2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第15课__函数的图象与简单变换

____第15课__函数的图象与简单变换____

1. 掌握基本初等函数的图象特征，学会运用函数的图象理解和研究函数的性质．

2. 掌握画函数图象的两种基本方法：描点法和图象变换法．

3.  掌握图象的四种变换：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换.

1. 用描点法画图的基本步骤是什么？所描点的横坐标、纵坐标的含义分别是什么？怎样从函数图象上观察得到函数的一些性质，如：定义域、值域、最值、单调性、对称性等？

2. 完成必修1第111页复习题第11、12题．

3. 若函数y＝f(x)的图象如左图所示，请说明①②③④四个图与原图的关系，并用数学符号表示.

①           ②              ③           ④

　基础诊断　

1. 为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点向__左__(填“左”或“右”)平移__3__个单位长度，再向__下__(填“上”或“下”)平移__1__个单位长度．

解析：因为y＝lg＝lg(x＋3)－lg10＝lg(x＋3)－1，所以只需把函数y＝lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．

2.  已知y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图，则函数f(x)＝f(x)g(x)的图象可以是__①__．(填序号)

①　　②

                        ③　　④

解析：根据f(x)和g(x)的图象，可得g(x)在x＝0处无意义，所以函数f(x)＝f(x)g(x)在x＝0处无意义；因为f(x)与g(x)都为奇函数，所以函数f(x)＝f(x)g(x)是偶函数，故排除④；当x取很小的正数时，f(x)<0，g(x)>0，所以f(x)g(x)<0，故①符合要求．

3. 已知偶函数f(x)(x∈R)满足f(－4)＝f(1)＝0，且在区间[0，3]和(3，＋∞)上分别单调递减和单调递增，则不等式xf(x)<0的解集为__(1，4)∪(－1，0)∪(－∞，－4)__．

解析：因为定义在R上的偶函数f(x)满足f(－4)＝f(1)＝0，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(4)＝f(1)＝f(－1)＝f(－4)＝0，则由函数在区间[0，3]和(3，＋∞)上分别单调递减和单调递增，不等式xf(x)<0，可得或解得1<x<4或－1<x<0或x<－4，故所求不等式的解集为(1，4)∪(－1，0)∪(－∞，－4)．

4. 已知图1是函数y＝f(x)的图象，则图2中的图象对应的函数可能是__③__．(填序号)

图1  　　图2

①y＝f(|x|)；　　②y＝|f(x)|；　

③y＝f(－|x|)；　④y＝－f(－|x|)．

解析：由图2可知，对应的函数为偶函数，所以②错误，且当x>0时，对应的是f(－x)，显然①④不正确，故填③.

　范例导航　

考向❶  根据变换写出函数解析式

例1　将下列变换的结果填在横线上：

(1) 将函数y＝3－x的图象向右平移2个单位长度，得到函数__y＝3－x＋2__的图象；

(2) 将函数y＝tan|x|的图象向右平移3个单位长度，得到函数__y＝tan|x－3|__的图象．

(1) 将函数y＝log2(3x－1)的图象向左平移2个单位长度，得到函数__y＝log2(3x＋5)__的图象；

(2) 将函数y＝(x－2)3的图象上各点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数__y＝__的图象.

考向❷  利用图象变换作函数图象

例2　作出下列函数的图象：

(1) y＝；　　　　(2) y＝|log2x|；

(3) y＝；  (4) y＝log2|x－2|.

解析：(1) 　(2)

(3) 　(4)

已知函数f(x)＝.

(1) 画出f(x)的大致图象；

(2) 指出f(x)的单调区间，并结合图象，指出不等式f(x)<2的解集．

解析：(1) f(x)的图象如图所示：

(2) 由图可知单调增区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)；不等式f(x)<2的解集为(－∞，－2)∪(－1，＋∞).

考向❸  函数图象变换的应用

例3　已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝3|x|－2，则函数f(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是__10__．

解析：f(x)＝f(x)－|lgx|的零点，即为y1＝|lgx|，y2＝f(x)的图象的交点．因为函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝3|x|－2，在同一坐标系中画出y1＝|lgx|，y2＝f(x)的图象，当x＝11时，f(11)＝1，g(11)＝lg11>1，由图可知，函数y1＝|lgx|，y2＝f(x)的图象共有10个交点，故函数F(x)＝f(x)－|lgx|有10个零点．

　自测反馈　

1. 将函数y＝f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将此图象沿x轴方向向左平移2个单位长度，所得图象对应的函数为__y＝f(3x＋6)__．

解析：函数y＝f(x)的图象所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到的函数为y＝f(3x)，再将此图象沿x轴方向向左平移2个单位长度得到函数为y＝f[3(x＋2)]＝f(3x＋6)，故所得图象对应的函数为y＝f(3x＋6)．

2. 若0<a<1，则函数y＝loga(x＋5)不经过第__一__象限．

解析：函数loga(x＋5)的图象可以看作函数y＝logax的图象向左平移5个单位长度得到的，由0<a<1，知函数y＝logax的图象过第一、四象限且单调递减，与x轴交于点(1，0)，故函数y＝loga(x＋5)的图象也单调递减，且过点(－4，0)，由此图象特征知，函数y＝loga(x＋5)的图象不经过第一象限．

3. 若函数y＝log2(x＋1)的图象与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的表达式是__y＝log2(3－x)__．

解析：因为与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称的函数为y＝f(2－x)．又因为函数y＝log2(x＋1)的图象与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2－x)＝log2(x＋1)，设t＝2－x，则x＝2－t，所以f(t)＝log2(2－t＋1)＝log2(3－t)，故函数f(x)的表达式是f(x)＝log2(3－x)．

4. 已知函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是__(－∞，]__．

解析：当a≥0时，f(a)＝－a2≤0，故f(f(a))＝f(－a2)＝a4－a2≤2，解得0≤a≤；当－1<a<0时，f(a)＝a2＋a＝a(a＋1)<0，则f(f(a))＝f(a2＋a)＝(a2＋a)2＋(a2＋a)≤2，即(a2＋a)2＋(a2＋a)－2≤0，所以－2≤a2＋a≤1，解得－≤a≤，所以－1<a<0；当a≤－1时，f(a)＝a2＋a＝a(a＋1)≥0，则f(f(a))＝f(a2＋a)＝－(a2＋a)2≤2，得a∈R，所以a≤－1.

综上，实数a的取值范围是(－∞，]．

1.  熟悉奇(偶)函数的图象特点，灵活运用奇(偶)函数的性质解题．

2. 必须对基本初等函数的图象了然于胸，达到“自动化”的程度，这是画函数图象的基础，复杂函数的图象都要由这些函数的图象通过变换得到.

3. 你还有哪些体悟，写下来：