2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第6章第2节　二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

第二节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

[考纲传真]　1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域

2.线性规划中的相关概念

[常用结论]

1．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)·(Ax2＋By2＋C)＞0.

2．常见目标函数的几何意义

(1)z＝ax＋by：z表示直线y＝－x＋在y轴上的截距的b倍；

(2)z＝：z表示可行域内的点(x，y)和点(a，b)连线的斜率；

(3)z＝(x－a)2＋(y－b)2：z表示可行域内的点(x，y)和点(a，b)间的距离的平方．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　　)

(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．(　　)

(3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．(　　)

(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

2．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是(　　)

A．(0,0)　　 B．(－1,1)

C．(－1,3)   D．(2，－3)

C　[∵－1＋3－1＞0，∴点(－1,3)不在x＋y－1≤0表示的平面区域内，故选C.]

3．不等式组表示的平面区域是(　　)

A　 　　B　 　　C　　D

C　[把点(0,0)代入不等式组可知，点(0,0)不在x－3y＋6＜0表示的平面区域内，点(0,0)在x－y＋2≥0表示的平面区域内，故选C.]

4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋y的最大值为(　　)

A.　　　B．1  C.　　　 D．3

D　[不等式组表示的可行域如图所示．

由图可知，当过点A时，目标函数z＝x＋y取得最大值．又A(0,3)，故z＝0＋3＝3.故选D.]

5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是__________．

1　[不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，

由x＝1，x＋y＝0得A(1，－1)，

由x＝1，x－y－4＝0得B(1，－3)，

由x＋y＝0，x－y－4＝0得C(2，－2)，

∴|AB|＝2，∴S△ABC＝×2×1＝1.]

二元一次不等式(组)表示的平面区域

1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是(　　)

A　　　　B

C　　　　D

C　[(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，即或与选项C符合．

故选C.]

2．已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线y＝kx－3与平面区域D有公共点，则k的取值范围为(　　)

A．[－3,3]

B.∪

C．(－∞，－3]∪[3，＋∞)

D.

C　[满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示．因为直线y＝kx－3过定点(0，－3)，所以当y＝kx－3过点C(1,0)时，k＝3；当y＝kx－3过点B(－1,0)时，k＝－3，所以当k≤－3或k≥3时，直线y＝kx－3与平面区域D有公共点．故选C.]

3．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(　　)

A．－3　　　B．1　　　C.　　　 D．3

B　[如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m＜2，即m＞－1，所围成的区域为△ABC，S△ABC＝S△ADC－S△BDC.

点A的纵坐标为1＋m，点B的纵坐标为(1＋m)，C，D两点的横坐标分别为2，－2m，所以S△ABC＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)(1＋m)＝(1＋m)2＝，解得m＝－3(舍去)或m＝1.]

求目标函数的最值

►考法1　求线性目标函数的最值

【例1】　(2019·济南模拟)设变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的取值范围为(　　)

A．[－1,3]　　　 B．[－1,6]

C．[－1,5]   D．[5,6]

B　[画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，由图知，当目标函数z＝2x－y经过点A(3,0)时取得最大值2×3－0＝6，经过点B(0,1)时取得最小值2×0－1＝－1，所以z的取值范围为[－1,6]，故选B.

]

►考法2　求非线性目标函数的最值

【例2】　(1)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是(　　)

A．4   B．9

C．10   D．12

(2)若x，y满足约束条件则z＝的最大值为________．

(1)C　(2)3　[(1)如图，作出不等式组所表示的可行域(阴影部分)，设可行域内任一点P(x，y)，则x2＋y2的几何意义为|OP|2.显然，当点P与点A重合时，取得最大值．

由解得A(3，－1)．

所以x2＋y2的最大值为32＋(－1)2＝10.故选C.

(2)由约束条件作出可行域如图，联立解得A.

z＝的几何意义为可行域内的动点与原点连线的斜率，则z＝的最大值为＝3.]

►考法3　求参数的值或取值范围

【例3】　已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(　　)

A.   B.

C．1   D．2

A　[约束条件对应的平面区域是以点(1，－2a)，(1,2)和(3,0)为顶点的三角形及其内部，当y＝－2x＋z经过点(1，－2a)时，z取得最小值1，则2－2a＝1，a＝，故选A.]

(1)(2018·浙江高考)若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________．

(2)已知变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝________.

(1)－2　8　(2)1　[(1)由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2,2)，(1,1)，(4，－2)为顶点的三角形及其内部区域(图略)．由线性规划的知识可知，目标函数z＝x＋3y在点(2,2)处取得最大值，在点(4，－2)处取得最小值，则最小值zmin＝4－6＝－2，最大值zmax＝2＋6＝8.

(2)作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

若m＝0，则z＝x，目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解只有一个，不符合题意．

若m≠0，则目标函数z＝x＋my可看作斜率为－的动直线y＝－x＋，

若m＜0，则－＞0，数形结合知使目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解不可能有无穷多个；

若m＞0，则－＜0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点(x，y)在线段AB上，使目标函数z＝x＋my取得最小值，即－＝－1，则m＝1.

综上可知，m＝1.]

线性规划的实际应用

【例4】　某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：

现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．

(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．

[解]　(1)由已知，x，y满足的数学关系式为

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图(1)中的阴影部分．

图(1)

(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.

考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，它的图象是斜率为－，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．

又因为x，y满足约束条件，所以由图(2)可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．

图(2)

解方程组

得点M的坐标为(20,24)，

所以zmax＝2×20＋3×24＝112.

答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．

某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　)

A.12万元   B．16万元

C．17万元   D．18万元

D　[设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.]

1．(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．

6　[作出可行域为如图所示的△ABC所表示的阴影区域，作出直线3x＋2y＝0，并平移该直线，当直线过点A(2,0)时，目标函数z＝3x＋2y取得最大值，且zmax＝3×2＋2×0＝6.

]

2.(2017·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最小值为________．

－5　[作出可行域如图阴影部分所示．由z＝3x－2y，得y＝x－.

作出直线l0：y＝x，并平移l0，知当直线y＝x－过点A时，z取得最小值．

由得A(－1,1)，

∴zmin＝3×(－1)－2×1＝－5.]

3．(2015·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则的最大值为________．

3　[画出可行域如图阴影所示，∵表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，

∴点(x，y)在点A处时最大．

由得

∴A(1,3)．

∴的最大值为3.]

4．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．

216 000　[设生产产品A x件，产品B y件，则

目标函数z＝2 100x＋900y.

作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．

当直线z＝2 100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]