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    (导与练)2020版高考数学一轮复习(文数)习题:第13篇 第11节 导数在研究函数中的应用第1课时 导数与函数的单调性(含解析)

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    www.ks5u.com第11节 导数在研究函数中的应用

    第一课时 导数与函数的单调性

    【选题明细表】

    知识点、方法

    题号

    判定函数的单调性、求单调区间

    2,5,6,8

    由单调性理解导函数图象

    1

    比较大小或解不等式

    3,10,11

    由单调性求参数的取值范围

    4,7,12

    由导数研究函数单调性的综合问题

    9,13,14

    基础巩固(时间:30分钟)

    1.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数的图象是( B )

    解析:由导函数的图象知,在[-1,1]上f(x)>0,故函数f(x)在[-1,1]上是单调递增的.又因为在[-1,0]上f(x)的值逐渐增大,在[0,1]上f(x)的值逐渐减小,所以在[-1,0]上,f(x)的增长率逐渐增大,在[0,1]上 f(x) 的增长率逐渐变小.故选B.

    2.函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为( A )

    (A)(0,1)    (B)(0,+)

    (C)(1,+) (D)(-,0)(1,+)

    解析:函数的定义域是(0,+),且f(x)=1-=,令f(x)<0,解得0<x<1.

    所以单调递减区间是(0,1).

    3.已知f(x)=1+x-sin x,则f(2),f(3),f(π)的大小关系正确的是( D )

    (A)f(2)>f(3)>f(π) (B)f(3)>f(2)>f(π)

    (C)f(2)>f(π)>f(3) (D)f(π)>f(3)>f(2)

    解析:因为f(x)=1+x-sin x,所以f(x)=1-cos x,

    当x(0,π]时,f(x)>0,

    所以f(x)在(0,π]上是增函数,

    所以f(π)>f(3)>f(2).

    4.(2018·山东淄博桓台二中月考)若函数f(x)=kx-ln x在区间(2,+)上单调递增,则k的取值范围是( B )

    (A)(-,-2] (B)[,+)

    (C)[2,+) (D)(-,)

    解析:f(x)=k-,

    因为函数f(x)=kx-ln x在区间(2,+)上单调递增,

    所以f(x)0在区间(2,+)上恒成立.

    所以k,而y=在区间(2,+)上单调递减,

    所以k,

    所以k的取值范围是[,+).

    5.(2018·湖南长沙长郡中学月考)求形如y=f(x)g(x)的函数的导数,我们常采用以下做法:先两边同取自然对数得ln y=g(x)ln f(x),再两边同时求导得·y=g(x)ln f(x)+g(x)··f(x),于是得到

    y=f(x)g(x)[g(x)ln f(x)+g(x)··f(x)],运用此方法求得函数y=的单调递增区间是( C )

    (A)(e,4) (B)(3,6)

    (C)(0,e) (D)(2,3)

    解析:由题设,y=·(-·ln x+)=·(x>0).

    令y>0,得1-ln x>0,所以0<x<e.

    所以函数y=的单调递增区间为(0,e).故选C.

    6.已知函数f(x)=(-x2+2x)ex(xR,e为自然对数的底数),则函数f(x)的单调递增区间为    . 

    解析:因为f(x)=(-x2+2x)ex,

    所以f(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex

    =(-x2+2)ex.

    令f(x)>0,则(-x2+2)ex>0,

    因为ex>0,所以-x2+2>0,

    解得-<x<,

    所以函数f(x)的单调递增区间为(-,).

    答案:(-,)

    7.若函数f(x)=ax3+3x2-x恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围是    . 

    解析:由题意知f(x)=3ax2+6x-1,由函数f(x)恰好有三个单调区间,得f(x)有两个不相等的零点,所以3ax2+6x-1=0需满足a0,且Δ=36+12a>0,解得a>-3,所以实数a的取值范围是(-3,0)(0,+).

    答案:(-3,0)(0,+)

    8.已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f().

    (1)求a的值;

    (2)求函数f(x)的单调区间.

    解:(1)由f(x)=x3+ax2-x+c,

    得f(x)=3x2+2ax-1.

    所以a=f()=3×()2+2a×-1,

    解得a=-1.

    (2)由(1)可知f(x)=x3-x2-x+c,

    则f(x)=3x2-2x-1=3(x+)(x-1),

    令f(x)>0,解得x>1或x<-;

    令f(x)<0,解得-<x<1.

    所以f(x)的单调递增区间是(-,-)和(1,+);

    f(x)的单调递减区间是(-,1).

