2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第四章第6节第一课时　正弦定理和余弦定理

第6节　解三角形

考试要求　1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

知 识 梳 理

1.正、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

3.三角形常用面积公式

(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).

(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).

4.测量中的几个术语

(1)仰角和俯角

在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).

(2)方位角

从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).

(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.

(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.

解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.

[常用结论与微点提醒]

1.三角形中的三角函数关系

(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；

(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.

2.三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.

3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　)

(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　)

(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)

(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(　　)

解析　(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.

(3)已知三角时，不可求三边.

(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形.

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2.(新教材必修第二册P44例6改编)在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则cos B＝(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　由余弦定理知cos B＝＝.

答案　A

3.(老教材必修5P11例1改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)

A.50 m   B.50 m   C.25 m   D. m

解析　在△ABC中，由正弦定理得＝，

又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，

∴AB＝＝＝50(m).

答案　A

4.(2019·安庆二模)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则等于(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　由bsin 2A＝asin B，及正弦定理得2sin Bsin Acos A＝sin Asin B，得cos A＝.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.故选D.

答案　D

5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)

A.4   B. C.   D.2

解析　由题意得cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－.

在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，所以AB＝4.

答案　A

6.(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________.

解析　作出单位圆的内接正六边形，如图，则OA＝OB＝AB＝1，S6＝6××12×sin 60°＝.

答案　

第一课时　正弦定理和余弦定理

考点一　利用正、余弦定理解三角形

【例1】 (1)(2019·郑州二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2－cos 2C＝1，4sin B＝3sin A，a－b＝1，则c的值为(　　)

A.   B.   C.   D.6

(2)(2020·衡水模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝1，sin Acos C＋(sin C＋b)cos A＝0，则A＝________.

解析　(1)由2cos2－cos 2C＝1，

可得2cos2－1－cos 2C＝0，

则有cos 2C＋cos C＝0，即2cos2C＋cos C－1＝0，

解得cos C＝或cos C＝－1(舍)，

由4sin B＝3sin A，得4b＝3a，①

又a－b＝1，②

联立①，②得a＝4，b＝3，

所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋9－12＝13，则c＝.

(2)由sin Acos C＋(sin C＋b)cos A＝0，

得sin Acos C＋sin Ccos A＝－bcos A，

所以sin(A＋C)＝－bcos A，即sin B＝－bcos A，

又＝，所以＝＝－，

从而＝－⇒tan A＝－，

又因为0<A<π，所以A＝.

答案　(1)A　(2)

规律方法　利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).

利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.

【训练1】 (1)在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有(　　)

A.1个   B.2个   C.0个   D.无法确定

(2)(2020·沈阳质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C＋2sin Ccos B＝sin A，C∈，a＝，cos B＝，则b＝________.

解析　(1)∵bsin A＝×＝，∴bsin A<a<b.

∴满足条件的三角形有2个.

(2)由正弦定理及题意可得c＋2c×＝a，即a＝c，又a＝，所以c＝，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝6＋－＝，所以b＝.

答案　(1)B　(2)

考点二　判断三角形的形状

【例2】 (1)(一题多解)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是(　　)

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)

A.锐角三角形    B.直角三角形

C.钝角三角形    D.不确定

解析　(1)法一　由余弦定理可得a＝2b·，

因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，

从而△ABC为等腰三角形.

法二　由正弦定理可得sin A＝2sin Bcos C，

因此sin(B＋C)＝2sin Bcos C，

即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C，

故△ABC为等腰三角形.

(2)由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，

∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.

∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝，

∴△ABC为直角三角形.

答案　(1)C　(2)B

规律方法　1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.

2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.

【训练2】 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cos A，则△ABC为(　　)

A.钝角三角形    B.直角三角形

C.锐角三角形    D.等边三角形

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)

A.直角三角形    B.等腰非等边三角形

C.等边三角形    D.钝角三角形

解析　(1)由<cos A，得<cos A，

又B∈(0，π)，所以sin B>0，

所以sin C<sin Bcos A，

即sin(A＋B)<sin Bcos A，

所以sin Acos B<0，

因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，

即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.

(2)∵＝，∴＝，∴b＝c.

又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，

∴b2＋c2－a2＝bc，

∴cos A＝＝＝.

∵A∈(0，π)，∴A＝，

∴△ABC是等边三角形.

答案　(1)A　(2)C

考点三　和三角形面积有关的问题

【例3】 (2019·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin ＝bsin A.

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.

解　(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.

因为sin A≠0，所以sin＝sin B.

由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，

故cos＝2sincos.

