高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系学案及答案，共8页。

1.2 集合间的基本关系








草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑．如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B.





问题：(1)集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？


(2)集合A与集合B又存在什么关系？


提示：(1)集合A中的元素都是B的元素．


(2)A是B的子集．





1．Venn图的优点及其表示


(1)优点：形象直观．


(2)表示：通常用平面上封闭曲线的内部代表集合．


2．子集、真子集、集合相等的相关概念





思考1：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？


(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？


提示：(1)不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．


(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；


而“⊆”表示集合与集合之间的关系．


3．空集


(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.


(2)规定：空集是任何集合的子集．


思考2：{0}与∅相同吗？


提示：不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.


4．集合间关系的性质


(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.


(2)对于集合A，B，C，


①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；


②若AB，BC，则AC.


(3)若A⊆B，A≠B，则AB.





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)空集中只有元素0，而无其余元素．( )


(2)任何一个集合都有子集．( )


(3)若A＝B，则A⊆B或B⊆A.( )


(4)空集是任何集合的真子集．( )


[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×


2．下列四个集合中，是空集的为( )


A．{0}


B．{x|x>8，且x<5}


C．{x∈N|x2－1＝0}


D．{x|x>4}


B [满足x>8且x<5的实数不存在，故{x|x>8，且x<5}＝∅.]


3．集合{0,1}的子集有________个．


4 [集合{0,1}的子集有∅，{0}，{1}，{0,1}，共4个．]


4．用适当的符号填空：


(1)a________{a，b，c}；


(2)0________{x|x2＝0}；


(3)∅________{x∈R|x2＋1＝0}；


(4){0,1}________N；


(5){0}________{x|x2＝x}；


(6){2,1}________{x|x2－3x＋2＝0}．


(1)∈ (2)∈ (3)＝ (4) (5) (6)＝ [(1)(2)是元素与集合的关系，且a∈{a，b，c},0∈{x|x2＝0}；因为x2＋1＝0无实数根，所以∅＝{x∈R|x2＋1＝0}；∵0∈N,1∈N，∴{0,1}N；由x2＝x，得x＝0或1，∴{x|x2＝x}＝{0,1}，故{0}{x|x2＝x}；


由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，∴{2,1}＝{x|x2－3x＋2＝0}．]





【例1】 判断下列各组中集合之间的关系：


(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；


(2)(教材P9习题1.2改编)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；


(3)A＝{x|－1

[解] (1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB.


(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC.





(3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2∉A，故AB.





判断集合关系的方法


1观察法：一一列举观察.


2元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.


3数形结合法：利用数轴或Venn图.


提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系.





eq \([跟进训练])


1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )





B [解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．]





【例2】 已知集合M满足：{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．


[解] 由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：


含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；


含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；


含有5个元素：{1,2,3,4,5}．


故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．





1．求集合子集、真子集个数的3个步骤





2．与子集、真子集个数有关的4个结论


假设集合A中含有n个元素，则有


(1)A的子集的个数有2n个．


(2)A的非空子集的个数有2n－1个．


(3)A的真子集的个数有2n－1个．


(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．





eq \([跟进训练])


2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集．


[解] ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，


∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．


∴A的子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．


A的真子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}．





[探究问题]


集合A＝{x|1

提示：不一定．当b≤1时，A＝∅，其不含有任何元素，当b>1时，集合A中的元素用数轴可表示为：





【例3】 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围．


[思路点拨] eq \x(B＝{x|m＋1≤x≤2m－1})


eq \(―――――――→,\s\up7(分B＝∅和B≠∅),\s\d14(结合数轴))eq \x(列不等式组)―→eq \x(求m的取值范围)


[解] (1)当B＝∅时，


由m＋1>2m－1，得m<2.


(2)当B≠∅时，如图所示．





∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1≥－2，,2m－1<5，,2m－1≥m＋1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1>－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，))


解这两个不等式组，得2≤m≤3.


综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．





1．若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2

[解] (1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2.


(2)当B≠∅时，如图所示，





∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1>－2，,2m－1<5，,m＋1≤2m－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>－3，,m<3，,m≥2，))


即2≤m<3，


综上可得，m的取值范围是{m|m<3}．


2．若本例条件“BA”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围．


[解] 当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅.





∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－1>m＋1，,m＋1≤－2，,2m－1≥5，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>2，,m≤－3，,m≥3，))∴m不存在．


即不存在实数m使A⊆B.





1．利用集合的关系求参数问题


(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．


(2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．


2．数学素养的建立


通过本例尝试建立数形结合的思想意识，以及在动态变化中学会用分类讨论的思想解决问题．











1．辨清4个概念


(1)子集；(2)真子集；(3)空集；(4)集合相等．


2．掌握3种方法


(1)会判断两集合的关系，当所给的集合是与不等式有关的无限集时，常借助数轴，利用数形结合思想判断．


(2)会求子集、真子集的个数问题．求集合的子集时，可按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．


(3)对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．


3．规避2个易错点


(1)∅是任何集合的子集；


(2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．





1．设集合M＝{1,2,3}，N＝{1}，则下列关系正确的是( )


A．N∈M B．N∉M


C．N⊇M D．N⊆M


D [∵1∈{1,2,3}，∴1∈M，


又2∉N，∴N⊆M.]


2．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的最适合的关系是( )


A．A⊆B B．A⊇B


C．AB D．AB


D [集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，所以BA.]


3．集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是( )


A．16 B．8


C．7 D．4


C [易知集合A＝{0,1,2}，含有3个元素，∴A的真子集有23－1＝7个．]


4．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.


4 [由B⊆A可知，m＝4.]


5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．


(1)若AB，求a的取值范围；


(2)若B⊆A，求a的取值范围．


[解] (1)若AB，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a>2.


(2)若B⊆A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2.


因为a≥1，


所以1≤a≤2.


学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)


2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)


3．在具体情境中，了解空集的含义．(难点)
1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养．


2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养.
集合间关系的判断
子集、真子集的个数问题
由集合间的关系求参数