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    2020届高考数学一轮复习单元检测06《数列》提升卷单元检测 文数(含解析)

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    单元检测六 数 列(提升卷)

    考生注意:

    1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页.

    2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.

    3.本次考试时间100分钟,满分130分.

    4.请在密封线内作答,保持试卷清洁完整.

    第Ⅰ卷(选择题 共60分)

    一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

    1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn(nN*),若S21=63,则a7a11a15等于(  )

    A.6B.9C.12D.15

    答案 B

    解析 设数列{an}的公差为d,则由S21=63,得21a1+210d=63,即a1+10d=3,所以a7a11a15=3a1+30d=3(a1+10d)=9,故选B.

    2.已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则数列{log2an}的前12项和为(  )

    A.66B.55C.45D.65

    答案 A

    解析 由题得anSnSn-1=2n-1(n≥2),又a1S1=1也满足an=2n-1,所以an=2n-1(nN*),则log2ann-1,所以数列{log2an}的前12项和为×12=66.故选A.

    3.已知{an}为递增的等比数列,且a2a5=128,,则an等于(  )

    A.2nB.2nC.nD.

    答案 A

    解析 设数列{an}的公比为q

    又{an}递增,

    解得

    所以an=2n(nN*),故选A.

    4.已知数列{an}的前n项和Snan2bn,若a<0,则(  )

    A.nanna1Sn B.Snna1nan

    C.na1Snnan D.nanSnna1

    答案 D

    解析 由Sn知{an}为公差d<0的等差数列,

    ∴{an}为递减数列,∴nanSnna1.

    5.已知在数列{an}中,a1=1,an+1ann+1,则数列的前n项和为(  )

    A. B.

    C. D.

    答案 D

    解析 由an+1=ann+1,得an+1ann+1,所以an=(anan-1)+(an-1an-2)+…+(a2a1)+a1nn-1+…+2+1=,故,故数列的前n项和为(2+3+…+n+1)=,故选D.

    6.已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且满足a1 010a1 011=π,b6·b9=2,则tan等于(  )

    A.1B.-1C.D.

    答案 D

    解析 由题意得tan=tan

    =tan,故选D.

    7.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,2Snan+1-1,则数列{an}的通项公式为(  )

    A.an=3n B.an=3n-1

    C.an=2n D.an=2n-1

    答案 B

    解析 因为2Snan+1-1,所以2a1a2-1,又a1=1,所以a2=3.由题知当n≥2时,2Sn-1an-1,所以2anan+1an,易知an≠0,所以=3(n≥2),当n=1时,也符合此式,所以{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,所以an=3n-1(nN*),故选B.

    8.已知数列{an}中,a1,且对任意的nN*,都有an+1成立,则a2 020的值为(  )

    A.1B.C.D.

    答案 C

    解析 由题得a1a2a3a4,数列{an}为周期数列,且a1a3a5=…=a2n-1(nN*),a2a4a6=…=a2n(nN*),所以a2 020,故选C.

    9.已知数列{an}的通项公式为ann3n2+24(nN*),则当an取得最小值时,n等于(  )

    A.5B.6C.7D.8

    答案 C

    解析 令f(x)=x3x2+24(x≥1),则f′(x)=3x2-21x=3x(x-7).在区间(1,7)内,f′(x)<0;在区间(7,+∞)内,f′(x)>0.故当x=7时,f(x)取得最小值,即n=7时,an取得最小值,故选C.

    10.设数列{an}满足a1,且对任意的nN*,都有an+2an≤3nan+4an≥10×3n,则a2 021等于(  )

    A. B.+2

    C. D.+2

    答案 A

    解析 因为对任意的nN*,满足an+2an≤3nan+4an≥10×3n,所以10×3n≤(an+4an+2)+(an+2an)≤3n+2+3n=10×3n,所以an+4an=10×3n.因为a2 021=(a2 021a2 017)+(a2 017a2 013)+…+(a5a1)+a1=10×(32017+32013+…+3)+=10×.

    11.记f(n)为最接近(nN*)的整数,如:f(1)=1,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=2,f(5)=2,….若+…+=4038,则正整数m的值为(  )

    A.2018×2019 B.20192

    C.2019×2020 D.2020×2021

    答案 C

    解析 设xnN*f(x)=n,则n<<n,所以n2n<x<n2n,则n2n+1≤xn2n,故满足f(x)=nx的值共有2n个,分别为n2n+1,n2n+2,…,n2n,且+…+=2n×=2.因为4038=2×2019,所以m=20192+2019=2019×2020,故选C.

    12.已知数列{an}的前n项和为Sna1≠0,常数λ>0,且λa1anS1Sn对一切正整数n都成立,则数列{an}的通项公式为(  )

    A.B.C.D.

