2020届高考数学一轮复习单元检测08《立体几何》提升卷单元检测 文数（含解析）

单元检测八　立体几何(提升卷)

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．

3．本次考试时间100分钟，满分130分．

4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是(　　)

A．25πB．50πC．125πD．都不对

答案　B

解析　长方体的8个顶点都在同一球面上，则这个球是长方体的外接球，所以球直径等于长方体的体对角线长，即R＝＝，所以球的表面积为4πR2＝4π·2＝50π，故选B.

2.如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(　　)

A．6cmB．8cmC．(2＋3) cmD．(2＋2) cm

答案　B

解析　由斜二测画法知，原图四边形OABC为平行四边形，OB⊥OA，OA＝1 cm，OB＝2cm，所以AB＝3cm，因此其周长为(3＋1)×2＝8cm.

3．(2018·广东省广州市培正中学模拟)下列命题中，错误的是(　　 )

A．平行于同一平面的两个平面平行

B．平行于同一直线的两个平面平行

C．一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交

D．一条直线与两个平行平面所成的角相等

答案　B

解析　选项A正确，是面面平行的传递性．选项B错误，比如正方体的两相邻侧面与一侧棱都平行，但两侧面所在平面相交．选项C正确，由反证法，若直线与另一平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行，与直线与第一个平面相交矛盾．选项D正确，由线面角定义可知正确．

4.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，且EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为(　　)

A.B．5C．6D.

答案　D

解析　分别取AB，CD的中点G，H，连接EG，GH，EH，把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱，可求得四棱锥的体积为3，三棱柱的体积为，所以整个多面体的体积为.

5．如图，一个空间几何体的正视图，侧视图，俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边的长为1，那么这个几何体的体积为(　　 )

A.B.C.D．1

答案　A

解析　由三视图还原可知，原图形是底面是直角边为1的等腰直角三角形，两侧面也是直角边为1的等腰直角三角形，另一侧面是边长为的等边三角形的三棱锥．

所以体积为V＝××1＝，选A.

6．设a，b是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线a和b的两个平行平面；③经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b；④经过直线a有且只有一个平面平行于直线b，其中正确的个数为(　　)

A．1B．2C．3D．4

答案　C

解析　对于①，可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确；对于②，可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确；对于③，当这两条直线不垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误；对于④，假设过直线a有两个平面α，β与直线b平行，则平面α，β相交于直线a，过直线b作一平面γ与平面α，β相交于两条直线m，n都与直线b平行，可得a与b平行，所以假设不成立，所以④正确，故选C.

7．(2018·广东省广州市培正中学模拟)如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，∠DAD1＝45°，∠CDC1＝30°，那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是(　　 )

A.B.C.D.

答案　C

解析　由∠DAD1＝45°，∠CDC1＝30°，可设AD＝DD1＝1，CD＝.连接BC1，BD.

由AD1∥BC1，所以异面直线AD1与DC1所成的角，即∠BC1D.

在△BDC1中，BC1＝，BD＝2，C1D＝2，由余弦定理可得cos∠BC1D＝＝＝，

所以异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是，选C.

8．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　　)

A．相交B．平行C．异面D．不确定

答案　B

解析　∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，

∴l⊥平面ABC.

∵m⊥BC，m⊥AC，BC∩AC＝C，BC，AC⊂平面ABC，

∴m⊥平面ABC，

∴l∥m，故选B.

9．已知α，β是两个平面，直线l⊄α，l⊄β，若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有(　　)

A．①③⇒②；①②⇒③

B．①③⇒②；②③⇒①

C．①②⇒③；②③⇒①

D．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①

答案　A

解析　因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，又因为l⊥α，所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β，即①③⇒②；因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，又因为l⊥α，所以n⊥α，又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③.故选A.

10．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)

A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n

答案　C

解析　∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m, n满足m∥α，∴m∥β或m⊂β或m与β相交，∵n⊥β，l⊂β，∴n⊥l.故选C.

11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为(　　)

A．30° B．45°

C．60° D．90°

答案　C

解析　连接BC1，AD1，D1C.

∵M，N分别为BC，CC1的中点，∴MN∥BC1.

又易证得BC1∥AD1，∴MN∥AD1.

∴∠D1AC即为异面直线AC和MN所成的角．

∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴AC＝AD1＝D1C.即△D1AC为正三角形，

∴∠D1AC＝60°.故C正确．

12.点P在正方体侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则点P的轨迹为(　　)

A．线段B1C

B．BB1的中点与CC1的中点连成的线段

C．线段BC1

D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段

答案　A

解析　∵AP⊥BD1恒成立，

∴要保证AP所在的平面始终垂直于BD1.

∵AC⊥BD1，AB1⊥BD1，AC∩AB1＝A，AC，AB1⊂平面AB1C，

∴BD1⊥平面AB1C，∴P点在线段B1C上运动．故选A.

