2020届高考数学一轮复习单元检测06《数列》提升卷单元检测 文数（含解析）

单元检测六　数　列(提升卷)

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．

3．本次考试时间100分钟，满分130分．

4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若S21＝63，则a7＋a11＋a15等于(　　)

A．6B．9C．12D．15

答案　B

解析　设数列{an}的公差为d，则由S21＝63，得21a1＋210d＝63，即a1＋10d＝3，所以a7＋a11＋a15＝3a1＋30d＝3(a1＋10d)＝9，故选B.

2．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则数列{log2an}的前12项和为(　　)

A．66B．55C．45D．65

答案　A

解析　由题得an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝S1＝1也满足an＝2n－1，所以an＝2n－1(n∈N*)，则log2an＝n－1，所以数列{log2an}的前12项和为×12＝66.故选A.

3．已知{an}为递增的等比数列，且a2a5＝128，＋＝，则an等于(　　)

A．2nB．2nC.nD.

答案　A

解析　设数列{an}的公比为q，

则

又{an}递增，

解得即

所以an＝2n(n∈N*)，故选A.

4．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn，若a<0，则(　　)

A．nan≤na1≤Sn B．Sn≤na1≤nan

C．na1≤Sn≤nan D．nan≤Sn≤na1

答案　D

解析　由Sn知{an}为公差d<0的等差数列，

∴{an}为递减数列，∴nan≤Sn≤na1.

5．已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，则数列的前n项和为(　　)

A. B.

C. D.

答案　D

解析　由an＋1＝an＋n＋1，得an＋1－an＝n＋1，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋n－1＋…＋2＋1＝，故＝，故数列的前n项和为(2＋3＋…＋n＋1)＝，故选D.

6．已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且满足a1 010＋a1 011＝π，b6·b9＝2，则tan等于(　　)

A．1B．－1C.D.

答案　D

解析　由题意得tan＝tan

＝tan＝，故选D.

7．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1,2Sn＝an＋1－1，则数列{an}的通项公式为(　　)

A．an＝3n B．an＝3n－1

C．an＝2n D．an＝2n－1

答案　B

解析　因为2Sn＝an＋1－1，所以2a1＝a2－1，又a1＝1，所以a2＝3.由题知当n≥2时，2Sn－1＝an－1，所以2an＝an＋1－an，易知an≠0，所以＝3(n≥2)，当n＝1时，也符合此式，所以{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以an＝3n－1(n∈N*)，故选B.

8．已知数列{an}中，a1＝，且对任意的n∈N*，都有an＋1＝成立，则a2 020的值为(　　)

A．1B.C.D.

答案　C

解析　由题得a1＝；a2＝＝；a3＝＝；a4＝＝，数列{an}为周期数列，且a1＝a3＝a5＝…＝a2n－1＝(n∈N*)，a2＝a4＝a6＝…＝a2n＝(n∈N*)，所以a2 020＝，故选C.

9．已知数列{an}的通项公式为an＝n3－n2＋24(n∈N*)，则当an取得最小值时，n等于(　　)

A．5B．6C．7D．8

答案　C

解析　令f(x)＝x3－x2＋24(x≥1)，则f′(x)＝3x2－21x＝3x(x－7)．在区间(1,7)内，f′(x)<0；在区间(7，＋∞)内，f′(x)>0.故当x＝7时，f(x)取得最小值，即n＝7时，an取得最小值，故选C.

10．设数列{an}满足a1＝，且对任意的n∈N*，都有an＋2－an≤3n，an＋4－an≥10×3n，则a2 021等于(　　)

A. B.＋2

C. D.＋2

答案　A

解析　因为对任意的n∈N*，满足an＋2－an≤3n，an＋4－an≥10×3n，所以10×3n≤(an＋4－an＋2)＋(an＋2－an)≤3n＋2＋3n＝10×3n，所以an＋4－an＝10×3n.因为a2 021＝(a2 021－a2 017)＋(a2 017－a2 013)＋…＋(a5－a1)＋a1＝10×(32017＋32013＋…＋3)＋＝10×＋＝.

11．记f(n)为最接近(n∈N*)的整数，如：f(1)＝1，f(2)＝1，f(3)＝2，f(4)＝2，f(5)＝2，….若＋＋＋…＋＝4038，则正整数m的值为(　　)

A．2018×2019 B．20192

C．2019×2020 D．2020×2021

答案　C

解析　设x，n∈N*，f(x)＝n，则n－<<n＋，所以n2－n＋<x<n2＋n＋，则n2－n＋1≤x≤n2＋n，故满足f(x)＝n的x的值共有2n个，分别为n2－n＋1，n2－n＋2，…，n2＋n，且＋＋…＋＝2n×＝2.因为4038＝2×2019，所以m＝20192＋2019＝2019×2020，故选C.

