(导与练)2020版高考数学一轮复习(文数)习题：第13篇 第10节　导数的概念及运算(含解析)

www.ks5u.com第10节　导数的概念及运算

【选题明细表】

基础巩固(时间:30分钟)

1.下列求导数的运算中错误的是(　C　)

(A)(3x)′=3xln 3 

(B)(x2ln x)′=2xln x+x

(C)()′= 

(D)(sin x·cos x)′=cos 2x

解析:因为()′=,C项错误.

2.(2018·江西重点中学盟校第一次联考)函数y=x3的图象在原点处的切线方程为(　C　)

(A)y=x (B)x=0

(C)y=0 (D)不存在

解析:函数y=x3的导数为y′=3x2,则在原点处的切线斜率为0,所以在原点处的切线方程为y-0=0(x-0),

即y=0.

3.(2018·达州测验)已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设=a,则下列不等式正确的是(　B　)

(A)a<f′(2)<f′(4)  (B)f′(2)<a<f′(4)

(C)f′(4)<f′(2)<a     (D)f′(2)<f′(4)<a

解析:由题中图象可知,在[2,4]上函数的增长速度越来越快,故曲线上点的斜率随x的增大越来越大,

所以(2,f(2)),(4,f(4))两点连线的斜率=a,在点(2,f(2))处的切线斜率f′(2)与点(4,f(4))处的切线斜率f′(4)之间,

所以f′(2)<a<f′(4),故选B.

4.(2018·河南适应性测试)已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相垂直,则的值为(　D　)

(A) (B) (C)- (D)-

解析:由题意,y′=3x2,

当x=1时,y′|x=1=3,

所以×3=-1,

即=-.

5.(2018·鹰潭一模)已知曲线f(x)=2x2+1在点M(x0,f(x0))处的瞬时变化率为-8,则点M的坐标为　　　　. 

解析:因为f(x)=2x2+1,所以f′(x)=4x,

令4x0=-8,

则x0=-2,

所以f(x0)=9,

所以点M的坐标是(-2,9).

答案:(-2,9)

6.(2017·天津卷)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为　　　　. 

解析:因为f′(x)=a-,

所以f′(1)=a-1.

又因为f(1)=a,

所以切线l的斜率为a-1,且过点(1,a),

所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1).

令x=0,得y=1,故l在y轴上的截距为1.

答案:1

7.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的

切线,令g(x)=xf(x),其中g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)=

　　　　. 

解析:由图形可知,f(3)=1,

f′(3)=-,

因为g′(x)=f(x)+xf′(x),

所以g′(3)=f(3)+3f′(3)=1-1=0.

答案:0

8.函数g(x)=ln x图象上一点P到直线y=x的最短距离为　　　　. 

解析:设与直线y=x平行且与曲线g(x)=ln x相切的直线的切点坐标为(x0,ln x0),因为g′(x)=(ln x)′=,

则1=,所以x0=1,

则切点坐标为(1,0),

所以最短距离为(1,0)到直线y=x的距离,

即为=.

答案:

能力提升(时间:15分钟)

9.(2018·广东广州第一次调研)已知直线y=kx-2与曲线y=xln x相切,则实数k的值为(　D　)

(A)ln 2 (B)1 (C)1-ln 2 (D)1+ln 2

解析:由y=xln x得y′=ln x+1,设切点为(x0,y0),

则k=ln x0+1,

因为切点(x0,y0)既在曲线y=xln x上又在直线y=kx-2上,

所以

所以kx0-2=x0ln x0,

所以k=ln x0+,

所以ln x0+=ln x0+1,

所以x0=2,

所以k=ln 2+1.故选D

10.(2018·广东东莞二调)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为(　D　)

(A)(0,0)    (B)(1,-1) 

(C)(-1,1) (D)(1,-1)或(-1,1)

解析:因为f(x)=x3+ax2,

所以f′(x)=3x2+2ax.

因为曲线在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,

所以3+2ax0=-1,

因为x0++a=0,

所以或

当x0=1时,f(x0)=-1,

当x0=-1时,f(x0)=1.

所以点P的坐标为(1,-1)或(-1,1).

11.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质,下列函数中具有T性质的是(　A　)

(A)y=sin x (B)y=ln x

(C)y=ex    (D)y=x3

解析:若y=f(x)的图象上存在两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),使得函数图象在这两点处的切线互相垂直,则f′(x1)·f′(x2)=-1.

对于A:y′=cos x,

若有cos x1·cos x2=-1,

则当x1=2kπ,x2=2kπ+π(k∈Z)时,结论成立;

对于B:y′=,

若有·=-1,则x1x2=-1,

因为x1>0,x2>0,

所以不存在x1,x2,使得x1x2=-1;

对于C:y′=ex,若有·=-1,

即=-1.显然不存在这样的x1,x2;

对于D:y′=3x2,若有3·3=-1,

即9=-1,显然不存在这样的x1,x2.故选A.

12.(2018·广东珠海一中等六校第三次联考)已知函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y=2x-1,则曲线g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为　　　　. 

解析:由题意,知f(2)=2×2-1=3,

所以g(2)=4+3=7,

因为g′(x)=2x+f′(x),f′(2)=2,

所以g′(2)=2×2+2=6,

所以曲线g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为y-7=6(x-2),即6x-y-5=0.

答案:6x-y-5=0

13.若函数f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是　　　　. 

解析:因为f(x)=x2-ax+ln x,

所以f′(x)=x-a+(x>0).

因为f(x)存在垂直于y轴的切线,

所以f′(x)存在零点,

即x+-a=0有解,

所以a=x+≥2(当且仅当x=1时取等号).

答案:[2,+∞)

14.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于　　　　. 

解析:设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,),

所以切线方程为y-=3(x-x0),

即y=3x-2,

又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=,

当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得

a=-,

当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1.

答案:-1或-