2020版高考数学一轮复习课后限时集训56《随机事件的概率》文数（含解析）北师大版 试卷
展开课后限时集训(五十六)
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A组 基础达标
一、选择题
1．从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
取到次数 | 13 | 8 | 5 | 7 | 6 | 13 | 18 | 10 | 11 | 9 |
则取到号码为奇数的卡片的频率是( )
A．0.53 B．0.5
C．0.47 D．0.37
A [取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11=53，则所求的频率为=0.53.故选A．]
2．(2019·钦州月考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与都是红球
C．至少有一个黑球与至少有一个红球
D．恰有一个黑球与恰有两个黑球
D [对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，∴A不正确；对于B：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴B不正确；对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球与一个黑球，∴C不正确；对于D：事件：“恰有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是红球，
∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴D正确．]
3．根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有一血液为A型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为( )
A．15% B．20%
C．45% D．65%
D [∵某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有能为A型病人输血的有O型和A型，故为病人输血的概率为50%＋15%=65%，故选D.]
4．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图，根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )
A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
D [利用统计图表可知在区间[25,30)上的频率为1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)×5=0.25，在区间[15,20)上的频率为0.04×5=0.2，故所求二等品的概率为0.45.]
5．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)=2－a，P(B)=4a－5，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
D [由题意可得即解得＜a≤.]
二、填空题
6．容量为20的样本数据，分组后的频率如下表：
分组 | [10,20) | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70] |
频数 | 2 | 3 | 4 | 5 | 4 | 2 |
则样本数据落在区间[10,40)的频率为________．
[样本数据落在区间[10,40)的频数为9，故频率为.]
7．(2019·武汉调研)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是________．
[乙不输的概率为＋=.]
8．(2019·泰安模拟)某城市2018年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T | 30 | 60 | 100 | 110 | 130 | 140 |
概率P |
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2018年空气质量达到良或优的概率为________．
[由题意可知2018年空气质量达到良或优的概率为P=＋＋=.]
三、解答题
9．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
商品 顾客人数 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
100 | √ | × | √ | √ |
217 | × | √ | × | √ |
200 | √ | √ | √ | × |
300 | √ | × | √ | × |
85 | √ | × | × | × |
98 | × | √ | × | × |
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
[解] (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为=0.2.
(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为=0.3.
(3)与(1)同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为=0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为=0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为=0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
10．(2019·福建四地六校联考)现有7名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2通晓俄语，C1、C2通晓韩语．从中随机选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．
[解] (1)从7人中选出通晓日语、俄语和韩语志愿者各1名，所有基本事件数为3×2×2=12.
用M表示“A1恰被选中”这一事件，则它包含的基本事件有1×2×2=4.
P(M)==.
(2)用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，
则其对立事件表示“B1，C1全被选中”，由于包含的基本事件：(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，事件有3个基本事件组成，
所以P()==，
由对立事件的概率公式得P(N)=1－=.
B组 能力提升
1．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A． B．
C． D．1
C [设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C=A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)=P(A)＋P(B)=＋=，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.]
2．(2019·青岛模拟)设条件甲：“事件A与B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)=1”，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A [若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)=1.投掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)=，P(B)=，满足P(A)＋P(B)=1，但A，B不是对立事件．]
3．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．
[(1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为
P=＋=.
(2)由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)=1－P(B)=1－=.]
4．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购物量 | 1至 4件 | 5至 8件 | 9至 12件 | 13至 16件 | 17件及 以上 |
顾客数/(人) | x | 30 | 25 | y | 10 |
结算时间/ (分钟/人) | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
[解] (1)由已知得25＋y＋10=55，x＋30=45，
所以x=15，y=20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
=1.9(分钟)．
(2)设A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得
P(A1)==，P(A2)==，P(A3)==.
因为A=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，
所以P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
=＋＋=.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