12．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立，则数列{an}的通项公式为(　　)

A.B.C.D.

答案　A

解析　令n＝1，则λa＝2S1＝2a1，即a1(λa1－2)＝0，因为a1≠0，所以a1＝，所以2an＝＋Sn，①

当n≥2时，2an－1＝＋Sn－1，②

①－②，得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1(n≥2)，所以{an}是以为首项，2为公比的等比数列，所以an＝×2n－1＝(n∈N*)，故选A.

第Ⅱ卷(非选择题　共70分)

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．已知等差数列{an}的前9项和等于前4项和，若ak＋a4＝0，则k＝________.

答案　10

解析　由S9－S4＝0，得a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，故a7＝0，由ak＋a4＝0＝2a7，得k＋4＝14，所以k＝10.

14．已知正项等比数列{an}满足a6＝a5＋2a4，若存在两项am，an，使得＝2a1，则＋的最小值为________．

答案　

解析　设数列{an}的公比为q(q>0)，则由a6＝a5＋2a4，可得q＝2或q＝－1(舍去)，又＝2a1，∴m＋n＝4，又∵m，n∈N*，经验证m＝1，n＝3时，min＝.

15．已知数列{an}满足a1＝2，且＋＋＋…＋＝an－2(n≥2)，则{an}的通项公式为______________．

答案　an＝n＋1

解析　因为＋＋＋…＋＝an－2(n≥2)，①

所以＋＋＋…＋＋＝an＋1－2(n≥2)，②

②－①，得＝(an＋1－2)－(an－2)＝an＋1－an(n≥2)，整理得＝(n≥2)，

又a1＝2，且＝a2－2，所以a2＝3，则···…··＝×××…××，整理得＝，所以an＝n＋1(n∈N*)(经检验n＝1也符合)．

16．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品的销售价格，即根据商品的最低销售限价a、最高销售限价b(b>a)以及常数x(0<x<1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)，这里，x被称为乐观系数．经验证表明，最佳乐观系数x恰好使得c－a是b－c和b－a的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值为________．

答案　

解析　由题意知c－a＝x(b－a)，b－c＝(b－a)－x(b－a)，又c－a是b－c和b－a的等比中项，∴[x(b－a)]2＝(b－a)2－x(b－a)2，∴x2＋x－1＝0，解得x＝.∵0<x<1，∴x＝.

三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4，n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.

解　(1)设q为等比数列{an}的公比，q>0，

则由a1＝2，a3＝a2＋4，得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，

解得q＝2.

所以数列{an}的通项公式为an＝2·2n－1＝2n，n∈N*.

(2)由题意得Sn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝＋n×1＋×2＝2n＋1＋n2－2.

18．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足3Sn＝4an－2(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝logan，求数列的前n项和Tn.

解　(1)当n≥2时，3Sn＝4an－2，①

3Sn－1＝4an－1－2，②

①－②得3an＝4(an－an－1)，

所以an＝4an－1，即＝4.

又3S1＝4a1－2，所以a1＝2，

所以数列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列，所以an＝2×4n－1＝22n－1(n∈N*)．

(2)因为bn＝logan＝log22n－1＝1－2n，

所以＝

＝，

所以Tn＝＝＝(n∈N*)．

19．(13分)已知数列{an}满足an≠0，a1＝1，n(an＋1－2an)＝2an.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列的前n项和Sn.

解　(1)因为n(an＋1－2an)＝2an，故an＋1＝an，

得＝2·.

设bn＝，所以bn＋1＝2bn.

因为an≠0，所以bn≠0，所以＝2.

又因为b1＝＝1，所以数列{bn}是以1为首项，公比为2的等比数列，

故bn＝2n－1＝，an＝n·2n－1(n∈N*)．

(2)由(1)可知＋3n－5＝2n－1＋3n－5，

故Sn＝(20＋3×1－5)＋(21＋3×2－5)＋…＋(2n－1＋3n－5)＝(20＋21＋…＋2n－1)＋3(1＋2＋…＋n)－5n＝2n＋－1.

20．(13分)已知函数f(x)＝的图象过原点，且关于点(－1,2)成中心对称．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝f(an)，试证明数列为等比数列，并求出数列{an}的通项公式．

解　(1)∵f(0)＝0，∴c＝0.

∵f(x)＝的图象关于点(－1,2)成中心对称，

∴f(x)＋f(－2－x)＝4，即＋＝4，

解得b＝2.

∴f(x)＝.

(2)∵an＋1＝f(an)＝，

∴当n≥2时，＝·＝·＝·＝2.

又＝2≠0，

∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，

∴＝2n，∴an＝(n∈N*)．