2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析4.6 正弦定理和余弦定理 学案
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核心考点·精准研析
考点一 正弦定理
1.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对边的边长.若cos C+sin C-
=0,则的值是 ( )
A.-1 B.+1
C.+1 D.2
2.已知锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
3.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+
acos B=0,则B=________. 世纪金榜导学号
【解析】1.选B.在△ABC中,由cos C+sin C-=0,由两角和的正弦公式得2sinsin=2,所以C+=B+=,解得C=B=,所以A=.由正弦定理得===+1.
2.选D.因为B=2A,
所以sin B=sin 2A=2sin Acos A,
由正弦定理得b=2acos A,
所以=,所以==tan A.
因为△ABC是锐角三角形,
所以解得<A<,
所以<tan A<1,所以<tan A<.
即的取值范围是.
3.已知bsin A+acos B=0,由正弦定理可得sin Bsin A+sin Acos B=0,即
sin B=-cos B,
又因为sin2B+cos2B=1,解得sin B=,cos B=-,故B=.
答案:
解三角形的策略
(1)将已知条件统一化为边的关系,或角的关系.一般来说,求边化边,求角化角.
(2)已知代数式两边,边的次数相同时,可用正弦定理,将边换为角的正弦.
1.(2020·武汉模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=1,b=,A=30°,若B为锐角,则A∶B∶C= ( )
A.1∶1∶3 B.1∶2∶3
C.1∶3∶2 D.1∶4∶1
【解析】选B.因为a=1,b=,A=30°,B为锐角,所以由正弦定理得sin B=
=,则B=60°,所以C=90°,则A∶B∶C=1∶2∶3.
2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2ccos A,sin A=1,则
sin C的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.因为sin A=1,即sin A=,
又a=2ccos A,cos A=>0,所以cos A=.由条件及正弦定理得sin A=
2sin Ccos A,即=2×sin C,所以sin C=.
考点二 余弦定理
【典例】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a-c=b,sin B=sin C.
(1)求cos A的值.
(2)求cos 的值.
【解题导思】
序号 | 联想解题 |
| (1)看到“sin B=sin C”,想到运用正弦定理,转化为b=c,又由“a-c=b”运用余弦定理求得cos A.(2)看到“cos”想到公式cos(A-B)=cos Acos B+sin Asin B.利用(1)得出的cos A的值及倍角公式求出cos2A和sin2A,代入公式方可求出cos的值 |
【解析】(1)在△ABC中,由=及sin B=sin C,
可得b=c,又由a-c=b,得a=2c,
所以cos A===.
(2)在△ABC中,由cos A=,可得sin A=.
于是,cos 2A=2cos2A-1=-,
sin 2A=2sin A·cos A=.
所以cos=cos 2A cos +sin 2Asin
=×+×=.
用正、余弦定理求解三角形基本量的方法
第一步:选定理.两角两边用正弦定理,三边一角用余弦定理.
第二步:求解.将已知代入定理求解.
1.(2019·长沙模拟)已知在△ABC中,D是AC边上的点,且AB=AD,BD=AD,BC=2AD,则sin C的值为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.设AB=AD=2a,则BD=a,则BC=4a,所以cos∠ADB=
==,所以cos∠BDC==-,整理得CD2+3aCD-10a2=0,解得CD=2a或者CD=-5a(舍去).所以cos C===,而C∈,所以sin C=.
2.(2020·晋城模拟)如图,在锐角三角形ABC中,sin∠BAC=,sin∠ABC=,BC=6,点D在边BC上,且BD=2DC,点E在边AC上,且BE⊥AC,BE交AD于点F.
(1)求AC的长.
(2)求cos∠DAC及AF的长.
【解析】(1)在锐角三角形ABC中,sin∠BAC=,
sin∠ABC=,BC=6,由正弦定理得=,所以AC===5.
(2)由sin∠BAC=,sin∠ABC=,得
cos∠BAC=,cos∠ABC=,
所以cos C=-cos (∠BAC+∠ABC)
=-cos∠BACcos ∠ABC+sin∠BACsin∠ABC
=-×+×=.
因为BE⊥AC,
所以CE=BCcos C=6×=,AE=AC-CE=.
在△ACD中,AC=5,CD=BC=2,cos C=,
由余弦定理得AD=
==,
所以cos∠DAC==
=.由BE⊥AC,得AFcos∠DAC=AE,
所以AF==.
