(导与练)2020版高考数学一轮复习(文数)习题：第12篇 第1节　坐标系与参数方程第一课时　坐标系(含解析)

www.ks5u.com第1节　坐标系与参数方程

第一课时　坐标系

【选题明细表】

1.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍,得曲线Γ.

(1)写出Γ的参数方程;

(2)设直线l:3x+2y-6=0与Γ的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.

解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为Γ上的点(x,y),

依题意,得即

由+=1,得()2+()2=1,

即曲线Γ的方程为+=1.

故Γ的参数方程为(t为参数).

(2)由

解得或

不妨设P1(2,0),P2(0,3),

则线段P1P2的中点坐标为(1,),

由题意知,所求直线的斜率k=.

于是所求直线方程为y-=(x-1),

即4x-6y+5=0,化为极坐标方程,

得4ρcos θ-6ρsin θ+5=0.

2.在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求C1,C2的极坐标方程;

(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.

解:(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,

所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.

(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,

得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=,

故ρ1-ρ2=,即|MN|=.

由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.

3.在极坐标系中,曲线C:ρ=2acos θ(a>0),l:ρcos(θ-)=,C与l有且仅有一个公共点.

(1)求a;

(2)O为极点,A,B为曲线C上的两点,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最  大值.

解:(1)曲线C:ρ=2acos θ(a>0),变形ρ2=2aρcos θ,

化为x2+y2=2ax,即(x-a)2+y2=a2.

所以曲线C是以(a,0)为圆心,a为半径的圆.

由l:ρcos(θ-)=,展开为ρcos θ+ρsin θ=,所以l的直角坐标方程为x+y-3=0.

由题可知直线l与圆C相切,即=a,解得a=1.

(2)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+,则|OA|+|OB|=2cos θ+ 2cos(θ+)=3cos θ-sin θ=2cos(θ+),

当θ=-时,|OA|+|OB|取得最大值2.

4.已知平面直角坐标系xOy,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P点极坐标为(3,),曲线C的参数方程为ρ=2cos(θ-)

(θ为参数).

(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程;

(2)若Q为曲线C上的动点,求PQ的中点M到直线l:2ρcos θ+4ρsin θ=的距离的最小值.

解:(1)点P的直角坐标为(,).

由ρ=2cos(θ-)得ρ2=ρcos θ+ρsin θ,①

可得曲线C的直角坐标方程为(x-)2+(y-)2=1.

(2)直线l:2ρcos θ+4ρsin θ=的直角坐标方程为2x+4y-=0.

设点Q的直角坐标为(+cos θ,+sin θ),则M(+,+),

那么M到直线l的距离

d=

=

=,

所以d≥=(当且仅当sin(θ+)=-1时取等号),

所以M到直线l:2ρcos θ+4ρsin θ=的距离的最小值为.