(导与练)2020版高考数学一轮复习(文数)习题：第2篇 第9节　函数模型及其应用(含解析)

www.ks5u.com第9节　函数模型及其应用

【选题明细表】

基础巩固(时间:30分钟)

1.一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的(　B　)

解析:由题意知h=20-5t(0≤t≤4),图象为B.

2.某新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　C　)

(A)y=100x (B)y=50x2-50x+100

(C)y=50×2x (D)y=100log2x+100

解析:根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应选C.

3.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10 m3的,按每立方米m元收费;用水超过10 m3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为

(　A　)

(A)13 m3 (B)14 m3 (C)18 m3 (D)26 m3

解析:设该职工用水x m3时,缴纳的水费为y元,

由题意,得y=

则10m+(x-10)·2m=16m,

解得x=13.

4.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过 5 730 年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是(　C　)

(A)8 (B)9 (C)10 (D)11

解析:设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过n个“半衰期”后的含量为()n,则()n<,得n≥10.

所以,若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它至少需要经过10个“半衰期”.

5.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是(　B　)

(A)15 (B)16 (C)17 (D)18

解析:由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,则由

解得0<x≤.

因为x∈N*,所以x的最大值为16.

6.将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aen t.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有 L,则m的值为(　A　)

(A)5 (B)8 (C)9 (D)10

解析:因为5 min后甲桶和乙极的水量相等,

所以函数y=f(t)=aen t满足f(5)=ae5n=a,

可得n=ln ,

所以f(t)=a·(),

因此,当k min后甲桶中的水只有 L时,

f(k)=a·()=a,

即()=,

所以k=10,由题可知m=k-5=5.

7.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是　　　　. 

解析:一年的总运费为6×=(万元).

一年的总存储费用为4x万元.

总运费与总存储费用的和为(+4x)万元.

因为+4x≥2=240,

当且仅当=4x,

即x=30时取得等号,

所以当x=30时,一年的总运费与总存储费用之和最小.

答案:30

8.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为　　　　m. 

解析:设内接矩形另一边长为y,

则由相似三角形性质可得

=,

解得y=40-x,

所以面积S=x(40-x)

=-x2+40x

=-(x-20)2+400(0<x<40),

当x=20时,Smax=400.

答案:20

能力提升(时间:15分钟)

9.(2017·北京市丰台区高三二模)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示:

根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的说法中,不正确的是(　D　)

(A)首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用

(B)每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒

(C)每间隔5.5小时服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用

(D)首次服用该药物1单位3小时后,再次服用该药物1单位,不会发生药物中毒

解析:从图象可以看出,首次服用该药物1单位约10分钟后,该药物的血药浓度大于最低有效浓度,药物发挥治疗作用,A正确;第一次服药后3小时与第2次服药1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,B正确,D错误;服药5.5小时后,血药浓度小于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,正好能发挥作用,C正确.故选D.

10.某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　B　)

(A)略有盈利

(B)略有亏损

(C)没有盈利也没有亏损

(D)无法判断盈亏情况

解析:设该股民购进这支股票的价格为a元,

则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a×1.1n元,

经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×

(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故该股民这支股票略有亏损.

11.“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a(a为常数),广告效应为D=a-A,那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为　　　　.(用常数a表示) 

解析:令t=(t≥0),则A=t2,

所以D=at-t2=-(t-a)2+a2.

所以当t=a,即A=a2时,D取得最大值.

答案:a2

12.为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层,体育馆要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0≤x≤10,k为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用

之和.

(1)求k的值及f(x)的表达式;

(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.

解:(1)当x=0时,C=8,

所以k=40,所以C(x)=(0≤x≤10),

所以f(x)=6x+=6x+(0≤x≤10).

(2)由(1)得f(x)=2(3x+5)+-10.

令3x+5=t,t∈[5,35],

则y=2t+-10,

所以y′=2-,

当5≤t<20时,y′<0,y=2t+-10为减函数;

当20<t≤35时,y′>0,y=2t+-10为增函数.

所以函数y=2t+-10在t=20时取得最小值,

此时x=5,因此f(x)的最小值为70.

所以隔热层修建5 cm厚时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万元.

13.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+blog3 (其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.

(1)求出a,b的值;

(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?

解:(1)由题意可知,当这种鸟类静止时,

它的速度为0 m/s,此时耗氧量为30个单位,

故有a+blog3 =0,

即a+b=0;

当耗氧量为90个单位时,速度为1 m/s,

故有a+blog3 =1,

整理得a+2b=1.

解方程组得

(2)由(1)知,v=-1+log3 .

所以要使飞行速度不低于2 m/s,则有v≥2,

即-1+log3 ≥2,

即log3 ≥3,解得Q≥270.

所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s时,其耗氧量至少要270个单位.

14.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).

(1)求f(50)的值;

(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?

解:(1)因为甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元,

所以f(50)=80+4+×150+120

=277.5(万元).

(2)f(x)=80+4+(200-x)+120

=-x+4+250,

依题意得⇒20≤x≤180,

故f(x)=-x+4+250(20≤x≤180).

令t=∈[2,6],

则f(x)=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,

当t=8,即x=128时,f(x)max=282.

所以投入甲大棚128万元,乙大棚72万元时,总收益最大,且最大收益为282万元.