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    人教版八年级上册12.1 全等三角形精品随堂练习题

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    这是一份人教版八年级上册12.1 全等三角形精品随堂练习题,共13页。




    题型一:等腰直角三角形模型


    腰直角三角形数学模型思路:


    ⑴利用特殊边特殊角证题(AC=BC或).如图1;


    ⑵常见辅助线为作高,利用三线合一的性质解决问题.如图2;


    ⑶补全为正方形.如图3,4.




















    图1 图2

















    图3 图4





    典题精练


    已知:如图所示,Rt△ABC中,AB=AC,,O为BC的中点,


    ⑴写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C 的距离的关系(不要


    求证明)


    ⑵如果点M、N分别在线段AC、AB上移动,且在移动中保持


    AN=CM.试判断△OMN的形状,并证明你的结论.


    ⑶如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动,且在移动中保持AN=CM,试判断⑵中结论是否依然成立,如果是请给出证明.


    ⑴OA=OB=OC


    ⑵连接OA,


    ∵OA=OC AN=CM


    ∴△ANO≌△CMO


    ∴ON=OM











    ∴△OMN是等腰直角三角形


    ⑶△ONM依然为等腰直角三角形,


    证明:∵∠BAC=90°,AB=AC,O为BC中点


    ∴∠BAO=∠OAC=∠ABC=∠ACB=45°,


    ∴AO=BO=OC,





    ∵在△ANO和△CMO中,





    ∴△ANO≌△CMO(SAS)


    ∴ON=OM,∠AON=∠COM,


    又∵∠COM∠AOM=90°,


    ∴△OMN为等腰直角三角形.





    两个全等的含,角的三角板和三角板,如


    图所示放置,三点在一条直线上,连接,取的


    中点,连接,.试判断的形状,并说明理由.

















    【解析】是等腰直角三角形.


    证明:连接.由题意,得





    ∴为等腰直角三角形.


    ∵,


    ∴.


    ∴,


    ∴≌.


    ∴.


    又.


    ∴,


    ∴是等腰直角三角形.








    已知:如图,中,,,是的中


    点,于,交于,连接.


    求证:.











    证法一:如图,过点作于,交于.


    ∵,,


    ∴.


    ∵,∴.


    ∵,∴


    ∵,∴.


    ∴.


    在和中,





    ∴.∴.


    在和中,





    ∴.


    ∴.





    证法二:如图,作交的延长线于.


    ∵,∴,


    ∵,


    ∴,


    ∴.


    在和中,





    ∴.


    ∴,


    ∵,∴.


    在和中,





    ∴.∴


    ∴.





    如图,等腰直角中,,为内部一点,满足


    ,求证:.












































    补全正方形,连接DP,


    易证是等边三角形,,,


    ∴,,∴,


    ∴.





    【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型


    在解有关等腰直角三角形中的一些问题,若遇到不易解决或解法比较复杂时,可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形,再利用正方形的一些性质来解,常常可以起到化难为易的效果,从而顺利地求解。例4为求角度的应用,其他应用探究如下:





    【探究一】证角等


    【备选1】如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,M为AC中点,连结BM,作AD⊥BM交BC于点D,连结DM,求证:∠AMB=∠CMD.





    作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BFC,延长AD交CF于点N,


    ∵AN⊥BM,由正方形的性质,可得AN=BM,


    易证Rt△ABM ≌Rt△CAN,∴∠AMB=∠CND,CN=AM,


    ∵M为AC中点,∴CM=CN,


    ∵∠1=∠2,可证得△CMD≌△CND,


    ∴∠CND=∠CMD,


    ∴∠AMB=∠CMD.





    【探究二】判定三角形形状


    【备选2】如图,Rt△ABC中,∠BAC= 90°,AB=AC,AD=CE,AN⊥BD于点M,延长BD交NE的延长线于点F,试判定△DEF的形状.








    作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BHC,


    可知四边形ABHC为正方形,延长AN交HC于点K,


    ∵AK⊥BD,可知AK=BD,易证:Rt△ABD≌Rt△CAK,


    ∴∠ADB=∠CKN,CK=AD,


    ∵AD=EC,∴CK=CE,


    易证△CKN≌△CEN,∴∠CKN=∠CEN,


    易证∠EDF=∠DEF,∴△DEF为等腰三角形.





    【探究三】利用等积变形求面积


    【备选3】如图,Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC上一点,DE∥AC,DF∥AB,且BE=4,CF=3,求S矩形DFAE.





    作等腰Rt△ABC关于BC的对称的等腰Rt△GCB,


    可知四边形ABGC为正方形,分别延长FD、ED交BG、CG于点N、M,


    可知DN=EB=4,DM=FC=3,


    由正方形对称性质,


    可知S矩形DFAE=S矩形DMGN=DM·DN=34=12.