因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°.

(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.

由(1)知A＋C＝120°，

由正弦定理得a＝＝＝＋.

由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.

结合A＋C＝120°，得30°<C<90°，

所以<a<2，从而<S△ABC<.

因此，△ABC面积的取值范围是.

规律方法　与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.

【训练3】 (2019·西安二模)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＝c(acos C＋ccos A).

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC的面积为，且a＝3，求△ABC的周长.

解　(1)b2＋c2－a2＝c(acos C＋ccos A)可化为

b2＋c2－a2＝c，

即得＝1，所以＝，

所以cos A＝.

又因为A为△ABC的内角，所以A＝60°.

(2)根据题意，得S△ABC＝bcsin A＝bc×＝，

所以bc＝.

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A

＝(b＋c)2－2bc－2bccos 60°

＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－16＝9.

解得b＋c＝5，

所以△ABC的周长为a＋b＋c＝8.

数学抽象、数学运算——二级结论之射影定理的活用赏析

设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有：a＝bcos C＋ccos B；b＝ccos A＋acos C；c＝acos B＋bcos A.

注：以“a＝bcos C＋ccos B”为例，b，c在a上的射影分别为bcos C，ccos B，故名射影定理.

证明　如图，在△ABC中，AD⊥BC，

则bcos C＝CD，ccos B＝BD，

故bcos C＋ccos B＝CD＋BD＝BC＝a，

即a＝bcos C＋ccos B，

同理可证b＝ccos A＋acos C，

c＝acos B＋bcos A.

【例1】 (2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是(　　)

A.a＝2b   B.b＝2a   C.A＝2B   D.B＝2A

[通性通法]法一　因为sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，所以sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)，所以sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B，

即cos C(2sin B－sin A)＝0，

所以cos C＝0或2sin B＝sin A，

即C＝90°或2b＝a，

又△ABC为锐角三角形，所以0°<C<90°，

故2b＝a.故选A.

法二　由正弦定理和余弦定理得

b＝2a×＋c×，

所以2b2＝a2＋3b2－c2，

即(a2＋b2－c2)＝a2＋b2－c2，

即(a2＋b2－c2)＝0，

所以a2＋b2＝c2或2b＝a，

又△ABC为锐角三角形，所以a2＋b2>c2，故2b＝a，故选A.

[应用示范]由正弦定理及sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C得b＋2bcos C＝2acos C＋ccos A＝acos C＋(acos C＋ccos A)＝acos C＋b，即2bcos C＝acos C，又因为△ABC为锐角三角形，所以cos C≠0，则2b＝a.

答案　A

【例2】 (2017·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________.

[通性通法]依题意得2b×＝a×＋c×，即a2＋c2－b2＝ac，所以2accos B＝ac>0，cos B＝.又0<B<π，所以B＝.

[应用示范]由射影定理得acos C＋ccos A＝b，

又2bcos B＝acos C＋ccos A，则2bcos B＝b，即cos B＝，

又B∈(0，π)，故B＝.

答案　

思维升华　射影定理和正、余弦定理一样实现了边角之间的转换，运用射影定理整体代入，大大简化了运算过程，取得了事半功倍的神奇效果.

A级　基础巩固

一、选择题

1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)

A.   B.   C.2   D.3

解析　由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝3.

答案　D

2.(2020·唐山一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h＝(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　由余弦定理，得cos A＝＝＝＝，则sin A＝＝＝＝，

则h＝ACsin A＝bsin A＝3×＝，故选D.

答案　D

3.(2019·厦门一模)在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积等于(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　由正弦定理及sin C＝2sin A得c＝2a，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋4a2－2a·2a·＝4a2＝4，解得a＝1，可得c＝2，所以△ABC的面积为S＝acsin B＝×1×2×＝.

答案　D

4.在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)

A.等边三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

解析　因为cos2＝，

所以2cos2－1＝－1，所以cos B＝，

即＝，所以c2＝a2＋b2.

所以△ABC为直角三角形.

答案　B

5.(2019·武汉调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　由题意得A＝B＋，所以sin A＝sin＝cos B，又a＝b，所以由正弦定理得sin A＝sin B，故cos B＝sin B，所以tan B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝，所以C＝π－－＝.

答案　B

二、填空题

6.(多填题)(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.

解析　由正弦定理，得sin B＝sin A＝，

又a2＝b2＋c2－2bccos A，

∴c2－2c－3＝0，解得c＝3(c＝－1舍去).

答案　　3

7.(2019·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________.

