2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第12课__指数函数

____第12课__指__数__函__数____

1. 理解指数函数的概念、图象和性质．

2. 能利用函数图象的平移与对称变换讨论指数函数的图象．

3. 会利用换元法及分类讨论的数学思想，求解一些复杂函数的值域.

1. 阅读必修1第64～67页，理解指数函数的定义和图象特征，能用自己的语言概括第65页表格的内容．

2. 理解教材第66页例2和例3及第67页思考，结合指数函数的图象特征理解左右平移和上下伸缩变换的关系．

3. 完成教材第67页练习第3、5题，加深理解指数函数的图象和性质.

　基础诊断　

1. 下列函数中是指数函数的有__④__．(填序号)

①f(x)＝2·3x；②f(x)＝3；③f(x)＝3x＋1；④f(x)＝(a－1)x(a>1，a≠2)．

解析：由指数函数的定义可知④是指数函数．

2. 不等式6x2＋x－2<1的解集是__(－2，1)__．

解析：由题意得x2＋x－2<0，解得－2<x<1.

3.  如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象，则a，b，c，d的大小关系为__b<a<d<c__.

解析：y轴左、右两侧的图象对应函数的底数按逆时针方向增大，所以c>d>1，1>a>b>0.

4. 已知函数f(x)＝ax－b的图象如图，a，b为常数，则下列结论正确的是__④__．(填序号)

①a>1，b<0；②a>1，b>0；③0<a<1，b>0；④0<a<1，b<0.

解析：由f(x)＝ax－b的图象知函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1；函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.

　范例导航　

考向❶  指数函数的图象及其应用

例1　已知函数y＝.

(1) 作出函数的图象(简图)；

(2) 由图象指出其单调区间；

(3) 由图象指出当x取什么值时函数y＝有最值，并求出最值．

解析：(1) 方法一：由函数解析式可得y＝＝其图象由两部分组成：

一部分是：y＝(x≥0)y＝(x≥－1)；

另一部分是：y＝3x(x<0)

y＝3x＋1(x<－1)．

如图所示．

方法二：①由y＝可知函数是偶函数，其图象关于y轴对称，故先作出y＝的图象，保留x≥0的部分，当x<0时，其图象是将y＝(x≥0)图象关于y轴对折，从而得出y＝的图象．

②将y＝的图象向左平移1个单位长度，即可得y＝的图象，如图所示．

(2) 由图象知函数的单调增区间为(－∞，－1)，单调减区间为(－1，＋∞)．

(3) 由图象知当x＝－1时，有最大值1，无最小值．

若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围为__[－1，1]__．

解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围. 曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：若|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．

考向❷  指数函数的性质及其应用

例2　若函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，求实数a的值．

解析：设t＝ax，则y＝f(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.

①当a>1时，t∈[a－1，a]，所以ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)；

②当0<a<1时，t∈[a，a－1]，所以ymax＝(a－1)2＋2a－1－1＝14，解得a＝或a＝－(舍去)．

故所求a的值为3或.

已知函数f(x)＝x3.

(1) 求f(x)的定义域；

(2) 证明：f(－x)＝f(x)；

(3) 证明：f(x)>0.

解析：(1) 由2x－1≠0得x≠0，

所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

(2) f(x)＝x3可化为f(x)＝·x3，

则f(－x)＝(－x)3＝x3＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．

(3) 当x>0时，2x>1，x3>0，

所以f(x)＝(＋)x3>0.

因为f(－x)＝f(x)，所以当x<0时，f(x)＝f(－x)>0.

综上所述，f(x)>0.

考向❸  运用分类讨论思想解决指数函数的综合问题

例3　已知函数f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)．

(1) 判断函数f(x)的奇偶性；

(2) 讨论函数f(x)的单调性；

(3) 若当x∈[－1，1]时，f(x)≥b恒成立，求实数b的取值范围．

解析：(1) 因为函数定义域为R，关于原点对称，

又因为f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，

所以函数f(x)为奇函数．

(2) 当a>1时，a2－1>0，因为y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，

从而y＝ax－a－x为增函数，

所以函数f(x)为增函数．

当0<a<1时，a2－1<0，

因为y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，

从而y＝ax－a－x为减函数，

所以函数f(x)为增函数．

故当a>0，且a≠1时，函数f(x)在定义域内单调递增．

(3) 由(2)知f(x)在R上是增函数，所以在区间[－1，1]上为增函数，

所以f(－1)≤f(x)≤f(1)，

所以f(x)min＝f(－1)＝(a－1－a)＝·＝－1，

所以要使f(x)≥b在[－1，1]上恒成立，

则只需b≤－1，

故b的取值范围是(－∞，－1]．

　自测反馈　

1.  若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则实数a＝__2__．

解析：因为y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，所以a2－3a＋3＝1，解得a＝2或a＝1(舍去)．

2. 函数y＝的值域是__(0，＋∞)__．

解析：通过换元，令u＝1－x转为指数函数y＝，u∈R，所以y＝的值域为(0，＋∞)，即原函数的值域为(0，＋∞)．

3. 已知函数f(x)＝a2x－1－1(a>0，a≠1)过定点，则此定点坐标为____．

解析：由2x－1＝0得，x＝，则此时f＝a0－1＝0，所以函数f(x)过定点.

4. 已知函数f(x)＝e|x－a| (a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是__(－∞，1]__．

解析：可以利用复合函数的单调性原则，将f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，转化为y＝|x－a|在区间[1，＋∞)上单调递增，即a≤x，故实数a的取值范围为(－∞，1]．

1. 比较两个指数幂大小时，尽量化为同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．

2. 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数均是按逆时针方向变大．

3. 你还有哪些体悟，写下来：