2020版高考数学一轮复习课后限时集训58《模拟方法_概率的应用》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(五十八)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“sin x≤”发生的概率为(　　)

A．　　　 B.

C． D．

D　[x∈∪时，sin x≤，故概率为=.]

2．(2019·遂宁模拟)已知函数f(x)=x2－x－2，x∈[－3,3]，在定义域内任取一点x0，使f(x0)≤0的概率是(　　)

A． B．

C． D．

C　[由f(x0)≤0可得－1≤x0≤2，所以D=3－(－3)=6，d=2－(－1)=3，故由几何概型的计算公式可得所求概率为P==，故选C．]

3．(2019·惠州模拟)如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线y=，y=－，y=x，y=－x及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)

A． B．

C． D．

A　[根据图像的对称性知，黑色部分图形的面积为圆面积的四分之一，在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是，选A．]

4．在区间[－1,3]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则实数m为(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

B　[区间[－1,3]的区间长度为4.

不等式|x|≤m的解集为[－m，m]，

区间长度为2m，由=，则m=1.]

5．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是(　　)

A．1－　　 B.

C．　　　　 D．1－

A　[鱼缸底面正方形的面积为22=4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－，故选A．]

6．(2019·西安调研)若函数f(x)=在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是(　　)

A． B．1－

C． D．

B　[当0≤x＜1时，恒有f(x)=ex＜e，不满足题意．

当1≤x≤e时，f(x)=ln x＋e.由ln x＋e≥e，得1≤x≤e.∴所求事件的概率P==1－.]

7．有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　)

A． B．

C． D．

B　[设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，则P1===.

故点P到点O的距离大于1的概率P=1－=.]

二、填空题

8．(2019·怀化期末)在区间[－3,5]上随机取一个实数a，则使函数f(x)=x2＋4x＋a无零点的概率为________．

　[∵函数f(x)=x2＋4x＋a无零点，∴Δ=42－4a＜0，即a＞4.∵在区间[－3,5]上随机取一个实数a，且区间[－3,5]的长度为8，∴所求事件的概率为.]

9．欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________．

　[依题意，所求概率为

P==.]

10．(2019·青岛期末)已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°，在∠CAB内作射线AM，则使∠CAM＜30°的概率为________．

　[如图，在∠CAB内作射线AM0，使∠CAM0=30°，于是有P(∠CAM＜30°)===.

]

B组　能力提升

1．(2019·南充月考)《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是(　　)

A． B．

C．1－ D．1－

D　[由题意可知，直角三角形斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为r==3，所以落在内切圆内的概率为P==，故落在圆外的概率为1－.故选D.]

2．已知线段AB的长为10，在线段AB上随机取两个点C、D，则CD＞2的概率为(　　)

A． B．

C． D．

D　[设CA=x，DA=y，则x，y∈[0,10]，

CD=|CA－DA|=|x－y|.

由题意知点(x，y)形成的区域是边长为10的正方形及其内部，其面积为S=10×10，而满足CD＞2的区域如图中阴影部分所示，其面积为S1=2××8×8=64，则CD＞2的概率为P==.

]

3．如图所示，图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图的概率是，则此长方体的体积是________．

(1)　　　　(2)

3　[设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P==，解得h=3(负值已舍去)，故长方体的体积为1×1×3=3.]

4．(2019·湖南娄底质检)在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=AC=，∠BAC=120°，D为棱BC上一个动点，设直线PD与平面ABC所成的角为θ，则θ不大于45°的概率为________．

　[因为PA⊥平面ABC，所以直线PD与平面ABC所成二面角的平面角为∠PDA．

因为D为BC上的动点，结合图形(图略)易知∠PDA在D点从B运动到C的过程中，先增后减．

当∠PDA第1次等于45°时，AD=PA=1.

此时在△ABD中，AB=，∠ABC=30°，AD=1，则BD=1.

同理在∠PDA第2次等于45°时，CD=1.

又AB=AC=，∠BAC=120°，所以BC=3.

则θ不大于45°的概率为.]