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    2020届高考数学一轮复习单元检测09《解析几何》提升卷单元检测 文数(含解析)

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    单元检测九 解析几何(提升卷)

    考生注意:

    1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页.

    2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.

    3.本次考试时间100分钟,满分130分.

    4.请在密封线内作答,保持试卷清洁完整.

    第Ⅰ卷(选择题 共60分)

    一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

    1.直线l经过点(,-2)和(0,1),则它的倾斜角是(  )

    A.30°B.60°C.150°D.120°

    答案 D

    解析 由斜率公式k=-,再由倾斜角的范围[0°,180°)知,tan120°=-,故选D.

    2.直线kxy-3k+3=0过定点(  )

    A.(3,0)   B.(3,3)

    C.(1,3)   D.(0,3)

    答案 B

    解析 kxy-3k+3=0可化为y-3=k(x-3),所以过定点(3,3).故选B.

    3.直线(a-1)xya-3=0(a>1),当此直线在xy轴的截距和最小时,实数a的值是(  )

    A.1B.C.2D.3

    答案 D

    解析 当x=0时,ya+3,当y=0时,x,令ta+3+,因为a>1,所以t>5,且a2+(3-t)at=0,则Δ=(3-t)2-4t≥0,解得t≥9或t≤1(舍去),所以t的最小值为9,把t=9代入上述方程解得a=3.

    4.由直线yx+1上的一点向圆(x-3)2y2=1引切线,则切线长的最小值为(  )

    A.B.2C.1D.3

    答案 A

    解析 圆的圆心为(3,0),r=1,圆心到直线xy+1=0的距离为d=2,所以由勾股定理可知切线长的最小值为.

    5.一束光线从点A(-1,1)发出,并经过x轴反射,到达圆(x-2)2+(y-3)2=1上一点的最短路程是(  )

    A.4B.5C.3-1D.2

    答案 A

    解析 依题意可得,点A关于x轴的对称点A1(-1,-1),圆心C(2,3),A1C的距离为=5,所以到圆上的最短距离为5-1=4,故选A.

    6.已知直线xya与圆x2y2=4交于AB两点,且||=||,其中O为原点,则实数a的值为(  )

    A.2B.-2C.2或-2D.或-

    答案 C

    解析 由||=||得||2=||2,化简得·=0,即,三角形AOB为等腰直角三角形,圆心到直线的距离为,即a=±2.

    7.点P(2,-1)为圆(x-3)2y2=25的弦的中点,则该弦所在直线的方程是(  )

    A.xy+1=0 B.xy-1=0

    C.xy-1=0 D.xy+1=0

    答案 B

    解析 点P(2,-1)为圆(x-3)2y2=25的弦的中点,设圆心为C(3,0),则该弦所在直线与PC垂直,故弦的斜率为k=-=-=-1,则由直线的点斜式可得弦所在直线的方程为y-(-1)=-1×(x-2),即xy-1=0.

    8.已知直线yax与圆C:(xa)2+(y-1)2a2-1交于AB两点,且∠ACB=60°,则圆的面积为(  )

    A.6πB.36πC.7πD.49π

    答案 A

    解析 由题意可得圆心C(a,1),半径R(a≠±1),

    ∵直线yax和圆C相交,△ABC为等边三角形,

    ∴圆心C到直线axy=0的距离为

    Rsin60°=×

    d,解得a2=7,

    ∴圆C的面积为πR2=π(7-1)=6π.

    故选A.

    9.已知椭圆=1的离心率e,则m的值为(  )

    A.3 B.或3

    C. D.

    答案 B

    解析 当m>5时,a2mb2=5,c2m-5,e2,解得m

    当0<m<5时,a2=5,b2mc2=5-me2,解得m=3.

    故选B.

