解集为B.若A是B的真子集，求实数a的取值范围．

解析：由题意得g(x)＝－，

所以解得－1<x≤－，

所以A＝.

解不等式x2－(2a－1)x＋a(a－1)≤0，

解得a－1≤x≤a，

即B＝[a－1，a]．

因为A是B的真子集，

所以解得－≤a≤0，

故a的取值范围是.

考向❷  求函数的值域

例2　求下列函数的值域：

(1) y＝x2＋2x(x∈[0，3])；

(2) y＝(x≤－2)；

(3) y＝x－；

(4) y＝log3x＋logx3－1.

解析：(1) 因为y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，

所以该函数在[0，3]上单调递增，

所以该函数在[0，3]上的最大值为15，最小值为0，

所以函数的值域为[0，15]．

(2) 由题意得y＝＝2－.

因为x≤－2，所以－1≤<0，

所以0<－≤5，所以2<2－≤7，

故该函数的值域为(2，7]．

(3) 令＝t，t≥0，所以x＝，

所以原函数可转化为y＝－t＝－(t＋1)2＋1，

因为t≥0，所以函数在[0，＋∞)上单调递减，

所以y≤，所以原函数的值域为.

(4) y＝log3x＋logx3－1＝log3x＋－1，

所以若log3x>0，则log3x＋－1≥1，当且仅当log3x＝，即log3x＝1时取等号，

此时y≥1；

若log3x<0，则－－1≤－2－1＝－3，当且仅当log3x＝－1时等号成立，

此时y≤－3，

所以原函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．

求下列函数的值域：

(1) y＝；

(2)  y＝(x>－1)．

解析：(1) 由题意得y＝＝1－＝1－.

因为＋≥，

所以0<≤，所以－≤y<1，

故函数的值域为.

(2) 由题意得y＝＝＝(x＋1)＋.

因为x>－1，所以x＋1>0，

所以(x＋1)＋≥2，当且仅当(x＋1)＝，即x＝时取等号，

故函数的值域为[2，＋∞).

考向❸  函数定义域和值域的综合

例3　已知函数f(x)＝＋.

(1) 求函数f(x)的定义域和值域；

(2) 设f(x)＝{[f(x)]2－2}＋f(x)(a为实数)，当a<0时，求f(x)的最大值g(a)．

解析：(1) 由题意得解得－1≤x≤1，

所以函数的定义域为[－1，1]．

又[f(x)]2＝2＋2∈[2，4]，f(x)≥0，

所以f(x)∈[，2]．

(2) f(x)＝{[f(x)]2－2}＋f(x)＝a＋＋，

令t＝f(x)＝＋，则＝t2－1，

所以f(x)＝m(t)＝a＋t＝at2＋t－a，t∈[，2]．

由题意知g(a)即为函数m(t)＝at2＋t－a，t∈[，2]的最大值，t＝－是抛物线m(t)＝at2＋t－a的对称轴．

因为a<0时，函数y＝m(t)，t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，

①若t＝－∈(0，]，即a≤－，则g(a)＝m()＝；

②若t＝－∈(，2]，即－<a≤－，则g(a)＝m＝－a－；

③若t＝－∈(2，＋∞)，即－<a<0，则g(a)＝m(2)＝a＋2.

综上所述，

g(a)＝

　自测反馈　

1.  函数y＝的定义域为(－1，1)．

解析：由题意得解得所以－1<x<1，故定义域为(－1，1)．

2. 若函数f(x)＝的定义域为R，则实数k的取值范围是____．

解析：由题意得kx2＋4kx＋3＝0无解，所以k＝0或

解得0≤k<，故实数k的取值范围是.

3. 若函数y＝的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域为__(－∞，0)∪__．

解析：因为函数y＝的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，且在区间(－∞，1)和[2，5)上单调递减，当x∈(－∞，1)时，y<0；当x∈[2，5)时，<y≤2，即函数的值域为(－∞，0)∪.

4. 若函数y＝的值域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，则实数a的值为__4__．

解析：由题意得≠－2，化简得(a－4)x≠－5，要使x取任意值时，(a－4)x≠－5恒成立，所以a＝4.故实数a的值为4.

1. 初中函数是看成刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型，高中将函数定义为建立在两个非空数集上的单值对应，同时高中函数的种类有所增加，如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等．

2. 准确理解函数定义中的关键词(非空数集，对应法则，每一个，唯一，定义域)

3. 你还有哪些体悟，写下来：