2020届高考数学一轮复习单元检测07《不等式推理与证明》提升卷单元检测 文数（含解析）

单元检测七　不等式、推理与证明(提升卷)

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．

3．本次考试时间100分钟，满分130分．

4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若a<b<0，则下列不等式一定不成立的是(　　)

A.< B.>

C．|a|>－b D.>

答案　A

解析　因为a<b<0，所以－＝>0，即>，A不成立；－a>－b>0，>，B成立；－a＝|a|>|b|＝－b，C成立；当a＝－3，b＝－1时，＝－，＝－1，故>，D成立．

2．不等式≤0的解集为(　　)

A.

B.

C.∪(3，＋∞)

D.∪[3，＋∞)

答案　C

解析　不等式≤0可化为

∴解得x≤－或x>3，

∴不等式≤0的解集为∪(3，＋∞)．

3．下面几种推理过程是演绎推理的是(　　)

A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超

过50人

B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质

C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分

D．在数列{an}中，a1＝1，an＝，由此归纳出{an}的通项公式

答案　C

解析　因为演绎推理是由一般到特殊，所以选项C符合要求，平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分．

4．“1＋≥0”是“(x＋2)(x－1)≥0”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由1＋≥0，得≥0，等价于(x－1)(x＋2)≥0，且x≠1，解得x≤－2或x>1.由(x＋2)(x－1)≥0，得x≤－2或x≥1，所以“1＋≥0”能推出“(x＋2)·(x－1)≥0”，“(x＋2)(x－1)≥0”推不出“1＋≥0”，故“1＋≥0”是“(x＋2)(x－1)≥0”的充分不必要条件，故选A.

5．若3x＋2y＝2，则8x＋4y的最小值为(　　)

A．4B．4C．2D．2

答案　A

解析　因为3x＋2y＝2，所以8x＋4y＝23x＋22y≥2＝2＝4，当且仅当3x＝2y，即x＝，y＝时等号成立，故选A.

6．(2018·山西省实验中学质检)已知a，b为正实数，且a＋b＋＋＝5，则a＋b的取值范围是(　　)

A．[1,4]   B．[2，＋∞)

C．(2,4)   D．(4，＋∞)

答案　A

解析　∵a，b为正实数，∴2≥ab，

∴≥.

∵a＋b＋＋＝5，∴(a＋b)＝5≥(a＋b)·，化为(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0，解得1≤a＋b≤4，当且仅当a＝b时等号成立，∴a＋b的取值范围是[1,4]，故选A.

7．若直线l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆C：(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则＋的最小值为(　　)

A．10B．8C．5D．4

答案　B

解析　由题意知，已知圆的圆心C(－4，－1)在直线l上，所以－4a－b＋1＝0，所以4a＋b＝1.所以＋＝(4a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立．所以＋的最小值为8.故选B.

8．在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点M，则点M恰好落在第二象限的概率为(　　)

A.B.C.D.

答案　C

解析　如图，不等式组所表示的平面区域为一直角三角形，其面积为×3×＝，其中在第二象限的区域为一直角三角形，其面积为×1×1＝.所以点M恰好落在第二象限的概率为＝，故选C.

9．(2018·河南名校联盟联考)已知变量x，y满足则z＝3y－x的取值范围为(　　)

A．[1,2]  B．[2,5]  C．[2,6]  D．[1,6]

答案　D

解析　画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示(△ABC边界及其内部)．

因为z＝3y－x，所以y＝x＋z.当直线y＝x＋在y轴上的截距有最小值时，z有最小值；当在y轴上的截距有最大值时，z有最大值．由图可知，当直线y＝x＋经过点A(－1,0)，在y轴上的截距最小，zmin＝0－(－1)＝1；经过点C(0,2)时，在y轴上的截距最大，zmax＝3×2－0＝6.所以z＝3y－x的取值范围为[1,6]，故选D.

10．小王计划租用A，B两种型号的小车安排30名队友(大多有驾驶证，会开车)出去游玩，A与B两种型号的车辆每辆的载客量都是5人，租金分别为1000元/辆和600元/辆，要求租车总数不超过12辆，不少于6辆，且A型车至少有1辆，则租车所需的最少租金为(　　)

A．1000元 B．2000元

C．3000元 D．4000元

答案　D

解析　设分别租用A，B两种型号的小车x辆、y辆，所用的总租金为z元，则z＝1000x＋600y，其中x，y满足不等式组(x，y∈N)，作出可行域，如图阴影部分(包括边界)所示．

易知当直线y＝－x＋过点D(1,5)时，z取最小值，所以租车所需的最少租金为1×1000＋5×600＝4000(元)，故选D.

11．(2018·云南曲靖一中月考)设实数x，y满足则x2＋y2的最小值为(　　)

A．4B.C.D．0

答案　B

解析　不等式组所对应的平面区域为图中阴影部分所示(包括边界)．

x2＋y2的几何意义为可行域内的点与原点距离的平方．由图可得x2＋y2的最小值为原点到直线x＋2y－4＝0距离的平方，即(x2＋y2)min＝2＝.

12．已知函数f(x)＝若关于x的不等式[f(x)]2＋af(x)<0恰有1个整数解，则实数a的最大值是(　　)

A．2B．3C．5D．8

答案　D

解析　作出函数f(x)的图象，如图所示．

关于x的不等式[f(x)]2＋af(x)<0，当a>0时，－a<f(x)<0，由于关于x的不等式[f(x)]2＋af(x)<0恰有1个整数解，因此其整数解为3.又f(3)＝－9＋6＝－3，所以－a<－3<0，－a≥f(4)＝－8，则3<a≤8，所以实数a的最大值为8.

