初中数学湘教版九年级上册2.3 一元二次方程根的判别式优秀教案

这是一份初中数学湘教版九年级上册2.3 一元二次方程根的判别式优秀教案，共8页。教案主要包含了归纳总结，即学即练，题后总结等内容，欢迎下载使用。

第2章　一元二次方程
2.3　一元二次方程根的判别式

教学目标
1.理解一元二次方程根的判别式的作用,会用判别式判断一元二次方程是否有实数根和两个实数根是否相等.
2.经历对判别式符号Δ的讨论,体会分类讨论思想.
教学重难点
重点：会用判别式判断一元二次方程是否有实数根和两个实数根是否相等.
难点：正确计算判别式的值;分类讨论思想的应用.
教学过程
复习巩固
用配方法解下列方程.

师生活动：学生利用上一节课学习的配方法独立完成，在练习本上写出解答过程，教师点评，师生共同复习配方法解一元二次方程的步骤.
一般步骤
方法
一移
移项
将常数项移到右边，含未知数的项移到左边
二化
二次项系数化为1
左、右两边同时除以二次项系数
三配
配方
左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
四开
开平方
利用平方根的意义直接开平方
五解
解两个一元一次方程
移项、合并
探究新知
【探究】
任何一元二次方程都可以写成一般形式，你能用配方法得出上面方程的解吗？
(师生活动)学生先独立思考，尝试解决，然后小组合作交流.找一名同学进行板演.如果学生有困难，教师可提出以下问题.
教师追问1：利用配方法解一元二次方程的步骤分哪几步？
(师生活动)学生根据配方法的步骤进行解答.，
移项，得，二次项系数化为1，得，
配方，得，即 .
在进行下面的运算，如果学生困难，教师可通过下面问题进行引导.
教师追问2：下面要进行开方运算，有没有条件限制？
(师生活动)学生思考并口答,当 时，才可以进行开方运算，教师引导学生分情况讨论.
因为，所以.式子的值分三种情况：
(1)时，，
所以，
方程有两个不相等的实数根

(2)＝0时，，
方程有两个相等的实数根；
(3)时，，即，
因为负数在实数范围内没有平方根，所以方程没有实数根.
教师追问3：方程有没有根是由什么决定的？
(师生活动)学生独立思考并回答，教师引导总结并板书.
【归纳总结】一元二次方程的根由方程的系数确定，因此解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式，当时，一元二次方程有实数根.一般地，式子叫作一元二次方程()根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ＝.
教师追问4：我们不解方程，能判断方程根的情况吗？
(师生活动)小组合作交流，学生代表进行回答，同时教师强调要确定，必须把一元二次方程化为一般形式，教师板书.
【归纳总结】
Δ的符号与一元二次方程根的情况的关系：
Δ的符号
原方程根的情况
注意
Δ>0
两个不相等的实数根,其根为

(1)应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式，然后确定a，b，c的值；
(2)此判别式只适用于一元二次方程，当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论；
(3)当b2-4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根
Δ＝0
两个相等的实数根,其根为


Δ<0
没有实数根
Δ≥0
两个实数根
新知应用
例1　不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
(1)3x2+4x-3＝0；
(2)4x2-12x+9＝0；
(3)7y＝5(y2+1).
【分析】(教师引导学生)要先将方程化为一般形式,才能确定a,b,c的值.
【解】(1)因为Δ＝b2-4ac＝42-4×3×(-3)＝16+36＝52>0,
所以原方程有两个不相等的实数根.
(2)因为Δ＝b2-4ac＝(-12)2-4×4×9＝144-144＝0，
所以原方程有两个相等的实数根.
(3)将原方程化为一般形式，得5y2-7y+5＝0.
因为Δ＝b2-4ac＝(-7)2-4×5×5＝49-100＝-51<0，
所以原方程没有实数根.
【即学即练】
已知一元二次方程x2+x＝1，下列判断正确的是(　 )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
答案：B
【解析】原方程变形为x2+x-1＝0.
∵ b2-4ac＝1-4×1×(-1)＝5＞0，
∴ 该方程有两个不相等的实数根，故选B.
例2　若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ( )
A. k＜5 B. k＜5且k≠1 C.k≤5且k≠1 D. k＞5
【解析】由题意知方程(k-1)x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴
∴ k＜5且k≠1.
答案：B
【题后总结】由于根的判别式b2-4ac的值的符号与一元二次方程的根的情况是相对应的,我们不仅可以根据判别式Δ的符号确定一元二次方程根的情况,反过来,我们也可以根据方程的根的情形确定判别式Δ的符号.利用这一对应关系,可以解决这种含字母系数的一元二次方程中字母的取值范围的问题.
设计意图：能灵活运用知识解决相关的问题,达到学以致用的目的.
【即学即练】(师生活动)学生先独立思考，请三位同学进行板演，学生之间相互评价，教师点拨.
已知关于x的一元二次方程2x2-kx+3＝0有两个相等的实数根，则k的值为( )
A.±2 B.± C.2或3 D.或
【解析】由题意知方程2x2-kx+3＝0有两个相等的实数根，
所以(-k)2-24＝0,解得k＝±2.
答案：A
课堂练习
1.一元二次方程2x2-x+1＝0根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
2.关于x的一元二次方程x2-2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
3.若一元二次方程x2-2x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A.m≥1 B.m≤1 C.m＞1 D.m＜1
4.关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是( 　 )
A.m≥0 B.m＞0
C.m≥0且m≠1 D.m＞0且m≠1
5.若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是(　　)
　　　　　　
A　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　　　D
6.若一元二次方程x2-2x-m＝0无实数根，则一次函数y＝(m+1)x+m-1的图象不经过(　　)
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限
7.若|b-1|+＝0，且一元二次方程kx2+ax+b＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
8.已知关于的方程.
(1)若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一个根；
(2)求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

参考答案
1.C 2.A 3.D 4.C 5.B 6.D
7. k≤4且k≠0
8.(1)解：∵ 1为原方程的一个根，∴，∴.
将代入方程，得，解得.
∴＝，方程的另一根为.
(2)证明：∵ Δ＝，
∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

课堂小结
学生先独立总结，发表意见，教师引导，点拨，形成知识框架.
一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)根的判别式Δ＝.
Δ的符号
原方程根的情况
Δ>0
两个不相等的实数根
Δ＝0
两个相等的实数根
Δ<0
没有实数根
Δ≥0
两个实数根

布置作业
教材第45页练习第1,2题，第45页习题2.3第1-4题.

板书设计
2.3　一元二次方程根的判别式
根的判别式:
一元二次方程的根由方程的系数确定，一般地，式子叫作一元二次方程()根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ＝.
当Δ>0时,原方程有两个不相等的实数根,其根为
当Δ＝0时,原方程有两个相等的实数根,其根为
当Δ<0时,原方程没有实数根.

教学反思















































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