(导与练)2020版高考数学一轮复习(文数)习题：第3篇 第6节　正弦定理和余弦定理及其应用(含解析)

www.ks5u.com正弦定理和余弦定理及其应用

【选题明细表】

基础巩固(时间:30分钟)

1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b等于(　D　)

(A) (B) (C)2 (D)3

解析:由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,解得b=3（b=-舍去）,选D.

2.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A等于(　D　)

(A) (B) (C) (D)

解析: 如图,设BC边上的高为AD,

因为B=,

所以∠BAD=.

所以BD=AD,

又AD=BC,所以DC=2AD,

所以sin∠BAC=sin(∠BAD+∠DAC)

=sin 45°cos∠DAC+cos 45°sin∠DAC

=×+×

=.

故选D.

3.(2018·杭州模拟)在△ABC中,cos =,则△ABC一定是(　A　)

(A)等腰三角形    (B)直角三角形

(C)等腰直角三角形 (D)无法确定

解析:由cos =得

2cos2-1=cos A=cos B,

所以A=B,故选A.

4.(2018·通辽模拟)海面上有A,B,C三个灯塔,AB=10n mile,从A望C和B成60°视角,从B望C和A成75°视角,则BC等于(　D　)

(A)10n mile (B)n mile

(C)5n mile   (D)5n mile

解析:由题意可知,∠CAB=60°,∠CBA=75°,

所以∠C=45°,由正弦定理得=,

所以BC=5.

5.(2018·南宁模拟)在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是(　C　)

(A)(0,］   (B)［,π)

(C)(0, ］ (D)［,π)

解析:由正弦定理角化边,得a2≤b2+c2-bc.

所以b2+c2-a2≥bc,

所以cos A=≥,

所以0<A≤.

6.(2018·淄博一模)南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”,与著名的海伦公式等价,其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减小,余四约之,为实.一 为从隅,开平方得 积.”若把以上这 段文字写成公式,即S=.现有周 长为2+的△ABC满足:sin A∶

sin B∶sin C=(-1)∶∶(+1).试用“三斜求积术”求得△ABC的面积为(　A　)

(A) (B) (C) (D)

解析:因为sin A∶sin B∶sin C=(-1)∶∶(+1),

由正弦定理得a∶b∶c=(-1)∶∶(+1).

因为a+b+c=2+,

所以a=-1,b=,c=+1.

所以ac=2-1=1.c2+a2-b2=1.

所以S==.故选A.

7.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=　　　　. 

解析:由正弦定理=得=,

所以sin B=,

又b<c,所以B<C,

所以B=45°,A=180°-60°-45°=75°.

答案:75°

8.(2017·浙江卷)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2. 点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是　　　　,cos∠BDC=　　　　. 

解析:依题意作出图形,如图所示.

则sin∠DBC=sin∠ABC.

由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,

则cos∠ABC=,

sin∠ABC=.

所以S△BDC=BC·BD·sin∠DBC

=×2×2×

=.

因为cos∠DBC=-cos∠ABC=-

=

=,

所以CD=.

由余弦定理,得cos∠BDC==.

答案:　

能力提升(时间:15分钟)

9.(2018·宁波模拟)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且cos 2B+3cos (A+C)+2=0,b=,则c∶sin C等于(　D　)

(A)3∶1 (B)∶1

(C)∶1 (D)2∶1

解析:由cos 2B+3cos (A+C)+2=0,得2cos2B-3cos B+1=0,解得cos B=1(舍去)或cos B=,

所以sin B=,

所以由正弦定理知c∶sin C=b∶sin B=2∶1.

10.(2018·石家庄一模)在△ABC中,AB=2,C=,则AC+BC的最大值为(　D　)

(A) (B)2 (C)3 (D)4

解析:由正弦定理可得,

====4.

因为A+B=.

所以AC+BC=4sin B+4sin A

=4sin B+4sin(-B)

=4sin B+4(cos B+sin B)

=2cos B+10sin B

=4sin(B+θ)(tan θ=),

因为0<B<,

故AC+BC的最大值为4.

11. (2018·内蒙古赤峰模拟)如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420 s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为　　　　m.(取≈1.4,≈1.7) 

解析: 如图,作CD垂直于AB的延长线于点D,由题意知∠A=15°,∠DBC=45°,

所以∠ACB=30°,

AB=50×420=21 000(m).

又在△ABC中,=,

所以BC=×sin 15°=10 500(-)(m).

因为CD⊥AD,

所以CD=BC·sin ∠DBC=10 500(-)×=10 500(-1)≈7 350(m).

故山顶的海拔高度h=10 000-7 350=2 650(m).

答案:2 650

12. (2018·四川泸州二珍)如图,在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=b(sin C+cos C).若A=,D为△ABC外一点,DB=2,DC=1,则四边形ABDC面积的最大值为　　　　. 

解析:因为a=b(sin C+cos C),

所以由正弦定理得sin A=sin∠ABC(sin C+cos C).

即sin(∠ABC+C)=sin∠ABC(sin C+cos C),

所以cos∠ABCsin C=sin∠ABCsin C.

因为C∈(0,π),所以sin C≠0,

所以tan∠ABC=1.

又∠ABC∈(0,π),所以∠ABC=.

在△BCD中,因为DB=2,DC=1,

所以BC2=12+22-2×2×1·cos D=5-4cos D.

又因为A=,∠ABC=,

所以△ABC为等腰直角三角形.

所以S△ABC=BC2=-cos D.

又因为S△BCD=·BD·CD·sin D=sin D.

所以S四边形ABDC=-cos D+sin D

=+sin(D-).

所以当D=时,S四边形ABDC最大.

最大值为+.

答案:+

13. (2018·福建宁德一检)如图,△ABC中,D为AB边上一点,BC=1,

B=.

(1)若△BCD的面积为,求CD的长;

(2)若A=,=,求的值.

解:(1)BC=1,B=,S△BCD=BC·BD·sin B=×1×BD×=,BD=.

在△BCD中,由余弦定理得

CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos B

=1+2-2×1××

=1,

所以CD=1.

(2)在△ACD中,由正弦定理得

=,

所以sin ∠ACD===,

在△BCD中,由正弦定理得=,

所以sin ∠DCB===,

所以==×=.

14.(2018·江西联考)已知函数f(x)=2sin 2x-2sin 2(x-),x∈R.

(1)求函数y=f(x)的对称中心;

(2)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f（+）=,△ABC的外接圆半径为,求△ABC周长的最大值.

解:由f(x)=1-cos 2x-（1-cos[2（x-）］=cos(2x-)-cos 2x=cos 2x+sin 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin(2x-).

(1)令2x-=kπ(k∈Z),

则x=+(k∈Z),

所以函数y=f(x)的对称中心为(+,0),k∈Z.

(2)由f(+)=得sin（B+）=⇒

sin B+cos B=⇒asin B+acos B=b+c,

由正弦定理得sin Asin B+sin Acos B=sin B+sin C⇒sin Asin B=sin B+cos Asin B,

又因为sin B≠0,

所以sin A-cos A=1⇒sin(A-)=.

由0<A<π得

-<A-<,

所以A-=,即A=.

又△ABC的外接圆的半径为,

所以a=2sin A=3.

由余弦定理得

a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-(b+c)2=.

即b+c≤6,

当且仅当b=c时取等号,

所以△ABC周长的最大值为9.