第Ⅱ卷(非选择题　共70分)

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．若在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则实数a的取值范围是____________．

答案　[－2,4]

解析　关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0.当a＝1时，(x－1)2<0，无解，满足题意；当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}；当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}．要使得解集中至多包含2个整数，则a≤4，且a≥－2，

所以实数a的取值范围是[－2,4]．

14．已知x≥，则的最小值为__________．

答案　2＋2

解析　设t＝x－1，则x＝t＋1，所以＝＝＝2t＋＋2≥2＋2，当且仅当t＝时等号成立，所以所求最小值为2＋2.

15．某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是________．(填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持)

答案　影视配音

解析　由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视；由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音，故答案为影视配音．

16．对于下列命题：

①已知－1≤x＋y≤3,1≤x－y≤5，则2x－y的取值范围是[1,9]；

②已知a，b为非零实数，且a<b，则a2<b2；

③a＝log3，b＝log5，c＝0.5的大小关系是a>b>c；

④若不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的所有m都成立，则x的取值范围是.

其中正确的命题为______________．(把你认为正确的都填上)

答案　①④

解析　对于①，∵－≤(x＋y)≤，≤(x－y)≤，∴2x－y∈[1,9]，所以①正确；对于②，当a＝－5，b＝3时，a2>b2，所以②错误；对于③，c＝0.5>0，a＝log3＝－log53<0，b＝log5＝－log35<0，且log53<log35，所以c>a>b，所以③错误；对于④，令f(m)＝m(x2－1)－(2x－1)，

则原问题等价于f(m)＝m(x2－1)－(2x－1)<0对满足|m|≤2的所有m恒成立，所以解得<x<，所以④正确．

三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分)已知关于x的不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}．

(1)求a，b的值；

(2)当c∈R时，解关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0(用c表示)．

解　(1)由已知得1，b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1，a>0，

所以解得

(2)由(1)得原不等式可化为x2－(2＋c)x＋2c<0，

即(x－2)(x－c)<0，

所以当c>2时，所求不等式的解集为{x|2<x<c}，

当c<2时，所求不等式的解集为{x|c<x<2}，

当c＝2时，所求不等式的解集为∅.

18．(12分)已知函数f(x)＝(3x－1)a－2x＋b.

(1)若f＝，且a>0，b>0，求ab的最大值；

(2)当x∈[0,1]时，f(x)≤1恒成立，且2a＋3b≥3，求z＝的取值范围．

解　(1)因为f(x)＝(3a－2)x＋b－a，f＝，

所以a＋b－＝，即a＋b＝8.

因为a>0，b>0，

所以a＋b≥2，即4≥，所以ab≤16，

当且仅当a＝b＝4时等号成立，

所以ab的最大值为16.

(2)因为当x∈[0,1]时，f(x)≤1恒成立，且2a＋3b≥3，

所以且2a＋3b≥3，即

作出此不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界)．

由图可得经过可行域内的点(a，b)与点(－1，－1)的直线的斜率的取值范围是，

所以z＝＝＋1的取值范围是.

19．(13分)2019年某企业计划引进新能源汽车生产设备，已知该设备全年需投入固定成本2500万元，每生产x百辆新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝由市场调研知，若每辆新能源汽车售价5万元，则全年内生产的新能源汽车当年能全部售完．

(1)求该企业2019年的利润L(x)万元关于年产量x(单位：百辆)的函数解析式(利润＝销售额－成本)；

(2)2019年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．

解　(1)当0<x<40时，L(x)＝5×100x－10x2－100x－2 500＝－10x2＋400x－2 500；

当x≥40时，L(x)＝5×100x－501x－＋4 500－2 500＝2 000－.

所以L(x)＝

(2)当0<x<40时，L(x)＝－10(x－20)2＋1 500，

所以当0<x<40时，L(x)max＝L(20)＝1 500；

当x≥40时，L(x)＝2 000－≤2 000－2 ＝2 000－200＝1 800，

当且仅当x＝，即x＝100时取等号，

所以L(x)max＝L(100)＝1 800.

因为1 800>1 500，所以当x＝100，即2019年年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为1 800万元．

20．(13分)已知函数f(x)＝的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程为x＋y＋3＝0.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设g(x)＝lnx，求证：g(x)≥f(x)在x∈[1，＋∞)上恒成立；

(3)已知0<m<n，求证：>.

(1)解　将x＝－1代入切线方程x＋y＋3＝0，

得y＝－2，

所以f(－1)＝＝－2，化简得b－a＝－4.

又f′(x)＝，

f′(－1)＝＝＝＝－1，

故b＝－2，a＝2，所以f(x)＝.

(2)证明　由已知及(1)得所证即ln x≥在x∈[1，＋∞)上恒成立，化简得(x2＋1)ln x≥2x－2，即证x2ln x＋ln x－2x＋2≥0在x∈[1，＋∞)上恒成立．

设h(x)＝x2ln x＋ln x－2x＋2，

则h′(x)＝2xln x＋x＋－2，

因为x≥1，所以2xln x≥0，x＋≥2，即h′(x)≥0，

所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，则h(x)≥h(1)＝0，

所以g(x)≥f(x)在x∈[1，＋∞)上恒成立．

(3)证明　因为0<m<n，所以>1，

由(2)知ln>，整理得>，

所以当0<m<n时，>.