2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第6章第3节　基本不等式

第三节　基本不等式

[考纲传真]　1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

1．基本不等式：≤

(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．

2．两个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

3．利用基本不等式求最值

已知x≥0，y≥0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．

[常用结论]

1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．

2．ab≤2≤.

3.≤≤≤(a＞0，b＞0)．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　)

(2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)

(3)函数f(x)＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值为4.(　　)

(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．(教材改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)

A．80　　　B．77　　　C．81　　　 D．82

C　[∵x＞0，y＞0，∴≥，即xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.]

3．若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(　　)

A．2  B．3  C．4  D．5

C　[由题意得＋＝1.又a＞0，b＞0，

∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.

当且仅当＝，即a＝b＝2时等号成立，故选C.]

4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)

A．1＋   B．1＋

C．3   D．4

C　[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，选C.]

5．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.

25　[设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，

则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，

则y＝x(10－x)

≤2＝25，

当且仅当x＝10－x，

即x＝5时，ymax＝25.]

利用基本不等式求最值

►考法1　配凑法求最值

【例1】　(1)设0＜x＜2，则函数y＝的最大值为(　　)

A．2　　B.　　C.　　D.

(2)若x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．

(1)D　(2)1　[(1)∵0＜x＜2，∴4－2x＞0，

∴x(4－2x)＝×2x(4－2x)≤×2＝×4＝2.

当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时等号成立．

即函数y＝的最大值为.

(2)因为x＜，所以5－4x＞0，

则f(x)＝4x－2＋＝－＋3

≤－2＋3＝－2＋3＝1.

当且仅当5－4x＝，

即x＝1时，等号成立．

故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.]

►考法2　常数代换法求最值

【例2】　已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：

(1)xy的最小值；

(2)x＋y的最小值．

[解]　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，

则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，

当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立．

故xy的最小值为64.

(2)法一：(消元法)由2x＋8y－xy＝0，得x＝，

因为x＞0，y＞0，所以y＞2，

则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，

当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立．

故x＋y的最小值为18.

法二：(常数代换法)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，

则x＋y＝·(x＋y)

＝10＋＋

≥10＋2 ＝18，

当且仅当y＝6，x＝12时等号成立，

故x＋y的最小值为18.

(1)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．

(2)(2019·皖南八校联考)函数y＝loga(x＋4)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线＋＝－1上，且m＞0，n＞0，则3m＋n的最小值为(　　)

A．13   B．16

C．11＋6   D．28

(1)6　(2)B　[(1)∵x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，

∴9－(x＋3y)＝xy＝×x×3y≤×2，

当且仅当x＝3y时，等号成立，

由因为x＞0，y＞0，计算得出

∴x＋3y的最小值为6.

(2)函数y＝loga(x＋4)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过A(－3，－1)，

由点A在直线＋＝－1上可得，

＋＝－1，

即＋＝1，

故3m＋n＝(3m＋n)＝10＋3，

因为m＞0，n＞0，

所以＋≥2＝2(当且仅当＝，即m＝n时取等号)，

故3m＋n＝10＋3≥10＋3×2＝16，故选B.]

利用基本不等式解决实际问题

【例3】　随着社会的发展，汽车逐步成为人们的代步工具，家庭轿车的持有量逐年上升，交通堵塞现象时有发生，据调查某段公路在某时段内的车流量y(单位：千辆/时)与汽车的平均速度v(单位：千米/时)之间有函数关系：y＝(v＞0)．

(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量约为多少？(结果保留两位小数)

(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？

[解]　(1)由题知，v＞0，则y＝＝≤＝＝，当且仅当v＝，即v＝40时取等号．

所以ymax＝≈10.23.

故当v＝40时，车流量y最大，最大约为10.23千辆/时．

(2)由y＝≥10，得≥1，即90v≥v2＋8v＋1 600，整理得v2－82v＋1 600≤0，即(v－32)(v－50)≤0，解得32≤v≤50.

所以为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，汽车的平均速度应大于等于32千米/时且小于等于50千米/时．

要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　)

A．80元  B．120元  C．160元   D．240元

C　[设底面相邻两边的边长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝4⇒xy＝4.

T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y时取等号)．

故该容器的最低总造价是160元．]

基本不等式的综合应用

【例4】　(1)已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)

A．9  B．12  C．18   D．24

(2)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn(n∈N*)，若a1＝d＝1，则的最小值是________．

(1)B　(2)　[(1)由＋≥，

得m≤(a＋3b)

＝＋＋6.

又＋＋6≥2＋6＝12(当且仅当＝，即a＝3b时等号成立)，

∴m≤12，∴m的最大值为12.

(2)an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，

∴＝

＝

≥＝，

当且仅当n＝4时取等号．

∴的最小值是.]

(1)当x∈R时，32x－(k＋1)3x＋2＞0恒成立，则k的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)　　 B．(－∞，2－1)

C．(－1,2－1)   D．(－2－1,2－1)

(2)已知函数f(x)＝|lg x|，a＞b＞0，f(a)＝f(b)，则的最小值等于________．

(1)B　(2)2　[(1)由32x－(k＋1)·3x＋2＞0，解得k＋1＜3x＋.

∵3x＞0，∴3x＋≥2(当且仅当3x＝，

即x＝log3时，等号成立)，

∴3x＋的最小值为2.

又当x∈R时，32x－(k＋1)3x＋2＞0恒成立，

∴当x∈R时，k＋1＜min，

即k＋1＜2，即k＜2－1.

(2)由f(x)＝|lg x|，且f(a)＝f(b)可知

|lg a|＝|lg b|，又a＞b＞0，

∴lg a＝－lg b，即lg ab＝0，∴ab＝1.

∴＝＝(a－b)＋≥2，

当且仅当a－b＝时等号成立，∴的最小值为2.]