解析　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，

得36＝4c2＋c2－2×2c2×，

解得c＝2，所以a＝4，

所以S△ABC＝acsin B＝×4×2×＝6.

答案　6

8.(2020·西安质检)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos B＝，b＝4，S△ABC＝4，则△ABC的周长为________.

解析　由cos B＝，得sin B＝，由三角形面积公式可得acsin B＝ac·＝4，则ac＝12，①

由b2＝a2＋c2－2accos B，可得16＝a2＋c2－2×12×，则a2＋c2＝24，②

联立①②可得a＝c＝2，所以△ABC的周长为4＋4.

答案　4＋4

三、解答题

9.(2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－.

(1)求A；

(2)求AC边上的高.

解　(1)在△ABC中，因为cos B＝－，

所以sin B＝＝.

由正弦定理得sin A＝＝.

由题设知<B<π，所以0<A<.

所以A＝.

(2)在△ABC中，

因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，

所以AC边上的高为asin C＝7×＝.

10.(开放题)在△ABC中，a＝2，b＝6，________，求△ABC的周长l及面积S△ABC.

在①A＝30°，②C＝30°，③B＝60°这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解　选条件①：∵a＝2，b＝6，a<b，A＝30°<90°，

又因为bsin A＝6sin 30°＝3，bsin A<a<b，

所以本题有解，且有两解，由正弦定理，

得sin B＝＝＝.

因为b>a，B>A，0°<B<180°，

所以B＝60°或120°，

当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4，

l＝a＋b＋c＝2＋6＋4＝6＋6，

S△ABC＝ab＝6；

当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2，

l＝a＋b＋c＝6＋4，

S△ABC＝absin C＝×2×6×sin 30°＝3.

选条件②：∵a＝2，b＝6，C＝30°，

由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋36－2×2×6×＝12，c＝2，

则l＝a＋b＋c＝6＋4，

S△ABC＝absin C＝3.

选条件③：∵a＝2，b＝6，a<b，B＝60°，

∴A<B，又由正弦定理，得

sin A＝＝＝，

∴A＝30°，C＝90°，c＝＝4，

l＝a＋b＋c＝6＋6，S△ABC＝ab＝6.

B级　能力提升

11.(2020·郴州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是(　　)

A.或    B.

C.    D.

解析　由b2＋c2－bc＝a2，得b2＋c2－a2＝bc，

则cos A＝＝＝，

因为0<A<π，所以A＝，

由bc＝a2及正弦定理，

得sin Bsin C＝sin2A＝×＝，

即4sin(π－C－A)sin C＝，

即4sin(C＋A)sin C＝4sinsin C＝，

整理得cos 2C＝sin 2C，则tan 2C＝，又0<2C<，

即2C＝或，即C＝或.

答案　A

12.(2020·长春一模)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝sin Acos C，且a＝2，则△ABC面积的最大值为________.

解析　因为cos A＝sin Acos C，

所以bcos A－sin Ccos A＝sin Acos C，

所以bcos A＝sin(A＋C)，所以bcos A＝sin B，

所以＝，

又＝，a＝2，

所以＝，得tan A＝，

又A∈(0，π)，则A＝，

由余弦定理得(2)2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，

即bc≤12，当且仅当b＝c＝2时取等号，

从而△ABC面积的最大值为×12×＝3.

答案　3

13.(多填题)(2019·浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上.若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.

解析　如图，易知sin ∠C＝，cos ∠C＝.

在△BDC中，由正弦定理可得＝，

∴BD＝＝＝.

由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，

可得cos ∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin ∠CBD

＝sin[π－(∠C＋∠BDC)]

＝sin(∠C＋∠BDC)

＝sin ∠C·cos ∠BDC＋cos ∠C·sin ∠BDC

＝×＋×＝.

答案　　

14.(2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.

(1)求角B的大小；

(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值.

解　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，

得bsin A＝asin B，

又由bsin A＝acos，

得asin B＝acos，

即sin B＝cos，

可得tan B＝.

又因为B∈(0，π)，可得B＝.

(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，

有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.

由bsin A＝acos，可得sin A＝.

因为a<c，故cos A＝.

因此sin 2A＝2sin Acos A＝，

cos 2A＝2cos2A－1＝.

所以，sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝.

C级　创新猜想

15.(新背景题)(2020·合肥模拟)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝.若a2sin C＝4sin A，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为________.

解析　根据正弦定理及a2sin C＝4sin A，可得ac＝4，

由(a＋c)2＝12＋b2，可得a2＋c2－b2＝4，

所以S△ABC＝

＝＝.

答案