考点三 正、余弦定理的综合应用
命 题 精 解 读 | 考什么:判断三角形形状、个数、面积问题,最值、范围问题; 怎么考:考查解三角形问题常与平面几何交汇,题目中经常出现有关的几何元素如高、角平分线、线段的垂直平分线、三角形内切圆等;与平面向量交汇考查,解三角形还常与不等式,三角函数的性质交汇命题. |
学 霸 好 方 法 | 1.判断三角形形状的两种思路 (1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. (2)化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=π这个结论. 2.在三角形中求边、角的方法 (1)若求角,寻求得到这个角的一个函数的方程,结合角的范围求解. (2)若求边,寻求与该边(或两边)有关联的角,利用三角形面积公式列方程求解. |
判断三角形个数、形状
【典例】1.在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,则满足条件的三角形有
( )
A.1个 B.2个
C.0个 D.无法确定
2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若=,则△ABC的形状是 ( )
世纪金榜导学号
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
【解析】1.选B.因为bsin A=×=,所以bsin A<a<b.所以满足条件的三角形有2个.
【一题多解】选B.作∠A=45°,则点B,C分别在∠A的两条边上.因为AC=b=,所以点C固定.过C作AB的垂线,垂足为D,易知CD=h=,又因为a=2,即<a<,所以B有两个位置符合题意.所以满足条件的三角形有2个.
2.选D.由已知===,所以=或=0,即C=90°或=.由正弦定理,得=,所以=,即sin Ccos C=sin Bcos B,即
sin 2C=sin 2B,因为B,C均为△ABC的内角,所以2C=2B或2C+2B=180°,所以B=C或B+C=90°,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
1.三角形解的个数如何判断?
提示:(1)已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理,也可用余弦定理.用正弦定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.
(3)数形结合,作图,与相应的直角三角形比较.
2.三角形形状如何判定?
提示:(1)角化边:利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断.
(2)边化角:通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.
面积问题
【典例】1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为________.
【解析】因为cos B=,
又因为b=6,a=2c,B=,可得c2=12,
解得c=2,a=4,
则△ABC的面积S=×4×2×=6.
答案:6
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且 acos C=(2b- c)cos A.
(1)求角A的大小.
(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.
【解析】(1)由正弦定理可得: sin Acos C=2sin Bcos A- sin Ccos A,从而可得: sin(A+C)=2sin Bcos A,即 sin B=2sin Bcos A,
又B为三角形的内角,所以sin B≠0,
于是cos A=,
又A为三角形的内角,所以A=.
(2)由余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A得
4=b2+c2-2bc·≥2bc- bc,
当且仅当b=c时取等号,
所以bc≤4(2+),所以S=bcsin A≤2+.
所以△ABC面积的最大值为2+.
与三角形面积有关的问题如何求解?
提示:
解三角形与三角恒等变换交汇问题
【典例】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C= 世纪金榜导学号( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由题意得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,
sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,
即sin C(sin A+cos A)=sin Csin=0,所以A=.
由正弦定理=得=,即sin C=,得C=.
三角形与三角恒等变换交汇问题如何求解?
提示:
1.在△ABC中,cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为
( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.钝角三角形
【解析】选A.已知等式变形得cos B+1=+1,即cos B=.由余弦定理得cos B=,代入得=,整理得b2+a2=c2,即C为直角,则△ABC为直角三角形.
2.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.由正弦定理及sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C得a2≤b2+c2-bc,即b2+c2-a2≥bc,由余弦定理得cos A=≥=,又0<A<π,所以0<A≤.所以A的取值范围是.
3.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,则C= ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由题意S△ABC=absin C=,即sin C=,由余弦定理可知sin C=cos C,
即tan C=1,又C∈(0,π),所以C=.
1.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin C-cos C=1-cos ,若
△ABC的面积S=(a+b)sin C=,则△ABC的周长为 ( )
A.2+5 B.+5
C.2+3 D.+3
【解析】选D.由sin C-cos C=1-cos ⇒2sin cos -=1-cos ⇒cos 2cos -2sin -1=0,因为cos ≠0,所以sin -cos =-,两边平方得sin C=,由sin -cos =-得sin <cos ,所以0<<,即0<C<,
由sin C=得cos C=.
又S=absin C=(a+b)sin C=,
所以a+b=ab=4,所以a=b=2,
再根据余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=8-2,
解得c=-1,所以△ABC的周长为+3.
2.如图,在平面四边形ABCD中,AB=1,BC=,AC⊥CD,CD=AC,当∠ABC变化时,对角线BD的最大值为________.
【解析】设∠ABC=α,∠ACB=β,
在△ABC中,由余弦定理得AC2=4-2cos α.
由正弦定理得=,所以sin β=.
又CD=AC,在△BCD中,由余弦定理得
BD2=3+3(4-2cos α)-2×××cos ,
即BD2=15-6cos α+6sin α=15+12sin .当α=时,BD取得最大值3.
答案:3
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