第Ⅱ卷(非选择题　共70分)

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．往一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为________厘米．

答案　12

解析　V＝Sh＝πr2h＝πR3，

R＝＝＝12.

14.如图，E，F分别为正方体的平面ADD1A1、平面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是____________．(填序号)

答案　②③

解析　因为正方体是对称的几何体，

所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：自上而下、自左至右、由前及后三个方向的射影，

也就是在平面ABCD、平面CDD1C1、平面BCC1B1上的射影．四边形BFD1E在平面ABCD和平面CDD1C1上的射影相同，如图②所示；

四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在平面BCC1B1上的射影显然是一条线段，如图③所示．

故②③正确．

15.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝__________.

答案　90°

解析　因为C1B1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，所以C1B1⊥MN.

又因为MN⊥MB1，MB1，C1B1⊂平面C1MB1，MB1∩C1B1＝B1，所以MN⊥平面C1MB1，

所以MN⊥C1M，所以∠C1MN＝90°.

16.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．

答案　AB，BC，AC　AB

解析　∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，

∴AB⊥平面PAC，∴与AP垂直的直线是AB.

三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC－A1B1C1中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．

(1)求证：AC⊥B1C；

(2)求证：AC1∥平面CDB1.

证明　(1)∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，

∴CC1⊥平面ABC，

又AC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC.

又∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，

∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.

∵CC1，BC⊂平面BB1C1C，CC1∩BC＝C，

∴AC⊥平面BB1C1C，

又B1C⊂平面BB1C1C，∴AC⊥B1C.

(2)取A1B1的中点D1，连接C1D1，D1D和AD1，

∵AD∥D1B1，且AD＝D1B1，

∴四边形ADB1D1为平行四边形，∴AD1∥DB1，

又∵AD1⊄平面CDB1，DB1⊂平面CDB1，

∴AD1∥平面CDB1.

∵CC1∥DD1，且CC1＝DD1，

∴四边形CC1D1D为平行四边形，∴C1D1∥CD，

又∵CD⊂平面CDB1，C1D1⊄平面CDB1，

∴C1D1∥平面CDB1，

∵AD1∩C1D1＝D1，AD1，C1D1⊂平面AC1D1，

∴平面AC1D1∥平面CDB1，

又AC1⊂平面AC1D1，∴AC1∥平面CDB1.

18．(12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．

(1)求证：PB∥平面EAC；

(2)求证：AE⊥平面PCD；

(3)当为何值时，PB⊥AC?

(1)证明　连接BD交AC于O，连接EO，

因为O，E分别为BD，PD的中点，所以EO∥PB，

因为EO⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，所以PB∥平面EAC.

(2)证明　

⇒

⇒平面PDC⊥平面PAD，

正三角形PAD中，E为PD的中点，所以AE⊥PD，

又平面PDC∩平面PAD＝PD，所以AE⊥平面PCD.

(3)解　设N为AD中点，连接PN，则PN⊥AD.

又平面PAD⊥底面ABCD，所以PN⊥底面ABCD.

所以，NB为PB在平面ABCD上的射影．

要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，在矩形ABCD中，设AD＝BC＝1，AB＝x，AN＝，由∠ANB＝∠BAC，

得Rt△NAB∽Rt△ABC，＝⇒AB2＝AN·BC⇒x2＝，解得x＝，

所以，当＝时，PB⊥AC.

19．(13分)如图，已知四棱锥P－ABCD，底面四边形ABCD为菱形，AB＝2，BD＝2，M，N分别是线段PA，PC的中点．

(1)求证：MN∥平面ABCD；

(2)求异面直线MN与BC所成角的大小．

(1)证明　连接AC交BD于点O，

∵M，N分别是线段PA，PC的中点，

∴MN∥AC，

∵MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴MN∥平面ABCD.

(2)解　由(1)知，∠ACB就是异面直线MN与BC所成的角或其补角．

∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，BD＝2，

∴在Rt△BOC中，BC＝2，BO＝，∴∠OCB＝60°，

∴异面直线MN与BC所成的角为60°.

20．(13分)(2017·北京)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．

(1)求证：PA⊥BD；

(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；

(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．

(1)证明　因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB，BC⊂平面ABC，AB∩BC＝B，

所以PA⊥平面ABC，

又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD.

(2)证明　因为AB＝BC，D为AC中点，所以BD⊥AC，

由(1)知，PA⊥BD，AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，

所以BD⊥平面PAC.

又因为BD⊂平面BDE，

所以平面BDE⊥平面PAC.

(3)解　因为PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BDE＝DE，

所以PA∥DE.

因为D为AC的中点，所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝.

由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC.

所以三棱锥E－BCD的体积V＝BD·DC·DE＝.