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    2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案:第5课__函数的概念
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    2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案:第5课__函数的概念

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    第二章 函  数

     

    ____5__函数的概念____

    1. 体会函数是描述两个变量之间依赖关系的重要数学模型,理解函数的概念.

    2. 了解构成函数的要素有定义域、对应法则、值域,会求一些简单函数的定义域和值域.

    3. 了解映射的概念,进一步了解函数是非空数集到非空数集的映射.

    1. 阅读:必修12327页及第46页.

    2. 解悟:读懂函数定义,并思考初中的函数定义与高中课本函数的定义是否相同?《函数》这一章节为何置于《集合》章节之后?圈画函数定义中的关键词,准确理解函数的概念,并思考式子y2x中变量y是变量x的函数吗?为什么?阅读第46页,思考映射和函数有什么区别和联系? 怎样的映射不是函数,你能举例吗?函数的三要素有哪些?怎样才能算相同的函数?至少需要满足几个条件?

    3. 践习:在教材空白处,完成第2627页练习第467.

     基础诊断 

    1. 下列对应法则f中,不是从AB的函数的序号是____

    AB{6,-31}f=-6f(1)=-3f1

    A{123}B{789}f(1)f(2)7f(3)8

    AB{123}f(x)2x1

    AB{x|x1}f(x)2x1

    AZB{11},当n为奇数时,f(n)=-1;当n为偶数时,f(n)1.

    解析:根据函数的定义,①②④⑤中,对于集合A中的每一个元素,在集合B中都有唯一的元素与它对应;在f(3)5,集合B中没有元素与集合A中的3对应,故不是从AB的函数.

    2.  判断下面说法是否正确.(在括号中画“√”)

    (1)  f(x)g(x)表示同一函数.(  )

    解析:因为函数f(x)的定义域为{x|x0},函数g(x)的定义域为R,定义域不同,所以表示的不是同一函数,故是错误的.

    (2) 若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相同. (  )

    解析:若两个函数的定义域、值域和对应法则都相同,则这两个函数相同,故是错误的.

    (3) 若函数f(x)的定义域为{x|1x<3},则函数f(2x1)的定义域为{x|1x<5}(  )

    解析:若函数f(x)的定义域为{x|1x<3},所以12x1<3,解得1x<2,所以函数f(2x1)的定义域为{x|1x<2},故是错误的.

    (4) 函数yf(x)的图象与直线x1的交点最多有1个.(  )

    解析:根据函数的定义,对于定义域内的任意一个自变量x,存在唯一的函数值y与之对应,所以函数yf(x)的图象与直线x1的交点最多有一个.

    (5) 函数f(x)1的值域是[1,+)(  )

    解析:因为x20,所以x244,所以2,所以f(x)13,所以函数f(x)1的值域是[1,+)是错误的.

    (6) f(x)x22x1g(t)t22t1是同一函数.(  )

    解析:因为函数f(x)与函数g(x)的定义域、对应法则和值域都相同,故函数f(x)与函数g(x)是同一函数.

    3. 设一函数的解析式为f(x)2x3,它的值域为{1258},则函数f(x)的定义域为____

    解析:当f(x)=-1时,2x3=-1,解得x=-2

    f(x)2时,2x32,解得x=-

    f(x)5时,2x35,解得x1

    f(x)8时,2x38,解得x

    所以函数f(x)的定义域为.

    4.  函数yf(x1)的值域为[35],则函数y2f(x)的值域为__[610]__

    解析:因为函数yf(x1)的值域为[35],函数f(x)是将函数f(x1)的图象向右平移1个单位长度得到的,所以f(x)的值域也为[35],所以2f(x)的值域为[610]

    5. 若函数y的定义域为R,则a的取值范围是__[08]__

    解析:由题意得a0解得0a8,所以a[08]

     范例导航 

    考向  求函数的定义域

    1 求下列函数的定义域:

    (1) y

    (2) y.

