2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第四章第4节　三角函数的图象与性质

第4节　三角函数的图象与性质

考试要求　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.

知 识 梳 理

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).

(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)

[常用结论与微点提醒]

1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.

2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式.

3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.(　　)

(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.(　　)

(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)

(4)y＝sin|x|是偶函数.(　　)

解析　(1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.

(2)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.

(3)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2.(新教材必修第一册P213T3改编)下列函数中，是奇函数的是(　　)

A.y＝|cos x＋1|    B.y＝1－sin x

C.y＝－3sin(2x＋π)   D.y＝1－tan x

解析　选项A中的函数是偶函数，选项B，D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y＝－3sin(2x＋π)＝3sin 2x，所以是奇函数，选C.

答案　C

3.(老教材必修4P36T2改编)函数y＝－cos＋3的最小正周期为T，最大值为A，则(　　)

A.T＝π　A＝    B.T＝　A＝

C.T＝4π　A＝    D.T＝2π　A＝－

解析　T＝＝4π，A＝＋3＝.

答案　C

4.(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)

A.   B.1   C.   D.

解析　cos ＝cos＝sin，则f(x)＝sin＋sin＝sin，函数的最大值为.

答案　A

5.(2019·北京卷)函数f(x)＝sin22x的最小正周期是________.

解析　由降幂公式得f(x)＝sin2 2x＝＝－cos 4x＋，所以最小正周期T＝＝.

答案　

6.(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ) 的图象关于直线x＝对称，则φ的值是________.

解析　由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，得sin＝±1.所以＋φ＝＋kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋kπ(k∈Z)，又－<φ<，所以φ＝－.

答案　－

考点一　三角函数的定义域

【例1】 (1)函数y＝的定义域为________.

(2)函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________.

解析　(1)要使函数有意义，必须有

即

故函数的定义域为.

(2)函数有意义，则即

解得

所以2kπ<x≤＋2kπ(k∈Z)，

所以函数的定义域为.

答案　(1)

(2)

规律方法　三角函数与基本初等函数复合，求其定义域，一般有以下几种情形：

(1)分式中的分母不为零；

(2)偶次方根下的数(或式)大于等于零；

(3)指数式的底数大于零且不等于1；

(4)对数式的底数大于零且不等于1，真数大于零；

(5)由几部分数学式子组成的，那么函数的定义域是使各部分式子有意义的实数的集合的交集.

【训练1】 (一题多解)函数y＝的定义域为________.

解析　法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.

法二　利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).

所以定义域为.

答案　(k∈Z)

考点二　三角函数的值域(最值)

【例2】 (1)函数y＝sin x－cos的值域为________.

(2)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________.

解析　(1)∵y＝sin x－cos ＝sin x－cos x＋sin x＝sin x－cos x＝sin，

∴函数y＝sin x－cos的值域为[－，].

(2)由题意可得f(x)＝－cos2x＋cos x＋

＝－(cos x－)2＋1.

∵x∈，∴cos x∈[0，1].

∴当cos x＝，即x＝时，f(x)max＝1.

答案　(1)[－，]　(2)1

规律方法　求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：

(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；

(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).

【训练2】 (1)(2020·衡水调研)已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________.

(2)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________.

解析　(1)由x∈，知x＋∈.

∵x＋∈时，f(x)的值域为，

∴由函数的图象知≤a＋≤，∴≤a≤π.

(2)设t＝sin x－cos x，

则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，

sin xcos x＝，且－≤t≤.

∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.

当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.

∴函数的值域为.

答案　(1)　(2)

考点三　三角函数的周期性与对称性多维探究

角度1　三角函数的周期性

【例3－1】 (1)函数f(x)＝|tan x|的最小正周期是______.

(2)函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期是________.

解析　(1)y＝|tan x|的图象是y＝tan x的图象保留x轴上方部分，并将下方的部分翻折到x轴上方得到的，所以其最小正周期为π.

(2)函数f(x)＝cos2x－sin2x＝cos 3x，最小正周期T＝.

答案　(1)π　(2)

规律方法　三角函数周期的一般求法：(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k和函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋k的最小正周期T＝；(2)函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)＋k的最小正周期T＝；(3)不能用公式求周期的函数，可考虑用图象法求周期.

角度2　三角函数图象的对称性

【例3－2】 (1)已知函数f(x)＝asin x＋cos x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，则函数g(x)＝sin x＋acos x的图象(　　)

A.关于点对称   B.关于点对称

C.关于直线x＝对称   D.关于直线x＝对称

(2)若函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)图象的一个对称中心为M，距离点M最近的一条对称轴为直线x＝，则ω＝________.