    答案 A

    解析 令n=1,则λa=2S1=2a1,即a1(λa1-2)=0,因为a1≠0,所以a1,所以2anSn,①

    n≥2时,2an-1Sn-1,②

    ①-②,得2an-2an-1an,即an=2an-1(n≥2),所以{an}是以为首项,2为公比的等比数列,所以an×2n-1(nN*),故选A.

    第Ⅱ卷(非选择题 共70分)

    二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)

    13.已知等差数列{an}的前9项和等于前4项和,若aka4=0,则k=________.

    答案 10

    解析 由S9S4=0,得a5a6a7a8a9=0,故a7=0,由aka4=0=2a7,得k+4=14,所以k=10.

    14.已知正项等比数列{an}满足a6a5+2a4,若存在两项aman,使得=2a1,则的最小值为________.

    答案 

    解析 设数列{an}的公比为q(q>0),则由a6a5+2a4,可得q=2或q=-1(舍去),又=2a1,∴mn=4,又∵mnN*,经验证m=1,n=3时,min=.

    15.已知数列{an}满足a1=2,且+…+an-2(n≥2),则{an}的通项公式为______________.

    答案 ann+1

    解析 因为+…+an-2(n≥2),①

    所以+…+an+1-2(n≥2),②

    ②-①,得=(an+1-2)-(an-2)=an+1an(n≥2),整理得(n≥2),

    a1=2,且a2-2,所以a2=3,则···…··×××…××,整理得,所以ann+1(nN*)(经检验n=1也符合).

    16.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品的销售价格,即根据商品的最低销售限价a、最高销售限价b(b>a)以及常数x(0<x<1)确定实际销售价格cax(ba),这里,x被称为乐观系数.经验证表明,最佳乐观系数x恰好使得cabcba的等比中项,据此可得,最佳乐观系数x的值为________.

    答案 

    解析 由题意知cax(ba),bc=(ba)-x(ba),又cabcba的等比中项,∴[x(ba)]2=(ba)2x(ba)2,∴x2x-1=0,解得x.∵0<x<1,∴x.

    三、解答题(本题共4小题,共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

    17.(12分)设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3a2+4,nN*.

    (1)求数列{an}的通项公式;

    (2)设{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{anbn}的前n项和Sn.

    解 (1)设q为等比数列{an}的公比,q>0,

    则由a1=2,a3a2+4,得2q2=2q+4,即q2q-2=0,

    解得q=2.

    所以数列{an}的通项公式为an=2·2n-1=2nnN*.

    (2)由题意得Sn=(a1a2+…+an)+(b1b2+…+bn)=n×1+×2=2n+1n2-2.

    18.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足3Sn=4an-2(nN*).

    (1)求数列{an}的通项公式;

    (2)设bn=logan,求数列的前n项和Tn.

    解 (1)当n≥2时,3Sn=4an-2,①

    3Sn-1=4an-1-2,②

    ①-②得3an=4(anan-1),

    所以an=4an-1,即=4.

    又3S1=4a1-2,所以a1=2,

    所以数列{an}是以2为首项,4为公比的等比数列,所以an=2×4n-1=22n-1(nN*).

    (2)因为bn=logan=log22n-1=1-2n

    所以

    所以Tn(nN*).

    19.(13分)已知数列{an}满足an≠0,a1=1,n(an+1-2an)=2an.

    (1)求数列{an}的通项公式;

    (2)求数列的前n项和Sn.

    解 (1)因为n(an+1-2an)=2an,故an+1an

    =2·.

    bn,所以bn+1=2bn.

    因为an≠0,所以bn≠0,所以=2.

    又因为b1=1,所以数列{bn}是以1为首项,公比为2的等比数列,

    bn=2n-1ann·2n-1(nN*).

    (2)由(1)可知+3n-5=2n-1+3n-5,

    Sn=(20+3×1-5)+(21+3×2-5)+…+(2n-1+3n-5)=(20+21+…+2n-1)+3(1+2+…+n)-5n=2n-1.

    20.(13分)已知函数f(x)=的图象过原点,且关于点(-1,2)成中心对称.

    (1)求函数f(x)的解析式;

    (2)若数列{an}满足a1=2,an+1f(an),试证明数列为等比数列,并求出数列{an}的通项公式.

    解 (1)∵f(0)=0,∴c=0.

    f(x)=的图象关于点(-1,2)成中心对称,

    f(x)+f(-2-x)=4,即=4,

    解得b=2.

    f(x)=.

    (2)∵an+1f(an)=

    ∴当n≥2时,···=2.

    =2≠0,

    ∴数列是首项为2,公比为2的等比数列,

    =2n,∴an(n∈N*).

     

     

     

     

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