    解析:(1) 由题意得解得x±2x1x1,故函数的定义域为(,-2)(2,-1][12)(2,+)

    (2) 由题意0<2x<1,解得1<x<2,故函数的定义域为(12)

    已知函数f(x),若函数yg(x)yf(x)的图象关于原点对称.记yg(x)的定义域为A,不等式x2(2a1)xa(a1)0的解集为B.AB的真子集,求实数a的取值范围.

    解析:由题意得g(x)=-

    所以解得-1<x

    所以A.

    解不等式x2(2a1)xa(a1)0

    解得a1xa

    B[a1a]

    因为AB的真子集,

    所以解得-a0

    a的取值范围是.

    考向  求函数的值域

    2 求下列函数的值域:

    (1) yx22x(x[03])

    (2) y(x2)

    (3) yx

    (4) ylog3xlogx31.

    解析:(1) 因为yx22x(x1)21

    所以该函数在[03]上单调递增,

    所以该函数在[03]上的最大值为15,最小值为0

    所以函数的值域为[015]

    (2) 由题意得y2.

    因为x2,所以-1<0

    所以0<5,所以2<27

    故该函数的值域为(27]

    (3) tt0,所以x

    所以原函数可转化为yt=-(t1)21

    因为t0,所以函数在[0,+)上单调递减,

    所以y,所以原函数的值域为.

    (4) ylog3xlogx31log3x1

    所以若log3x>0,则log3x11,当且仅当log3x,即log3x1时取等号,

    此时y1

    log3x<0,则-121=-3,当且仅当log3x=-1时等号成立,

    此时y3

    所以原函数的值域为(,-3][1,+)

    求下列函数的值域:

    (1) y

    (2)  y(x>1)

    解析:(1) 由题意得y11.

    因为

    所以0<,所以-y<1

    故函数的值域为.

    (2) 由题意得y(x1).

    因为x>1,所以x1>0

    所以(x1)2,当且仅当(x1),即x时取等号,

    故函数的值域为[2,+).

    考向  函数定义域和值域的综合

    3 已知函数f(x).

    (1) 求函数f(x)的定义域和值域;

    (2) f(x){[f(x)]22}f(x)(a为实数),当a<0时,求f(x)的最大值g(a)

    解析:(1) 由题意得解得-1x1

    所以函数的定义域为[11]

    [f(x)]222[24]f(x)0

    所以f(x)[2]

    (2) f(x){[f(x)]22}f(x)a

    tf(x),则t21

    所以f(x)m(t)atat2tat[2]

    由题意知g(a)即为函数m(t)at2tat[2]的最大值,t=-是抛物线m(t)at2ta的对称轴.

    因为a<0时,函数ym(t)t[2]的图象是开口向下的抛物线的一段,

    t=-(0],即a,则g(a)m()

    t=-(2],即-<a,则g(a)m=-a

    t=-(2,+),即-<a<0,则g(a)m(2)a2.

    综上所述,

    g(a)

     自测反馈 

    1.  函数y的定义域为(11)

    解析:由题意得解得所以-1<x<1,故定义域为(11)

    2. 若函数f(x)的定义域为R,则实数k的取值范围是____

    解析:由题意得kx24kx30无解,所以k0

    解得0k<,故实数k的取值范围是.

    3. 若函数y的定义域是(1)[25),则其值域为__(0)__

    解析:因为函数y的定义域是(1)[25),且在区间(1)[25)上单调递减,当x(1)时,y<0;当x[25)时,<y2,即函数的值域为(0).

    4. 若函数y的值域为(,-2)(2,+),则实数a的值为__4__

    解析:由题意得2,化简得(a4)x5,要使x取任意值时,(a4)x5恒成立,所以a4.故实数a的值为4.

     

    1. 初中函数是看成刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型,高中将函数定义为建立在两个非空数集上的单值对应,同时高中函数的种类有所增加,如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等.

    2. 准确理解函数定义中的关键词(非空数集,对应法则,每一个,唯一,定义域)

    3. 你还有哪些体悟,写下来:

                                        

                                        


     

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