    10.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线lE相交于AB两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为(  )

    A.=1 B.=1

    C.=1 D.=1

    答案 B

    解析 由已知条件得直线l的斜率为kkFN=1,

    设双曲线方程为=1(a>0,b>0),A(x1y1),B(x2y2),

    则有

    两式相减并结合x1x2=-24,y1y2=-30

    得,,从而=1,

    即4b2=5a2,又a2b2=9,解得a2=4,b2=5,故选B.

    11.已知直线lkxy-2k+1=0与椭圆C1:=1(a>b>0)交于AB两点,与圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1交于CD两点.若存在k∈[-2,-1],使得,则椭圆C1的离心率的取值范围是(  )

    A. B.

    C. D.

    答案 C

    解析 直线l过圆C2的圆心,∵

    ∴||=||,

    C2的圆心为AB两点的中点.

    A(x1y1),B(x2y2),

    两式相减得,

    =-

    化简可得-2·k,又∵a>b,∴=-

    所以e.

    12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为F1F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1e2,则e1e2满足的关系是(  )

    A.=2 B.=2

    C.e1e2=2 D.e2e1=2

    答案 B

    解析 由椭圆与双曲线的定义得e1e2,所以=2,故选B.

    第Ⅱ卷(非选择题 共70分)

    二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)

    13.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于AB两点,|AF|=2,则|BF|=________.

    答案 2

    解析 设A(x0y0),由抛物线定义知x0+1=2,

    x0=1,则直线ABx轴,∴|BF|=|AF|=2.

    14.在平面直角坐标系xOy中,若圆C:(x-2)2+(y-2)2=1上存在点M,使得点M关于x轴的对称点N在直线lkxy+3=0上,则实数k的最小值为________.

    答案 -

    解析 方法一 圆C:(x-2)2+(y-2)2=1关于x轴对称的圆C′的方程为(x-2)2+(y+2)2=1,则符合题意的k的取值范围就是圆C′与l有公共点时k的取值范围,∴≤1,∴-k≤0,即k的最小值为-.

    方法二 ∵M在圆C:(x-2)2+(y-2)2=1上,

    ∴可设M(2+cosθ,2+sinθ),

    可得N(2+cosθ,-2-sinθ),

    N的坐标代入kxy+3=0,

    可得sinθkcosθ=2k+1,|2k+1|≤

    化简得3k2+4k≤0,解得-k≤0,

    k的最小值为-.

    15.(2018·河南新乡高三模拟)已知抛物线Cx2=2py(p>0)的焦点为FO为坐标原点,点MN,射线MONO分别交抛物线C于异于点O的点AB,若ABF三点共线,则p的值为________.

    答案 2

    解析 直线OM的方程为y=-x,将其代入x2=2py

    解方程可得A.

    直线ON的方程为yx,将其代入x2=2py

    解方程可得B.

    F,所以kABkBF

    因为ABF三点共线,所以kABkBF,即,解得p=2.

    16.已知AB分别为椭圆C=1(a>b>0)的左、右顶点,两不同点PQ在椭圆C上,且关于x轴对称,设直线APBQ的斜率分别为mn,则当+ln|m|+ln|n|取最小值时,椭圆C的离心率为________.

    答案 

    解析 设点P(x0y0),则=1,所以mn,从而+ln|m|+ln|n|=+ln,设x,令f(x)=+lnx(0<x<1),则f′(x)=f(x)minf,即.因为≥2,当且仅当,即时取等号,取等号的条件一致,此时e2=1-,所以e.

    三、解答题(本题共4小题,共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

    17.(12分)如图,直线lyxb与抛物线Cx2=4y相切于点A.

    (1)求实数b的值;

    (2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.

    解 (1)由x2-4x-4b=0.(*)

    因为直线l与抛物线C相切,所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0,解得b=-1.

    (2)由(1)可知b=-1,故方程(*)即为x2-4x+4=0,解得x=2.

    将其代入x2=4y,得y=1.

    故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,

    所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,

    r=|1-(-1)|=2,

    所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.

    18.(12分)(2019·湖北随州第二高级中学月考)已知过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆C

    (x-2)2+(y-3)2=1相交于MN两点.

