湘教版九年级上册2.3 一元二次方程根的判别式导学案及答案

这是一份湘教版九年级上册2.3 一元二次方程根的判别式导学案及答案，共4页。

01 基础题


知识点1 利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况


1．(怀化中考)一元二次方程x2－x－1＝0的根的情况为(A)


A．有两个不相等的实数根


B．有两个相等的实数根


C．只有一个实数根


D．没有实数根


2．(深圳中考)下列方程没有实数根的是(C)


A．x2＋4x＝0 B．3x2＋8x－3＝0


C．x2－2x＋3＝0 D．(x－2)(x－3)＝12


3．(苏州中考)下列关于x的方程有实数根的是(C)


A．x2－x＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0


C．(x－1)(x＋2)＝0 D．(x－1)2＋1＝0


4．下列方程中，有两个相等的实数根的是(B)


A．x2－2x－1＝0 B．x2－2x＋1＝0


C．x2＝3x－9 D．x2－4x－4＝0


5．(孟津县一模)关于x的一元二次方程x2－2ax－1＝0(其中a为常数)的根的情况是(A)


A．有两个不相等的实数根


B．可能有实数根，也可能没有


C．有两个相等的实数根


D．没有实数根


6．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况．


(1)3x2－2x－1＝0；


(2)2x2－x＋1＝0；


(3)4x－x2＝x2＋2.


解：(1)Δ＝(－2)2－4×3×(－1)＝16＞0，


∴方程有两个不相等的实数根．


(2)Δ＝(－1)2－4×2×1＝－7＜0，


∴方程没有实数根．


(3)原方程可整理为x2－2x＋1＝0，


∴Δ＝(－2)2－4×1×1＝0.


∴方程有两个相等的实数根．





知识点2 利用根的判别式求方程中字母系数的取值范围


7．(广东中考)关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为(B)


A．m＞eq \f(9,4) B．m＜eq \f(9,4)


C．m＝eq \f(9,4) D．m＜－eq \f(9,4)


8．(益阳中考)若一元二次方程x2－2x＋m＝0总有实数根，则m应满足的条件是(D)


A．m＞1 B．m＝1


C．m＜1 D．m≤1


9．(张家界中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0无实数根，则实数k的取值范围是k＞1．


10．已知关于x的方程为2x2－(4k＋1)x＋2k2－1＝0，问当k取什么值时：


(1)方程有两个不相等的实数根；


(2)方程有两个相等的实数根；


(3)方程没有实数根．


解：(1)∵a＝2，b＝－(4k＋1)，c＝2k2－1，


∴Δ＝b2－4ac＝[－(4k＋1)]2－4×2×(2k2－1)＝8k＋9.


∵方程有两个不相等的实数根，


∴Δ＞0，即8k＋9＞0，解得k＞－eq \f(9,8).


(2)∵方程有两个相等的实数根，


∴Δ＝0，即8k＋9＝0，解得k＝－eq \f(9,8).


(3)∵方程没有实数根，


∴Δ＜0，即8k＋9＜0，解得k<－eq \f(9,8).





02 中档题


11．(福州中考)下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2－4x＋c＝0一定有实数根的是(D)


A．a＞0 B．a＝0


C．c＞0 D．c＝0


12．(潍坊中考)已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是(C)


A．当k＝0时，方程无解


B．当k＝1时，方程有一个实数解


C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解


D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解


13．(咸宁中考)关于x的一元二次方程x2＋bx＋2＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b的值：b＝3(答案不唯一，满足b2>8即可)．


14．(兰州中考)若|b－1|＋eq \r(a－4)＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有两个实数根，则k的取值范围是k≤4且k≠0．


15．(北京中考)已知关于x的方程mx2－(m＋2)x＋2＝0(m≠0)．


(1)求证：方程总有两个实数根；


(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．


解：(1)证明：∵Δ＝(m＋2)2－8m＝m2＋4m＋4－8m＝m2－4m＋4＝(m－2)2≥0，


∴方程总有两个实数根．


(2)∵x＝eq \f(m＋2±\r(（m－2）2),2m)＝eq \f(m＋2±（m－2）,2m)，


∴x1＝eq \f(m＋2＋m－2,2m)＝1，x2＝eq \f(m＋2－m＋2,2m)＝eq \f(2,m).


∵方程的两个实数根都是整数，


∴eq \f(2,m)是整数．∴m＝±1或m＝±2.


又∵m是正整数，


∴m＝1或m＝2.








03 综合题


16．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋a－c＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．


(1)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；


(2)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．


解：(1)∵方程有两个相等的实数根，


∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0.


∴4b2－4a2＋4c2＝0.


∴a2＝b2＋c2.


∴△ABC是直角三角形．


(2)∵当△ABC是等边三角形，


∴a＝b＝c.


∵(a＋c)x2＋2bx＋a－c＝0，


∴2ax2＋2ax＝0.


∴x1＝0，x2＝－1.