初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.1 全等三角形精品练习题

这是一份初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.1 全等三角形精品练习题，共11页。










题型一：手拉手模型


“手拉手”数学模型：

















⑴ ⑵ ⑶








如图，等边三角形与等边三角形共点于，连接、，


求证：=并求出的度数.


∵△ABE、△AFC是等边三角形


∴AE=AB，AC=AF，


∴


即


∴


∴=





又∵


∴


∴


典题精练


如图，正方形BAFE与正方形ACGD共点于，连接、，求证：=并求出的度数.


同引例，先证明


∴BD=FC，


∵


∴








如图，已知点为线段上一点，、是等边三角形．


⑴ 求证：.


⑵ 将绕点按逆时针方向旋转，使点落在上，请你对照原题图在图中画出符合要求的图形；


⑶ 在⑵得到的图形中，结论“”是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；


⑷ 在⑵所得的图形中，设的延长线交于，试判断的形状，并证明你的结论．























这是一个固定后运动变化的探索题，且在一定的条件下，探究原结论的存在性（不变性）；


需要画图分析、判断、猜想、推理论证．


⑴ ∵、是等边三角形


∴，





∴


在和中





∴（SAS）


∴


⑵ 将绕点旋转如图：


⑶ 在⑵的情况，结论仍然成立．


证明：∵，，．


∴（SAS），∴．


⑷ 如图，延长交于，则为等边三角形．


证明：∵．


∴是等边三角形．








题型二：双垂直＋角平分线





在中，，于D，BF平分交AD于E，交AC于F.


求证：AE=AF.








，














是的角平分线














如图，已知中，，于，的角平分线交于，交于，交于．


求证：．





要证，一般想到证明这两条线段所在的三角形全等，由图形可知，不存在直接全等三角形，因此要想到添加辅助线构造全等三角形．


作于


∵，


∴（角平分线定理）


又∵


∴


∵，


∴


∴


∴


又∵，


∴


∴（AAS）


∴，


∴，


∴


∴





题型三：半角模型


典题精练


已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交线段于点.求证.





延长到使


∵四边形ABCD是正方形


∴AD=AB


在和





∴


∴AM=AE


∵ ∴


∴


在和中





∴


∴MN=EN


∴DE+DN=BM+DN=MN





如图，在四边形ABCD中，E、F分别是线段BC、CD上的点，且BE+FD=EF. 求证：.








延长FD到H，使DH=BE，


易证，


再证














在等边三角形的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为三角形ABC外一点，且,,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．





图1 图2





⑴如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ；


⑵如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DMDN时，猜想⑴问的结论还成立吗？写


出你的猜想并加以证明.





⑴如图1， BM、NC、MN之间的数量关系


BM+NC=MN．


⑵猜想：结论仍然成立．


证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．


BD=CD且．．


又△ABC是等边三角形，


∴．


在与中：





(SAS) ．


DM=DE,





在MDN与EDN中：





(SAS)








典型的旋转全等构图：“手拉手”全等模型探究；


【探究一】“手拉手”模型基本构图；


如图1，若与旋转全等，则必有与为两个顶角相等的等腰三角形（即相似的等腰三角形）；


反之，如图2，若有两个顶角相等的等腰三角形与共顶角顶点，则必有与旋转全等；而图2正是“手拉手”模型的基本构图；





【探究二】将探究一中的普通等腰三角形换成特殊的图形，例如等边三角形、等腰直角三角形、正方形，然后再探究结论如何变化；





如图3、图4、图5，当两个等边三角形、等腰直角三角形、正方形共顶点时，与仍然旋转全等，并且有两个共同的结论；


结论1：≌；；


结论2：与所夹锐角等于两个等腰三角形的顶角；（倒角方法如下图6、图7、图8的八字模型）





【探究三】将探究二中的特殊图形旋转后结论是否仍然成立；


如下图9、图10、图11易得探究二中的两个结论仍然成立；





【探究四】深化探究二中图3的结论；


如图12，可得


结论1：≌；；


结论2：；


结论3：如图12、图13、图14，可得三对三角形全等（≌；≌；≌）





结论4：如图15，连接，可得为等边三角形；（由结论3可得）





结论5：；（由结论4可得）


结论6：连接，可得平分；（如图16，分别作、，与分别是全等三角形与对应边和上的高，故相等）














题型一 手拉手模型 巩固练习


如图，DA⊥AB，EA⊥AC，AD=AB，AE=AC，则下列正确


的是（ ）


A. B.


C. D.


D





如图，正五边形ABDEF与正五边形ACMHG共点于，连接、，则线段BG、CF具有什么样的数量关系并求出的度数．


先证


可得BG=CF，


∵


∴








题型二 双垂+角平分线模型 巩固练习


已知AD平分，，垂足为E，,


垂足为F，且DB=DC，则EB与FC的关系（ ）


A. 相等 B. EBFC D.以上都不对


A





题型三 半角模型 巩固练习





如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以


D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 ．


6























如图，在四边形中，，


，、分别是边、延长线上的点，且


，求证：


























证明：在上截取，使，连接．


∵，，


∴．


∵，


∴．


∴，．


∴．


∴．


∵，


∴．


∴


∵，∴．








思维拓展


如图，为线段上一点，分别以、为边在同侧作等边和等边，交于点，交于点，求证：．























本题中，与是等边三角形，因此，，


，因为、、在同一条直线上，故．这样可以得到，，故可以得到，则，，所以，故．


∵和是等边三角形（已知）


∴，（等边三角形的各边都相等）


（等边三角形的每个角都等于）


∵


∴，．


在和中，


∴（SAS）


∴（全等三角形的对应角相等）


在和中，


∴（ASA）


∴（全等三角形的对应边相等）


∴（等边对等角）


∵（三角形内角和定理）


∴．


∴（等量代换）


∴（内错角相等，两直线平行）





条件：正方形，在延长线上，在延长线上，．


结论：⑴ ；⑵ .

















⑴在CD上取一点Q，使DQ=BM


先证


可得AM=AQ


再证


∴MN=NQ


∴


⑵可证△ANH≌△AND，


∴AH=AD=AB





如图，在中，锐角的平分线交对边于，又交斜边的高于，过引，交于，请问与相等吗？理由是什么？





相等．理由如下：


如图，过作于


∵平分，∴


∵，


∴，


∴


∵，


∴


∴


∵平分，，


∴，


∴，∵


∴，


∴


∴（AAS）


∴


∴


∴．





如图，△ABD为等腰直角三角形，，


求证：以、、为边的三角形是直角三角形.














过B作BD的垂线并取BQ=ND，连接AQ、QM


先证


再证


∴以、、为边的三角形是直角三角形.














课后测试


如图，等腰直角△ADB与等腰直角△AEC共点于，连接、，则线段BE、CD具有什么样的数量关系和位置关系


先证明


∴BE=CD，再类似例1倒角即可得到BE⊥CD




















如图，△ABD为等腰直角三角形，，


求证：以、、为边的三角形是直角三角形.


过B作BD的垂线并取BQ=ND，连接AQ、QM


先证


再证


∴以、、为边的三角形是直角三角形.