2020届高考数学一轮复习单元检测05《平面向量与复数》提升卷单元检测 文数（含解析）

单元检测五　平面向量与复数(提升卷)

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．

3．本次考试时间100分钟，满分130分．

4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若复数z满足iz＝3＋4i，则|z|等于(　　)

A．1B．2C.D．5

答案　D

解析　因为z＝＝－(3＋4i)i＝4－3i，

所以|z|＝＝5.

2．若z1＝(1＋i)2，z2＝1－i，则等于(　　)

A．1＋iB．－1＋iC．1－iD．－1－i

答案　B

解析　∵z1＝(1＋i)2＝2i，z2＝1－i，

∴＝＝＝＝－1＋i.

3．设平面向量m＝(－1，2)，n＝(2，b)，若m∥n，则|m＋n|等于(　　)

A.B.C.D．3

答案　A

解析　由m∥n，m＝(－1，2)，n＝(2，b)，得b＝－4，

故n＝(2，－4)，所以m＋n＝(1，－2)，故|m＋n|＝，故选A.

4.如图所示，向量＝a，＝b，＝c，点A，B，C在一条直线上，且＝－4，则(　　)

A．c＝a＋b B．c＝a－b

C．c＝－a＋2b D．c＝－a＋b

答案　D

解析　c＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝b－a.故选D.

5．设向量a＝(x，1)，b＝(1，－)，且a⊥b，则向量a－b与b的夹角为(　　)

A.B.C.D.

答案　D

解析　因为a⊥b，所以x－＝0，解得x＝，所以a＝(，1)，a－b＝(0，4)，则cos〈a－b，b〉＝＝＝－，所以向量a－b与b的夹角为，故选D.

6.如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ－μ等于(　　)

A．1 B．3

C．－1 D．－3

答案　D

解析　E为DC的中点，故＝(＋)，所以＝－＋2，所以λ＝－1，μ＝2，所以λ－μ＝－3，故选D.

7．已知向量a＝(1，x)，b＝(x，4)则“x＝－2”是“向量a与b反向”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　若a∥b，则x2＝4，解得x＝±2，当且仅当x＝－2时，向量a与b反向，所以“x＝－2”是“向量a与b反向”的充要条件，故选C.

8．在△ABC中，边BC的垂直平分线交BC于点Q，交AC于点P，若|A|＝1，||＝2，则·的值为(　　)

A．3B.C.D.

答案　B

解析　由题知QP⊥BC，所以·＝0，则·＝(＋)·＝·＋·＝(＋)·(－)＝(A2－2)＝，故选B.

9．已知a＝(2，cosx)，b＝(sinx，－1)，当x＝θ时，函数f(x)＝a·b取得最大值，则sin等于(　　)

A.B.C．－D．－

答案　D

解析　f(x)＝a·b＝2sinx－cosx＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，θ－φ＝2kπ＋，k∈Z，解得θ＝2kπ＋＋φ，k∈Z，所以sinθ＝cosφ＝，cosθ＝－sinφ＝－，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－，cos2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin＝(sin2θ＋cos2θ)＝－，故选D.

10.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝2，·＝－1，则·等于(　　)

A．5 B．6

C．7 D．8

答案　C

解析　·＝2－2＝42－2＝2，·＝2－2＝－1，所以2＝1，2＝2，因此·＝2－2＝92－2＝7，故选C.

11．(2018·西宁检测)定义：|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　)

A．6 B．－8或8

C．－8 D．8

答案　D

解析　cosθ＝＝＝－，且θ∈[0，π]，则sinθ＝，则|a×b|＝|a|·|b|sinθ＝10×＝8，故选D.

12．在△ABC中，＝2，过点M的直线分别交射线AB，AC于不同的两点P，Q，若＝m，＝n，则mn＋m的最小值为(　　)

A．6B．2C．6D．2

答案　D

解析　由已知易得，＝＋，

∴＝＋.

又M，P，Q三点共线，

∴＋＝1，

∴m＝，易知3n－1>0.

mn＋m＝m(n＋1)＝·(n＋1)

＝≥2，

当且仅当m＝n＝1时取等号．

∴mn＋m的最小值为2.

第Ⅱ卷(非选择题　共70分)

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．若复数(a＋i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是________．

答案　－1

解析　因为复数(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，

所以其在复平面内对应的点的坐标是(a2－1，2a)．

又因为该点在y轴负半轴上，

所以有解得a＝－1.

