初中数学人教版九年级上册24.3 正多边形和圆精品精练

这是一份初中数学人教版九年级上册24.3 正多边形和圆精品精练，共8页。试卷主要包含了3《正多边形和圆》夯基练习，5°，故选B等内容，欢迎下载使用。
24.3《正多边形和圆》夯基练习


知识点 1 正多边形与圆的关系


1．如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是( )


A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．不能确定


2．如图所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC=36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形．




















知识点 2 与正多边形有关的计算


3．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是( )


A．4 B．5 C．6 D．7


4．若正方形的边长为6，则其内切圆半径的大小为( )


A．3 eq \r(2) B．3 C．6 D．6 eq \r(2)


5．若正六边形的半径为4，则它的边长等于( )


A．4 B．2 C．2 eq \r(3) D．4 eq \r(3)


6．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是( )





A．60° B．45° C．30° D．22.5°


7．正八边形的中心角等于________度．


8．将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于________．(结果保留根号)





9．边长相等的正五边形和正六边形如图24－3－4所示拼接在一起，则∠ABC=______°.





10．如图，已知正五边形ABCDE，M是CD的中点，连接AC，BE，AM.


求证：(1)AC=BE；(2)AM⊥CD.

















知识点 3 与正多边形有关的作图


11．已知⊙O和⊙O上的一点A，作⊙O的内接正方形和内接正六边形(点A为正方形和正六边形的顶点)．




















12．如图所示，⊙O的内接多边形的周长为3，⊙O的外切多边形的周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是( )





A.eq \r(6) B.eq \r(8) C.eq \r(10) D.eq \r(17)


13．若AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O内接正六边形的一边，则∠BAC等于( )


A．120° B．6° C．114° D．114°或6°


14．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为( )


A.eq \r(2) B．2 eq \r(2)－2 C．2－eq \r(2) D.eq \r(2)－1


15．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )


A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \r(2) D.eq \r(3)


16．如图，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O，切点分别为E，F，G，H.则图中阴影部分的面积为________．





17．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48 eq \r(3)，试求正六边形的周长．




















18．如图①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM=CN，连接OM，ON.





(1)求图①中∠MON的度数；


(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；


(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．





















































参考答案


1．C [解析] 只有正多边形的外接圆与内切圆才是同心圆，故这个四边形是正方形．故选C.


2．证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=36°，


∴∠ABC=∠ACB=72°.


又∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，


∴∠ABD=∠CBD=∠BCE=∠ACE=36°，


即∠BAC=∠ABD=∠CBD=∠BCE=∠ACE，


∴eq \(BC,\s\up8(︵))=eq \(AD,\s\up8(︵))=eq \(CD,\s\up8(︵))=eq \(BE,\s\up8(︵))=eq \(AE,\s\up8(︵))，


∴A，E，B，C，D是⊙O的五等分点，


∴五边形AEBCD是正五边形．


3．B [解析] 设这个正多边形为正n边形，由题意可知72n=360，解得n=5.故选B.


4．B


5．A [解析] 正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边组成一个等边三角形．因为正六边形的外接圆半径等于4，所以正六边形的边长等于4.


6．C [解析] 连接OB，则∠AOB=60°，


∴∠ADB=eq \f(1,2)∠AOB=30°.


7．45


8．1＋eq \r(2)


[解析] 如图，∵△BDE是等腰直角三角形，BE=1，





∴BD=eq \f(\r(2),2)，


∴正方形的边长等于AB＋2BD=1＋eq \r(2).


9．24 [解析] 正六边形的一个内角=eq \f(1,6)×(6－2)×180°=120°，正五边形的一个内角=eq \f(1,5)×(5－2)×180°=108°，∴∠BAC=360°－(120°＋108°)=132°.∵两个正多边形的边长相等，即AB=AC，∴∠ABC=eq \f(1,2)×(180°－132°)=24°.


10．证明：(1)由五边形ABCDE是正五边形，得AB=AE，∠ABC=∠BAE，AB=BC，


∴△ABC≌△EAB，∴AC=BE.


(2)连接AD，由五边形ABCDE是正五边形，得AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，


∴△ABC≌△AED，


∴AC=AD.