    【探究四】求线段长


    【备选4】如图,△ABC中,AD⊥BC于点D,∠BAC=45°,BD=3,CD=2,求AD的长.





    【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的,但解法太繁琐,本题尽管已知条件不是等腰直角三角形,但∵∠BAC=45°,若分别以AB、AC为对称轴作Rt△ADB的对称直角三角形和Rt△ADC的对称直角三角形,这样就出现两边相等且夹角为90°的图形,满足等腰直角三角形的条件,然后再引辅助线使之转化为正方形.


    以AB为轴作Rt△ADB的对称的Rt△AEB,再以AC为轴作Rt△ADC的对称的Rt△AFC.


    可知BE=BD=3,FC=CD=2,


    延长EB、FC交点G,∵∠BAC=45°,


    由对称性,可得∠EAF=90°,且AE=AD=AF,


    易证四边形AFGE为正方形,且边长等于AD,


    设AD=x,则BG=x-3,CG=x-2,


    在Rt△BCG中,由勾股定理,得,


    解得x=6,即AD=6.





    【探究五】求最小值


    【备选5】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,M为AC的中点,P为斜边AB上的动点,求PM+PC的最小值.





    将原图形通过引辅助线化归为正方形,即作Rt△ACB关于AB对称的Rt△ADB,可知四边形ACBD为正方形,连接CD,可知点C关于AB的对称点D,连接MD交AB于点P,连接CP,则PM+PC的值为最小,最小值为:PM+PC=DM=.








    题型二:三垂直模型





    常见三垂直模型








    已知AB⊥BD,ED⊥BD,AB=CD,BC=DE,⑴求证:AC⊥CE;


    ⑵若将△CDE沿CB方向平移得到①②③④等不同情形,,


    其余条件不变,试判断AC⊥C1E这一结论是否成立?若成立,给予证


    明;若不成立,请说明理由.

















    ① ② ③ ④


    ⑴∵AB⊥BD,ED⊥BD





    在与中





    ∴(SAS)








    ∴,即AC⊥CE


    ⑵ 图①②③④四种情形中,结论永远成立,证明方法与⑴完全类似,只要证明





    ∵ ∴


    ∴AC⊥C1E





    正方形中,点、的坐标分别为,,点在第一象限.求正方形边长及顶点的坐标.(计算应用:在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.)


























    过点C作CG⊥x轴于G,过B作BE⊥y轴于E,并反向延长交CG于F


    点、的坐标分别为,


    ∴BE=8, AE=6,∴AB=10


    ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC











    ∴△AEB≌△BFC


    ∴CF=BE=8,BF=AE=6


    ∴CG=12 EF=14


    ∴C(14,12),正方形的边长为10


    此题中三垂直模型:





    如图所示,在直角梯形中,,,,是的中点,.


    ⑴ 求证:;


    ⑵ 求证:是线段的垂直平分线;


    ⑶ 是等腰三角形吗?请说明理由.





    【解析】 = 1 \* GB2 ⑴∵,,


    ∴,∴,


    ∵,,


    ∴,∴.


    = 2 \* GB2 ⑵∵是中点,∴


    由⑴得:,∴


    ∵,∴,


    ∵,∴


    由等腰三角形的性质,得:


    即是线段的垂直平分线.


    = 3 \* GB2 ⑶是等腰三角形,


    由⑵得:,由⑴得:


    ∴,∴是等腰三角形.














    ⑴如图1,△ABC是等边三角形,D、E分别是AB、BC上的点,且BD=CE,连接AE、CD相交于点P.请你补全图形,并直接写出∠APD的度数= ;


    ⑵如图2,Rt△ABC中,∠B=90°,M、N分别是AB、BC上的点,且AM=BC、BM=CN,连接AN、CM相交于点P.请你猜想∠APM= °,并写出你的推理过程.


    (2013平谷一模)


























    ⑴图略,60°


    ⑵45°


    证明:作AE⊥AB且.


    可证≌


    ∴,


    ∵∴





    ∴ 是等腰直角三角形,


    又△AEC ≌△CAN(SAS)





    ∴ EC∥AN.








    思维拓展





    已知:如图,中,AC=BC,,是上一点,AE⊥BD的延长线于E,并且,求证:BD平分.























    延长AE交BC的延长线于F


    ∵BE⊥AF ,





    ∴ 在△AFC和△BDC中,





    ∴△AFC△BDC(ASA)


    ∴AF=BD


    又∵





    ∴BE是AF的中垂线∴BA=BF


    ∴BD平分





    已知,在正方形ABCD中,E在BD上,DG⊥CE于G,DG交AC于F.求证:OE=OF





    ∵ABCD是正方形


    ∴OD=OC


    ∵DG⊥CE ∴


    ∴ ∵





    ∴ 在△DOF和△COE中,





    ∴△DOF≌△COE(ASA)


    ∴OE=OF





    已知:如图,中,,,是的中点,于.求证:


    ∵,,是的中点


    ∴AD=BD=CD, AD⊥BC














    ∴在△BDH和△ADF中,





    ∴△BDH≌△ADF(ASA)


    ∴DH=DF





    如图,已知矩形ABCD中,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC,DE=4cm,矩形ABCD的周长为32cm,求AE的长.