14．在△ABC中，AB＝5，AC＝7.若O为△ABC的外接圆的圆心，则·＝________.

答案　12

解析　取BC的中点D，由O为△ABC的外接圆的圆心得OD⊥BC，则·＝(＋)·＝·＋·＝·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝12.

15．欧拉在1748年给出了著名公式eiθ＝cosθ＋isinθ(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e＝2.71828…，根据欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ，任何一个复数z＝r(cosθ＋isinθ)，都可以表示成z＝reiθ的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z1＝2，z2＝，则复数z＝在复平面内对应的点在第________象限．

答案　四

解析　因为z1＝2＝2

＝1＋i，z2＝＝cos＋isin＝i，

所以z＝＝＝＝－i.

复数z在复平面内对应的点为Z(，－1)，点Z在第四象限．

16．已知点O为△ABC内一点，且满足＋＋4＝0.设△OBC与△ABC的面积分别为S1，S2，则＝______.

答案　

解析　设E为AB的中点，连接OE，延长OC到D，使OD＝4OC，因为点O为△ABC内一点，且满足＋＋4＝0，所以＋＋＝0，则点O是△ABD的重心，则E，O，C，D共线，OD∶OE＝2∶1，所以OC∶OE＝1∶2，则CE∶OE＝3∶2，则S1＝S△BCE＝S△ABC，所以＝.

三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分)已知向量a＝(－3，1)，b＝(1，－2)，c＝(1，1)．

(1)求向量a与b的夹角的大小；

(2)若c∥(a＋kb)，求实数k的值．

解　(1)设向量a与b的夹角为α，

则cosα＝＝＝－，

又α∈[0，π]，

所以α＝，即向量a与b的夹角的大小为.

(2)a＋kb＝(－3＋k，1－2k)，

因为c∥(a＋kb)，所以1－2k＋3－k＝0，

解得k＝，即实数k的值为.

18．(12分)已知a＝(3，－2)，b＝(2，1)，O为坐标原点．

(1)若ma＋b与a－2b的夹角为钝角，求实数m的取值范围；

(2)设＝a，＝b，求△OAB的面积．

解　(1)∵a＝(3，－2)，b＝(2，1)，

∴ma＋b＝(3m＋2，－2m＋1)，a－2b＝(－1，－4)，

令(ma＋b)·(a－2b)<0，

即－3m－2＋8m－4<0，解得m<，

∵当m＝－时，ma＋b＝－a＋b，

a－2b与ma＋b方向相反，夹角为平角，不合题意．

∴m≠－，

∴若ma＋b与a－2b的夹角为钝角，m的取值范围为∪.

(2)设∠AOB＝θ，△OAB面积为S，

则S＝|a|·|b|sinθ，

∵sin2θ＝1－cos2θ＝1－2，

∴4S2＝|a|2|b|2·sin2θ

＝|a|2|b|2－(a·b)2

＝65－16＝49.

∴S＝.

19．(13分)如图，在△OAB中，点P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足＝λ.

(1)若λ＝，用向量，表示；

(2)若||＝4，||＝3，且∠AOB＝60°，求·取值范围．

解　(1)∵＝，∴－＝(－)，

∴＝＋，即＝＋.

(2)∵·＝||·||·cos 60°＝6，＝λ(λ>0)，

∴－＝λ(－)，(1＋λ)＝＋λ，

∴＝＋.

∵＝－，

∴·＝·(－)

＝－2＋2＋·

＝＝＝3－.

∵λ>0，∴3－∈(－10，3)．

∴·的取值范围是(－10，3)．

20．(13分)已知向量m＝，n＝，记f(x)＝m·n.

(1)若f(x)＝1，求cos的值；

(2)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求f(2A)的取值范围．

解　(1)f(x)＝m·n＝sincos＋cos2

＝sin＋cos＋

＝sin＋.

由f(x)＝1，得sin＝，

所以cos＝1－2sin2＝.

(2)因为(2a－c)cosB＝bcosC，

由正弦定理得(2sin A－sin C)cosB＝sin BcosC，

所以2sin AcosB－sin CcosB＝sin BcosC，

所以2sin AcosB＝sin(B＋C)．

因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sin A，且sin A≠0，

所以cosB＝.

又0<B<，所以B＝，则A＋C＝π，A＝π－C.

又0<C<，则<A<，得<A＋<，

所以<sin≤1.

又因为f(2A)＝sin＋，

故函数f(2A)的取值范围是.