解析　(1)因为函数f(x)＝asin x＋cos x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，

所以f(0)＝f，所以1＝a＋，a＝，

所以g(x)＝sin x＋cos x＝sin，

函数g(x)的对称轴方程为x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，对称轴为直线x＝，所以g(x)＝sin x＋acos x的图象关于直线x＝对称.

(2)函数f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin，因为图象的对称中心为M，距离点M最近的一条对称轴为x＝，所以－＝，即T＝.故ω＝＝3.

答案　(1)C　(2)3

规律方法　1.对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.

2.对于可化为f(x)＝Acos(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可.

【训练3】 (1)(角度1)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且∀x∈R，有f(x)≤f成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是(　　)

A.    B.

C.    D.

(2)(角度2)(2020·武汉调研)设函数f(x)＝sin－cos的图象关于y轴对称，则θ＝(　　)

A.－   B.   C.－   D.

解析　(1)由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，

得ω＝.

因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，

即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，

又|φ|<，所以φ＝，故f(x)＝sin.

令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，

故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，

当k＝0时，f(x)图象的对称中心坐标为.

(2)f(x)＝sin－cos＝2sin，

由题意可得f(0)＝2sin＝±2，

即sin＝±1，∴θ－＝＋kπ(k∈Z)，

∴θ＝＋kπ(k∈Z).

∵|θ|<，∴k＝－1时，θ＝－.

答案　(1)A　(2)A

考点四　三角函数的单调性　多维探究

角度1　求三角函数的单调区间

【例4－1】 (1)(2020·岳阳质检)函数y＝sin，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是(　　)

A.    B.

C.    D.

(2)函数f(x)＝tan的单调递增区间是______.

解析　(1)由2kπ－≤＋≤2kπ＋(k∈Z)得，

4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)，

又x∈[－2π，2π]，所以－≤x≤.

故y＝sin，x∈[－2π，2π]的单调递增区间为.故选A.

(2)由kπ－<2x＋<kπ＋(k∈Z)，

得－<x<＋(k∈Z)，

所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z).

答案　(1)A　(2)(k∈Z)

规律方法　求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.

角度2　根据三角函数的单调性求参数

【例4－2】 已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________.

解析　由<x<π，ω>0得＋<ωx＋<ωπ＋，

又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，

所以k∈Z，

解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.

又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，

得k＝0，所以ω∈.

答案　

规律方法　对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.

【训练4】 (1)(角度1)已知函数f(x)＝2sin，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

(2)(角度2)(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)

A.   B.   C.   D.π

解析　(1)函数的解析式可化为f(x)＝－2sin.

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).

(2)f(x)＝cos x－sin x＝cos，

由题意得a>0，故－a＋<，

因为f(x)＝cos在[－a，a]是减函数，

所以解得0<a≤，所以a的最大值是.

答案　(1)D　(2)A

A级　基础巩固

一、选择题

1.函数y＝sin  2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)

A.   B.   C.π   D.2π

解析　∵y＝2＝2sin，

∴T＝＝π.

答案　C

2.函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)

A.    B.

C.   D.

解析　由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋(k∈Z)，即x≠＋(k∈Z)，故选D.

答案　D

3.若函数y＝sin在x＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　由题意得，2ω＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝＋kπ(k∈Z)，∵ω>0，∴当k＝0时，ωmin＝，故选D.

答案　D

4.若f(x)为偶函数，且在上满足：对任意x1<x2，都有>0，则f(x)可以为(　　)

A.f(x)＝cos   B.f(x)＝|sin(π＋x)|

C.f(x)＝－tan x    D.f(x)＝1－2cos22x

解析　∵f(x)＝cos＝－sin x为奇函数，∴排除A；f(x)＝－tan x为奇函数，∴排除C；f(x)＝1－2cos22x＝－cos 4x为偶函数，且单调增区间为(k∈Z)，排除D；f(x)＝|sin(π＋x)|＝|sin x|为偶函数，且在上单调递增.

答案　B

5.(2019·昆明诊断)将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有性质(　　)

A.周期为π，最大值为1，图象关于直线x＝对称，为奇函数

B.周期为π，最大值为1，图象关于点对称，为奇函数

C.周期为π，最大值为1，在上单调递减，为奇函数

D.周期为π，最大值为1，在上单调递增，为奇函数

解析　将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)＝cos＝sin 2x的图象，则函数g(x)的周期为π，最大值为1，在上单调递增，且为奇函数，故选D.

答案　D

二、填空题

6.函数y＝cos的单调递减区间为________.