    (1)求实数k的取值范围;

    (2)求证:·为定值.

    (1)解 由题意过点A(0,1)且斜率为k的直线的方程为ykx+1,

    代入圆C的方程得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,

    因为直线与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于MN两点,

    所以Δ=[-4(1+k)]2-4×7×(1+k2)>0,

    解得<k<

    所以实数k的取值范围是.

    (2)证明 设M(x1y1),N(x2y2),=(x1y1-1),=(x2y2-1),

    由(1)得,x1x2x1x2

    所以y1y2=(kx1+1)+(kx2+1)=k(x1x2)+2.

    y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2k(x1x2)+1.

    所以·=(x1y1-1)·(x2y2-1)

    x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2y1y2-(y1y2)+1

    x1x2k2x1x2=(1+k2=7,

    所以·为定值.

    19.(13分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C=1(a>b>0)的离心率为,且过点,过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P,交直线lxm(m>a)于点M,已知点B(1,0),直线PBl于点N.

    (1)求椭圆C的方程;

    (2)若MB是线段PN的垂直平分线,求实数m的值.

    解 (1)因为椭圆C的离心率为,所以a2=4b2.

    又因为椭圆C过点

    所以=1,解得a2=4,b2=1.

    所以椭圆C的方程为y2=1.

    (2)方法一 设P(x0y0),-2<x0<2,x0≠1,

    y0=1.

    因为MBPN的垂直平分线,

    所以P关于B的对称点为N(2-x0,-y0),

    所以2-x0m.

    A(-2,0),P(x0y0),

    可得直线AP的方程为y(x+2),

    xm,得y

    M.

    设直线PBMB的斜率分别为kPBkMB.

    因为PBMB,所以kPB·kMB=-1,

    所以kPB·kMB·=-1,

    因为y0=1,

    所以=1.

    x0=2-m,所以化简得3m2-10m+4=0,

    解得m.

    因为m>2,所以m.

    方法二 ①当AP的斜率不存在或为0时,不满足条件.

    ②当AP的斜率存在且不为0时,

    AP的斜率为k,则APyk(x+2),

    联立消去y,得

    (4k2+1)x2+16k2x+16k2-4=0,

    Δ=(16k2)2-4×(16k2-4)(4k2+1)>0.

    A(xA,0),P(xPyP),

    因为xA=-2,所以xP

    所以yP

    所以P.

    因为PN的中点为B

    所以m=2-.  (*)

    因为AP交直线l于点M

    所以M(mk(m+2)),

    因为直线PBx轴不垂直,

    所以≠1,即k2.

    设直线PBMB的斜率分别为kPBkMB

    kPB

    kMB.

    因为PBMB,所以kPB·kMB=-1,

    所以·=-1.  (**)

    将(*)代入(**),化简得48k4-32k2+1=0,

    解得k2

    所以m.

    又因为m>2,所以m.

    20.(13分)已知椭圆C=1(a>b>0)的长轴长为4,其上顶点到直线3x+4y-1=0的距离等于.

    (1)求椭圆C的方程;

    (2)若直线l与椭圆C交于AB两点,交x轴的负半轴于点E,交y轴于点F(点EF都不在椭圆上),且λ1λ2λ1λ2=-8,证明:直线l恒过定点,并求出该定点.

    解 (1)由椭圆C的长轴长为4知2a=4,故a=2,

    椭圆的上顶点为(0,b),则由b=1,

    所以椭圆C的方程为y2=1.

    (2)设A(x1y1),E(m,0)(m<0,m≠-2),F(0,n),

    λ1

    得(x1y1n)=λ1(mx1,-y1),

    所以A.

    同理由λ2,得B

    AB分别代入y2=1

    得:

    λ1λ2是关于x的方程(4-m2)x2+8x+4-4n2=0的两个根,∴λ1λ2=-8,

    m=-,所以直线l恒过定点(-,0).

     

     

     

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