2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第2章第3节　函数的奇偶性与周期性


第三节　函数的奇偶性与周期性
[考纲传真]　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、正周期的含义， 会判断、应用简单函数的周期性．

1．函数的奇偶性

偶函数
奇函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，
都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
图象特征
关于y轴对称
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．
[常用结论]
1．函数奇偶性的三个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．周期性的几个常用结论
对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则
(1) 若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝a－b.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　)
(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　)
(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．(教材改编)下列函数中为偶函数的是(　　)
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
B　[A为奇函数，C，D为非奇非偶函数，B为偶函数，故选B.]
3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－ B.
C. D．－
B　[依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，
∴b＝0且a＝，则a＋b＝.]
4．(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则当x＜0时，f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝x(1＋x) B．f(x)＝x(1－x)
C．f(x)＝－x(1＋x) D．f(x)＝x(x－1)
B　[当x＜0时，－x＞0，
又x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，
故f(－x)＝－x(1－x)．
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x(1－x)，即f(x)＝x(1－x)，故选B.]
5．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为________．
0　[∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，
又f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4.
∴f(8)＝f(0)＝0.]


函数的奇偶性及其应用

【例1】　(1)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
(2)判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝＋；
②f(x)＝；
③f(x)＝
(1)－　[由f(－x)＝f(x)得ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，
整理得ln＋2ax＝0.
∵＝＝e3x，
∴ln e3x＋2ax＝0，
∴2ax＝－3x，即(2a＋3)x＝0对任意x恒成立，
故2a＋3＝0，所以a＝－.]
(2)[解]　①由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
②由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．
∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，
∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝
＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
③显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x＜0时，－x＞0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．
[规律方法]　判断函数的奇偶性的两种方法
(1)定义法：

(2)图象法：

(1)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
(2)(2019·湖北重点中学联考)已知函数f(x)＝(ex＋e－x)ln －1，若f(a)＝1，则f(－a)＝(　　)
A．1 B．－1
C．3 D．－3
(3)若函数f(x)＝x5＋ax3＋bsin x＋2在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
(1)D　(2)D　(3)4　[(1)由奇函数的定义，f(－x)＝－f(x)验证，
①f(|－x|)＝f(|x|)，故为偶函数；
②f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；
③－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；
④f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．
综上可知②④正确，故选D.
(2)令g(x)＝f(x)＋1＝(ex＋e－x)ln ，则g(－x)＝(e－x＋ex)ln ＝－(ex＋e－x)ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以f(－a)＝g(－a)－1＝－g(a)－1＝－f(a)－2＝－3，故选D.
(3)令g(x)＝x5＋ax3＋bsin x，x∈[－3,3]，
则g(x)为奇函数，f(x)＝g(x)＋2，
∴M＝f(x)max＝g(x)max＋2，
m＝f(x)min＝g(x)min＋2，
∴M＋m＝4.]

函数周期性、对称性的应用

【例2】　(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A．－50 B．0
C．2 D．50
(2)(2018·江苏高考)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．
(1)C　(2)　[(1)由f(1＋x)＝f(1－x)可知f(x)＝f(2－x)，
又f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(2＋x)，
故f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝f(x)，
即函数y＝f(x)是周期为4的周期函数．
又由题意可知f(0)＝0，f(1)＝2，
所以f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(4)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0.
又50＝12×4＋2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×0＋2＋0＝2.故选C.
(2)由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(－2,2]上，f(x)＝所以f(f(15))＝f(f(－1))＝f＝cos ＝.]
[规律方法]　(1)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.
(2019·泉州检测)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)＝________.
2　[∵f(x＋1)为偶函数，f(x)是奇函数，
∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，
f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0，
∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，
∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2.]

函数性质的综合应用

►考法1　单调性与奇偶性结合
【例3】　函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)为减函数，且f(－1)＝1，若f(x－2)≥－1，则x的取值范围是(　　)
A．(－∞，3]　　 B．(－∞，1]
C．[3，＋∞) D．[1，＋∞)
A　[函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是[0，＋∞)上的减函数，故函数f(x)在R上单调递减．又f(－1)＝1，所以f(1)＝－1，因此f(x－2)≥－1⇔f(x－2)≥f(1)⇔x－2≤1⇔x≤3，所以x的取值范围是(－∞，3]，故选A.]
►考法2　周期性与奇偶性结合
【例4】　(1)(2019·四川模拟)设奇函数f(x)的定义域为R，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈[4,6]时f(x)＝2x＋1，则f(x)在区间[－2,0]上的表达式为(　　)
A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝－2－x＋4－1
C．f(x)＝2－x＋4＋1 D．f(x)＝2－x＋1
(2)(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
(1)B　(2)6　[(1)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，
∴－x＋4∈[4,6]．
又∵当x∈[4,6]时，f(x)＝2x＋1，
∴f(－x＋4)＝2－x＋4＋1.
又∵f(x＋4)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为T＝4，
∴f(－x＋4)＝f(－x)．
又∵函数f(x)是R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝2－x＋4＋1，
∴当x∈[－2,0]时，f(x)＝－2－x＋4－1.故选B.
(2)∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，
∴f(x)是周期为6的周期函数，
∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．
又f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.]
►考法3　奇偶性、周期性、单调性的综合
【例5】　(2019·惠州调研)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的x1，x2∈[4,8]，当x1＜x2时，都有＞0恒成立；
②f(x＋4)＝－f(x)；
③y＝f(x＋4)是偶函数．
若a＝f(7)，b＝f(11)，c＝f(2 018)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．a＜c＜b D．c＜b＜a
B　[由①知函数f(x)在区间[4,8]上为单调递增函数；由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，所以c＝f(2 018)＝f(252×8＋2)＝f(2)，b＝f(11)＝f(3)；由③可知函数f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f(3)＝f(5)，c＝f(2)＝f(6)．因为函数f(x)在区间[4,8]上为单调递增函数，所以f(5)＜f(6)＜f(7)，即b＜c＜a，故选B.]
[规律方法]　函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法
(1)函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.
(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
(1)(2019·山师大附中模拟)函数f(x)是R上的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上单调递减，则函数f(x)在[3,5]上是(　　)
A．增函数
B．减函数
C．先增后减的函数
D．先减后增的函数
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f＝0，则不等式f(x)＞0的解集为________．
(1)D　(2)　[(1)已知f(x＋1)＝－f(x)，则函数周期T＝2，因为函数f(x)是R上的偶函数，在[－1,0]上单调递减，所以函数f(x)在[0,1]上单调递增，即函数f(x)在[3,5]上是先减后增的函数．故选D.
(2)由已知f(x)在R上为偶函数，且f＝0，
∴f(x)＞0等价于f(|x|)＞f，
又f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴|x|＞，
即x＞或x＜－.]


1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)
A．[－2,2]　　 B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
D　[∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，
∴－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3.故选D.]
2．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
C　[A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，
∴h(x)是奇函数，A错．
B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，
∴h(x)是偶函数，B错．
C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．
D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，
∴h(x)是偶函数，D错．]
3.(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.
12　[法一：令x＞0，则－x＜0.
∴f(－x)＝－2x3＋x2.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．
∴f(2)＝2×23－22＝12.
法二：f(2)＝－f(－2)
＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]
4．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
1　[∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，
∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.]
5．(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
(－1,3)　[∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，
由f(x－1)>0，得－2 即－1