又∵M是CD的中点，


∴AM⊥CD.


11．解：如图所示．





作法：①作直径AC；


②作直径BD⊥AC，依次连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是⊙O的内接正方形；


③分别以点A，C为圆心，OA的长为半径画弧，交⊙O于点E，H和F，G，顺次连接AE，EF，FC，CG，GH，HA，则六边形AEFCGH为⊙O的内接正六边形．


12．C [解析] 根据两点之间，线段最短可得圆的周长大于3而小于3.4，选项中只有C满足要求．


13．D [解析] 分两种情况考虑：


(1)如图①所示，∵AB是⊙O内接正五边形的一边，∴∠AOB=eq \f(360°,5)=72°.∵AC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠AOC=eq \f(360°,6)=60°，∴∠BOC=72°－60°=12°，∴∠BAC=eq \f(1,2)∠BOC=6°.


(2)如图②所示，∠AOB=72°，∠AOC=60°，∴∠OAB=54°，∠OAC=60°，∴∠BAC=60°＋54°=114°.综上所述，可知选D.





14．B [解析] ∵等腰直角三角形的外接圆半径为2，∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边的长均为2 eq \r(2).如图，根据三角形内切圆的性质可得CD=CE=r，AD=BE=AO=BO=2 eq \r(2)－r，∴AB=AO＋BO=4 eq \r(2)－2r=4，解得r=2 eq \r(2)－2.故选B.





15．A [解析] 如图①，∵OC=2，∴OD=1；





如图②，∵OB=2，∴OE=eq \r(2)；


如图③，∵OA=2，∴OD=eq \r(3)，


则该三角形的三边长分别为1，eq \r(2)，eq \r(3).


∵12＋(eq \r(2))2=(eq \r(3))2，


∴该三角形是直角三角形，


∴该三角形的面积是eq \f(1,2)×1×eq \r(2)=eq \f(\r(2),2).


故选A.


16．2π＋4 [解析] 如图，连接HO，并延长交BC于点P，连接EO，并延长交CD于点M.





∵正方形ABCD外切于⊙O，


∴∠A=∠B=∠AHP=90°，


∴四边形AHPB为矩形，∴∠OPB=90°.


又∵∠OFB=90°，∴点P与点F重合，


∴HF为⊙O的直径，


同理：EG为⊙O的直径．


由∠D=∠OGD=∠OHD=90°且OH=OG知，四边形DGOH为正方形．


同理：四边形OGCF、四边形OFBE、四边形OEAH均为正方形，


∴DH=DG=GC=CF=2，∠HGO=∠FGO=45°，


∴∠HGF=90°，GH=GF=eq \r(GC2＋CF2)=2 eq \r(2)，


则阴影部分面积=eq \f(1,2)S⊙O＋S△HGF


=eq \f(1,2)·π·22＋eq \f(1,2)×2 eq \r(2)×2 eq \r(2)


=2π＋4.


故答案为2π＋4.


17．解：如图，连接OA，作OH⊥AC于点H，则∠OAH=30°.





在Rt△OAH中，设OA=R，则OH=eq \f(1,2)R，由勾股定理可得AH=eq \r(OA2－OH2)=eq \r(R2－（\f(1,2)R）2)=eq \f(1,2) eq \r(3)R.


而△ACE的面积是△OAH面积的6倍，即6×eq \f(1,2)×eq \f(1,2) eq \r(3)R×eq \f(1,2)R=48 eq \r(3)，解得R=8，


即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48.


18．解：(1)方法一：如图①，连接OB，OC.





图①


∵正三角形ABC内接于⊙O，


∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°.


又∵BM=CN，OB=OC，


∴△OBM≌△OCN，


∴∠BOM=∠CON，


∴∠MON=∠BOC=120°.


方法二：如图②，连接OA，OB.





图②


∵正三角形ABC内接于⊙O，


∴AB=BC，∠OAM=∠OBN=30°，∠AOB=120°.


∵BM=CN，∴AM=BN.


又∵OA=OB，∴△AOM≌△BON，


∴∠AOM=∠BON，


∴∠MON=∠AOB=120°.


(2)90° 72° (3)∠MON=eq \f(360°,n).