高中数学2.4 圆的方程示范课课件ppt

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例1.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
分析：如图,点A运动引起点M运动,而点A在已知圆上运动,点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4.建立点M与点A坐标之间的关系，就可以利用点A的坐标所满足的关系式得到点M的坐标满足的关系式，求出点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0).由于点B的坐标是（4,3),且M是线段AB的中点，所以于是有x0=2x-4,y0=2y-3. ①因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即(x0+1)2+y2=4. ②把①代入②，得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4.
点M的轨迹方程是指点M的坐标(x,y)满足的关系式，轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）
整理，得 这就是点M的轨迹方程，它表示以 为圆心，半径为1的圆.
例2已知等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么图形.
思路分析:设出点C的坐标,根据|AB|=|AC|列出方程并化简.
解:设另一端点C的坐标为(x,y).依题意,得|AC|=|AB|.由两点间距离公式,得
求动点的轨迹方程的常用方法1.直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程;2.代入法:找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程.
变式练习：求本例中线段AC中点M的轨迹方程.
解:设M(x,y),又A(4,2),M为线段AC的中点,∴C(2x-4,2y-2).∵点C在圆(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,且x≠5)上,∴(2x-4-4)2+(2y-2-2)2=10,
1.两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.
解:以两定点A,B所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,设A(-3,0),B(3,0),M(x,y),则|MA|2+|MB|2=26,∴(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=26,化简得M点的轨迹方程为x2+y2=4
2. 已知圆(x+1)2+y2=2上动点A,x轴上定点B(2,0),将BA延长到M,使AM=BA,求动点M的轨迹方程.
解:设A(x1,y1),M(x,y),∵AM=BA,且M在BA的延长线上,∴A为线段MB的中点,
化简得(x+4)2+y2=8,∴点M的轨迹方程为(x+4)2+y2=8.
例3已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线l:y=x,设长为 的线段AB在直线l上移动,求直线PA与QB的交点M的轨迹方程.
当a=0时,直线PA与QB平行,两直线无交点,当a≠0时,直线PA与QB相交,设交点为M(x,y).由②式可得
当a=-2或a=-1时,直线PA和QB的交点也满足③,∴所求轨迹方程为x2-y2+2x-2y+8=0.
点评:当动点的变化是由某个量的变化决定的,可以设这个量为参数,用参数表示动点坐标,消去参数,就能得到动点轨迹方程.这种方法就是参数法.
1.方程x2+y2-2x-4y+6=0表示的轨迹为(　　)A.圆心为(1,2)的圆 B.圆心为(2,1)的圆C.圆心为(-1,-2)的圆 D.不表示任何图形解析:因为x2+y2-2x-4y+6=0等价于(x-1)2+(y-2)2=-1,即方程无解,所以该方程不表示任何图形,故选D.答案:D
2.若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于(　　)
3.已知一动点M到点A(-4,0)的距离是它到点B(2,0)的距离的2倍,则动点M的轨迹方程是　 . 
整理,得x2+y2-8x=0.故所求动点M的轨迹方程为x2+y2-8x=0.
x2+y2-8x=0
例4.点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
[解](1)设线段AP的中点为M(x,y),由中点公式得点P坐标为(2x－2,2y). ∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.