    在Rt△AEF和Rt△DEC中, ∵EF⊥CE, ∴∠FEC=90°,


    ∴∠AEF+∠DEC=90°,而∠ECD+∠DEC=90°,


    ∴∠AEF=∠ECD.


    又∠FAE=∠EDC=90°.EF=EC


    ∴Rt△AEF≌Rt△DCE.


    ∴AE=CD.


    ∴AD=AE+4.


    ∵矩形ABCD的周长为32 cm,


    ∴2(AE+AE+4)=32.


    解得AE=6 cm.











    题型一 等腰直角三角形模型 巩固练习


    如图,△ACB、△ECD均为等腰直角三角形,则图中与△BDC全等的三角形为_________.


    △AEC





    如图,已知中,,是的中点,,垂足为.,交的延长线于点.求证:.





    ∵,,


    ∴,





    ∵,


    ∴,


    ∴.


    又∵,


    ∴.


    ∴.


    ∵是的中点,


    ∴,


    即.





    题型二 三垂直模型 巩固练习





    已知:如图,四边形ABCD是矩形(AD>AB),点E在BC上,且AE =AD,DF⊥AE,垂足为F.请探求DF与AB有何数量关系?写出你所得到的结论并给予证明.


    F


    A


    D


    C


    E


    B





    经探求,结论是:DF = AB.


    证明如下:


    ∵四边形ABCD是矩形,


    ∴ ∠B = , AD∥BC,


    ∴ ∠DAF = ∠AEB.


    ∵ DF⊥AE, ∴ ∠AFD = ,


    ∵ AE = AD ,


    ∴.


    ∴ AB = DF.





    如图,中,,,是上任意一点,


    交延长线于,于.求证:











    根据条件,、都与互余,


    ∴.


    在和中,


    ,,


    ∴.


    则,,


    ∴.





    四边形ABCD是正方形.


    ⑴如图1,点G是BC边上任意一点(不与B、C两点重合),连接AG,作BF⊥AG于点F,DE⊥AG于点E.求证:△ABF ≌△DAE;


    ⑵在⑴中,线段EF与AF、BF的等量关系是 (直接写出结论即可,不需要证明);


    ⑶如图2,点G是CD边上任意一点(不与C、D两点重合),连接AG,作BF⊥AG于点F,DE⊥AG于点E.那么图中全等三角形是 ,线段EF与AF、BF的等量关系是 (直接写出结论即可,不需要证明).




















    ⑴在正方形ABCD中,AB=AD,











    在△ABF和△DAE中





    ∴(AAS)





    ⑶△ABF≌△DAE








    课后测试





    问题:已知中,,点是内的一点,且,.探究与度数的比值.


    请你完成下列探究过程:


    先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明.


    当时,依问题中的条件补全右图.


    观察图形,与的数量关系为________;


    当推出时,可进一步推出的度数为_______;


    可得到与度数的比值为_________.


    (2010北京中考)





    相等; ;














    已知:如图,在△ABC中,于点D,点E在AC上,CE=BC,过E点作AC的垂线,交CD的延长线于点F. 求证:AB=FC.





    ∵于点,,


    ∴.


    ∴.


    又∵于点,


    ∴.


    ∴.


    在和中,





    ∴.


    ∴.





    如图, Rt△ABC中,∠C=90°,,,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动. 当△ABC和△APQ全等时,点Q到点A的距离为___________ .


    5cm或10cm.





    无用蜡垢


    切泽布罗是纽约的一名药剂师,1859年,他去宾州新发现的油田参观。在油田里,他发现工人们在清理油杆上的蜡垢,他们看上去对这些东西非常厌烦。





    他于是请教工人们这些蜡垢有什么用处。工人们说,这种东西除了治疗“割伤”外,一无是处。切泽布罗听了,灵机一动。他于是收集了一些蜡垢带了回去。





    后来,他从这些石油渣滓中提炼出一种油脂。为了检验它是否真的有医疗效果,他把自己作为第一个试验对象。他有一个手腕正好受了伤,当涂上药膏后,伤很快就好了。





    1870年,他建立了世界上第一座制造这种油膏的工厂,并把这种油膏命名为“凡士林”。





    知道事物应该是什么样,说明你是聪明的人;知道事物实际是什么样,说明你是有经验的人;知道怎样使事物变得更好,说明你是有才能的人。








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