    能力提升(时间:15分钟)

    9.(2017·山东卷)若函数exf(x)(e=2.718 28,是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是( A )

    (A)f(x)=2-x (B)f(x)=x2

    (C)f(x)=3-x (D)f(x)=cos x

    解析:若f(x)具有M性质,则[exf(x)]=ex[f(x)+f(x)]>0在f(x)的定义域上恒成立,

    即f(x)+f(x)>0在f(x)的定义域上恒成立.

    对于选项A,f(x)+f(x)=2-x-2-xln 2=2-x(1-ln 2)>0,符合题意.

    经验证,选项B,C,D均不符合题意.故选A.

    10.(2018·惠州调研)已知函数f(x)=xsin x+cos x+x2,则不等式f(ln x)+f(ln )<2f(1)的解集为( D )

    (A)(e,+)    (B)(0,e)

    (C)(0,)(1,e) (D)(,e)

    解析:f(x)=xsin x+cos x+x2是偶函数,

    所以f(ln )=f(-ln x)=f(ln x),

    所以f(ln x)+f(ln )<2f(1)可变形为

    f(ln x)<f(1).

    f(x)=xcos x+2x=x(2+cos x),

    因为2+cos x>0,所以f(x)在(0,+)上单调递增,在(-,0)上单调

    递减,

    所以f(ln x)<f(1)等价于-1<ln x<1,

    所以<x<e.

    11.(2018·重庆市一模)已知函数f(x)的导函数为f(x),且f(x)

    <f(x)对任意的xR恒成立,则下列不等式均成立的是( A )

    (A)f(ln 2)<2f(0),f(2)<e2f(0)

    (B)f(ln 2)>2f(0),f(2)>e2f(0)

    (C)f(ln 2)<2f(0),f(2)>e2f(0)

    (D)f(ln 2)>2f(0),f(2)<e2f(0)

    解析:令g(x)=,则g(x)=<0,

    故g(x)在R上递减,而ln 2>0,2>0,

    故g(ln 2)<g(0),g(2)<g(0),

    <,<,

    即f(ln 2)<2f(0),f(2)<e2f(0).

    12.(2018·安徽江南十校联考)设函数f(x)=x2-9ln x在区间

    [a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是    . 

    解析:f(x)的定义域为(0,+),且f(x)=x-.

    由f(x)=x-<0,解得0<x<3.

    因为f(x)=x2-9ln x在[a-1,a+1]上单调递减,

    所以解得1<a2.

    答案:(1,2]

    13.(2018·天津滨海新区八校联考)设函数f(x)=x2ex.

    (1)求在点(1,f(1))处的切线方程;

    (2)求函数f(x)的单调区间;

    (3)当x[-2,2]时,求使得不等式f(x)2a+1能成立的实数a的取值范围.

    解:(1)因为f(x)=x2ex+2xex,

    所以k=f(1)=3e,切点(1,e).

    切线方程为3ex-y-2e=0.

    (2)令f(x)>0,即x(x+2)ex>0,

    得f(x)在区间(-,-2),(0,+)上单调递增,在区间(-2,0)上单调

    递减.

    (3)由(2)知,f(x)在区间(-2,0)上单调递减,在区间(0,2)上单调递增,fmin(x)=f(0)=0.

    当x[-2,2]时,不等式f(x)2a+1能成立,

    须2a+1fmin(x),即2a+10,故a-.

    故a的取值范围为[-,+).

    14.已知函数f(x)=exln x-aex(aR).

    (1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=x+1垂直,求a的值;

    (2)若f(x)在(0,+)上是单调函数,求实数a的取值范围.

    :(1)f(x)=exln x+ex·-aex

    =(-a+ln x)ex,f(1)=(1-a)e,

    (1-a)e·=-1,a=2.

    (2)(1)f(x)=(-a+ln x)ex,

    f(x)为单调递减函数,f(x)0x>0时恒成立,-a+ln x0x>0时恒成立.

    所以a+ln x在x>0时恒成立.

    令g(x)=+ln x(x>0),

    则g(x)=-+=(x>0),

    由g(x)>0,得x>1;由g(x)<0,得0<x<1.

    故g(x)在(0,1)上为单调递减函数,在(1,+)上为单调递增函数,此时g(x)的最小值为g(1)=1,但g(x)无

    最大值(且无趋近值).

    故f(x)不可能是单调递减函数.

    若f(x)为单调递增函数,则f(x)0在x>0时恒成立,即-a+ln x0在x>0时恒成立,

    所以a+ln x在x>0时恒成立,

    由上述推理可知a1.

    故实数a的取值范围是(-,1].

     

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