数学必修 第一册2.2 基本不等式第2课时同步训练题

这是一份数学必修 第一册2.2 基本不等式第2课时同步训练题，共5页。试卷主要包含了若x>0,则函数y=-x-1x等内容，欢迎下载使用。

A级 基础巩固
1.当x>0时,f(x)=2xx2+1的最大值为( )

A.12 B.1 C.2 D.4
答案:B
2.若x>0,则函数y=-x-1x( )
A.有最大值-2 B.有最小值-2
C.有最大值2 D.有最小值2
答案:A
3.用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园,这个矩形菜园的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆长度是( )
A.30 mB.36 mC.40 mD.50 m
答案:C
4.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为22.
5.(1)已知x>0,y>0,x+2y=8,求xy的最大值;
(2)设x>-1,求函数y=x+4x+1+6的最小值.
解:(1)因为x>0,y>0,所以x+2y≥22xy,
即8≥22xy,
两边平方整理,得xy≤8,
当且仅当x=4,y=2时,xy取得最大值8.
(2)因为x>-1,所以x+1>0.
所以y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5≥
2(x+1)·4x+1+5=9,
当且仅当x+1=4x+1,即x=1时取等号,
所以当x=1时,原函数有最小值9.
B级 能力提升
6.若正实数x,y满足1x+4y=1,且x+y4>a-3恒成立,则实数a的取值范围为a<7.
解析:由题意,知x+y4=(x+y4)(1x+4y)=2+
4xy+y4x.
因为x>0,y>0,所以4xy>0,y4x>0,
所以4xy+y4x≥24xy·y4x=2,当且仅当4xy=y4x,即
4x=y时取等号,
所以x+y4≥4,所以a-3<4,解得a<7.
7.设a,b为正实数,且1a+1b=22.
(1)求a2+b2的最小值;
(2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值.
解:(1)由22=1a+1b≥21ab,得ab≥12,
当且仅当a=b=22时取等号.
故a2+b2≥2ab≥1,当且仅当a=b=22时取等号.
所以a2+b2的最小值是1,当且仅当a=b=22取得最小值.
(2)由(a-b)2≥4(ab)3,得(1a-1b)2≥4ab,
即(1a+1b)2-4ab≥4ab,从而ab+1ab≤2.
又因为ab+1ab≥2,当且仅当ab=1时取等号,
所以ab+1ab=2,所以ab=1.
8.某市准备建一个综合性休闲广场,其示意图如图所示.已知矩形广场的总面积为2 000 m2,其中阴影部分为通道,通道的宽均为1 m,中间的两个小矩形完全相同.
(1)用矩形的宽x(单位:m)表示中间的三个矩形的总面积S(单位:m2)的函数解析式,并给出定义域;
(2)当矩形的宽x为何值时,S取得最大值,并求出最大值.
解:(1)因为矩形广场的总面积为2 000 m2,
所以xy=2 000,即y=2 000x.
因为2a+2=y,所以2a=y-2=2 000x-2,
所以S=a(x-3)+a(x-2)=(2x-5)(1 000x-1)=
2 005-(5 000x+2x),3(2)S=2 005-(5 000x+2x)≤2 005-25 000x×2x=1 805.
当且仅当2x=5 000x,即x=50时,等号成立,此时S取得最大值1 805 m2.
C级 挑战创新
9.多选题一个矩形的周长为l,面积为S,其中可作为(l,S)的取值的实数对是( )
A.(4,1) B.(8,6)
C.(10,8) D.3,12
解析:依题意设矩形的长、宽分别为a,b,
则有a+b=12l,ab=S,即l=2(a+b)≥4ab=4S,
所以lS≥4.对于选项A,41=4;对于选项B,86<84=4;对于选项C,108=52<322=4;对于选项D,312=
32>4.
因此,其中可作为(l,S)的取值的实数对是选项A和D.
答案:AD
10.多空题已知a>0,b>0,如果ab=1,那么a+b的最小值为2;如果a+b=1,那么ab的最大值为14.
解析:因为a>0,b>0,所以a+b2≥ab,
所以a+b≥2ab=2.
故当ab=1时,a+b取得最小值2,此时a=b=1.
因为当a+b=1时,ab≤a+b2=12,所以ab≤14,此时a=b=12.