2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第6章第2节　基本不等式

第二节　基本不等式

[考纲传真]　1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

1．基本不等式≤

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；

(2)＋≥2(a，b同号且不为零)；

(3)ab≤2(a，b∈R)；

(4)2≤(a，b∈R)．

3．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．

(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．

重要不等式链

若a≥b＞0，则a≥≥≥≥≥b.

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x＋的最小值是2.  (    )

(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4. (    )

(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件． (    )

(4)若a>0，则a3＋的最小值为2. (    )

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．(教材改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(    )

A．80         　B．77   　C．81   　D．82

C　[xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C.]

3．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(    )

A．a2＋b2>2ab          B．a＋b≥2

C.＋>   D.＋≥2

D　[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．

对于D，∵ab>0，

∴＋≥2＝2.]

4．若x＞1，则x＋的最小值为________．

5　[x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝5，

当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．]

5．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．

2　[由xy＝1得x2＋2y2≥2＝2.

当且仅当x2＝2y2时等号成立．]

►考法1　直接法或配凑法求最值

【例1】　(1)(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．

(2)已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．

(1)　(2)1　[(1)由题知a－3b＝－6，因为2a＞0,8b＞0，所以2a＋≥2×＝2×＝，当且仅当2a＝，即a＝－3b，a＝－3，b＝1时取等号．

(2)因为x＜，所以5－4x＞0，

则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1.

当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．

故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.]

►考法2　常数代换法求最值

【例2】　已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．

4　[因为a＋b＝1，

所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝2＋2＝4.

当且仅当a＝b时，等号成立．]

[拓展探究]　(1)若本例条件不变，求的最小值；

(2)若将本例条件改为a＋2b＝3，如何求解＋的最小值．

[解]　(1)

＝

＝·

＝5＋2≥5＋4＝9.

当且仅当a＝b＝时，等号成立．

(2)因为a＋2b＝3，所以a＋b＝1.

所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝1＋.

当且仅当a＝b时，等号成立．

  (1)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(    )

A．1＋   B．1＋

C．3   D．4

(2)(2018·平顶山模拟)若对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为(    )

A．a≥           B．a＞

C．a＜   D．a≤

(3)已知正实数x，y满足2x＋y＝2，则＋的最小值为________．

(1)C　(2)A　(3)　[(1)当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3，选C.

(2)由x＞0，得＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立．则a≥，故选A.

(3)∵正实数x，y满足2x＋y＝2，

则＋＝(2x＋y)

＝≥

＝，当且仅当x＝y＝时取等号．

∴＋的最小值为.]

【例3】　某厂家拟定在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

(1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

[解]　(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，

所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－，

每件产品的销售价格为1.5×(元)，所以

2018年的利润y＝1.5x×－8－16x－m

＝－＋29(m≥0)．

(2)因为m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，

所以y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．

故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．

[规律方法]　利用基本不等式解决实际问题的3个注意点

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．

(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|.

(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式；

(2)求该城市旅游日收益的最小值．

[解]　(1)W(t)＝f(t)g(t)＝(120－|t－20|)

＝

(2)当t∈[1,20]时，401＋4t＋≥401＋2＝441(t＝5时取最小值)．

当t∈(20,30]时，因为W(t)＝559＋－4t递减，

所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝443，

所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元．

自我感悟：______________________________________________________

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