解析　由y＝cos＝cos，

得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，

解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，

所以函数的单调递减区间为(k∈Z).

答案　(k∈Z)

7.(2018·北京卷)设函数f(x)＝cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________.

解析　由于对任意的实数都有f(x)≤f成立，故当x＝时，函数f(x)有最大值，故f＝1，－＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝8k＋(k∈Z).又ω>0，∴ωmin＝.

答案　

8.(2020·合肥调研)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是________(填序号).

①f(x)的周期是；

②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；

③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；

④f(x)的单调递减区间是，k∈Z.

解析　函数f(x)的周期为2π，①错；f(x)的值域为[0，＋∞)，②错；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，∴x＝不是f(x)的对称轴，③错；令kπ－<x－≤kπ，k∈Z，可得2kπ－<x≤2kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间是，k∈Z，④正确.

答案　④

三、解答题

9.(2018·北京卷)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值.

解　(1)f(x)＝－cos 2x＋sin 2x

＝sin＋.

所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)由(1)知f(x)＝sin＋.

由题意知－≤x≤m，

所以－≤2x－≤2m－.

要使得f(x)在上的最大值为，

即sin在上的最大值为1.

所以2m－≥，即m≥.

故实数m的最小值为.

10.已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求函数y＝f(x)的图象的对称轴方程；

(2)讨论函数f(x)在上的单调性.

解　(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin.

令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，

即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).

(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).注意到x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得函数f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)，令k＝0，得f(x)在上的单调递减区间为.

B级　能力提升

11.(2020·山西百日冲刺)已知函数f(x)＝

则下列结论正确的是(　　)

A.f(x)是周期函数

B.f(x)是奇函数

C.f(x)的图象关于直线x＝对称

D.f(x)在处取得最大值

解析　作出函数f(x)的图象，如图所示，由图象可知函数f(x)不是周期函数，所以A不正确；同时图象不关于原点对称，所以不是奇函数，所以B不正确；

若x>0，则f＝cos＝(cos x－sin x)，

f＝sin＝(cos x－sin x)，

此时f＝f；

若x≤0，则f＝sin＝(cos x＋sin x)，

f＝cos＝(cos x＋sin x)，

此时f＝f，综上，恒有f＝f，即图象关于直线x＝对称，所以C正确；当x＝时，f＝cos ＝0不是函数的最大值，所以D错误，故选C.

答案　C

12.(2019·长沙模拟)已知P(1，2)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点，设∠BPC＝θ，若tan ＝，则f(x)图象的对称中心可以是(　　)

A.(0，0)    B.(1，0)

C.    D.

解析　由已知作出图形，连接BC，过P作BC的垂线，如图所示.

由题意知A＝2.又∠BPC＝θ，所以tan ＝＝，解得BC＝6，所以T＝6＝，又∵ω>0，解得ω＝.所以f(x)＝2sin.将点P(1，2)的坐标代入函数解析式，得2sin＝2，解得φ＝＋2kπ(k∈Z).令k＝0，得φ＝，所以f(x)＝2sin.令x＋＝mπ(m∈Z)，解得x＝3m－(m∈Z).令m＝1，得x＝，即f(x)图象的对称中心可以是.故选D.

答案　D

13.若函数g(x)＝sin在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是________.

解析　由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

可得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z).

又∵函数g(x)在区间和上均单调递增，

∴解得≤a<.

答案　

14.已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋.

(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；

(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值.

解　(1)f(x)＝cos xsin x－(2cos2x－1)

＝sin 2x－cos 2x＝sin.

当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.

(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为x＝π＋kπ(k∈Z)，

∴当x∈(0，π)时，对称轴为x＝π.

又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2.

∴x1＋x2＝π，则x1＝π－x2，

∴cos(x1－x2)＝cos＝sin，

又f(x2)＝sin＝，

故cos(x1－x2)＝.

C级　创新猜想

15.(开放题)已知函数f(x)＝sin 2x－2cos2x＋1，将f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若g(x1)g(x2)＝9，则|x1－x2|的值可以是________(答案不唯一，写出一个即可).

解析　f(x)＝sin 2x－2cos2x＋1＝sin 2x－cos 2x＝2sin，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，则所得图象对应的解析式为y＝2sin，再将所得的函数图象向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝2sin＋1的图象，则函数g(x)的值域为[－1，3]，又g(x1)g(x2)＝9，所以g(x1)＝g(x2)＝g(x)max＝3，则|x1－x2|＝nT(n∈N，T为g(x)的最小正周期)，又T＝，故|x1－x2|＝(n∈N)，故可填.

答案　(答案不唯一)