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2021新高考数学（江苏专用）一轮复习学案：第四章第6节正弦定理和余弦定理
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第6节 正弦定理和余弦定理
考试要求 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
知 识 梳 理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos__A；
b2＝c2＋a2－2cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
常见
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
[常用结论与微点提醒]
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>
sin B⇔cos A
1.判断下列结论的正误.(在括号内打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.( )
解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
(3)已知三角时，不可求三边.
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(新教材必修第二册P44例6改编)在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则cos B＝( )
A. B. C. D.
解析 由余弦定理知cos B＝＝.
答案 A
3.(教材必修5P10T4改编)在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________.
解析 由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
答案 等腰三角形或直角三角形
4.(2019·潍坊二模)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则等于( )
A. B. C. D.
解析 由bsin 2A＝asin B，及正弦定理得2sin Bsin Acos A＝sin Asin B，得cos A＝.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.故选D.
答案 D
5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A.4 B.
C. D.2
解析 由题意得cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－.
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，
所以AB＝4.
答案 A
6.(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________.
解析 作出单位圆的内接正六边形，如图，则OA＝OB＝AB＝1，
S6＝6××12×sin 60°＝.
答案
考点一 利用正、余弦定理解三角形
【例1】 (1)(2019·青岛二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2－cos 2C＝1，4sin B＝3sin A，a－b＝1，则c的值为( )
A. B. C. D.6
(2)(2020·徐州模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝1，sin Acos C＋(sin C＋b)cos A＝0，则A＝________.
解析 (1)由2cos2－cos 2C＝1，
可得2cos2－1－cos 2C＝0，
则有cos 2C＋cos C＝0，即2cos2C＋cos C－1＝0，
解得cos C＝或cos C＝－1(舍)，
由4sin B＝3sin A，得4b＝3a，①
又a－b＝1，②
联立①，②得a＝4，b＝3，
所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋9－12＝13，则c＝.
(2)由sin Acos C＋(sin C＋b)cos A＝0，
得sin Acos C＋sin Ccos A＝－bcos A，
所以sin(A＋C)＝－bcos A，即sin B＝－bcos A，
又＝，所以＝＝－，
从而＝－⇒tan A＝－，
又因为0
规律方法 利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).
利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.
【训练1】 (1)在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有( )
A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定
(2)(2020·沈阳质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C＋2sin Ccos B＝sin A，C∈，a＝，cos B＝，则b＝________.
解析 (1)∵bsin A＝×＝，∴bsin A
(2)由正弦定理及题意可得c＋2c×＝a，即a＝c，又a＝，所以c＝，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝6＋－＝，所以b＝.
答案 (1)B (2)
考点二 判断三角形的形状
【例2】 (1)(一题多解)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是( )
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
(2)(多选题)下列命题中，正确的是( )
A.在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B
B.在锐角三角形ABC中，不等式sin A＞cos B恒成立
C.在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形
D.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
解析 (1)法一 由余弦定理可得a＝2b·，
因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，
从而△ABC为等腰三角形.
法二 由正弦定理可得sin A＝2sin Bcos C，
因此sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C，
故△ABC为等腰三角形.
(2)对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，故A正确；对于B，在锐角三角形ABC中，A，B∈，且A＋B＞，则＞A＞－B＞0，所以sin A＞sin＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c.又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确.故选ABD.
答案 (1)C (2)ABD
规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
【训练2】 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
C.锐角三角形 D.等边三角形
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝
asin A，则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
解析 (1)由
所以sin C
因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
(2)由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝，
∴△ABC为直角三角形.
答案 (1)A (2)B
考点三 和三角形面积有关的问题
【例3】 (2019·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin ＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.
解 (1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sin＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，
故cos＝2sincos.
因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由(1)知A＋C＝120°，
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°
规律方法 与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
【训练3】 (2019·南京二模)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＝c(acos C＋ccos A).
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积为，且a＝3，求△ABC的周长.
解 (1)b2＋c2－a2＝c(acos C＋ccos A)可化为
b2＋c2－a2＝c，
即得＝1，所以＝，
所以cos A＝.
又因为A为△ABC的内角，所以A＝60°.
(2)根据题意，得S△ABC＝bcsin A＝bc×＝，
所以bc＝.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A
＝(b＋c)2－2bc－2bccos 60°
＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－16＝9.
解得b＋c＝5，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝8.
数学抽象、数学运算——二级结论之射影定理的活用赏析
设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有：a＝bcos C＋ccos B；b＝ccos A＋acos C；c＝acos B＋bcos A.
注：以“a＝bcos C＋ccos B”为例，b，c在a上的射影分别为bcos C，ccos B，故名射影定理.
证明 如图，在△ABC中，AD⊥BC，
则bcos C＝CD，ccos B＝BD，
故bcos C＋ccos B＝CD＋BD＝BC＝a，
即a＝bcos C＋ccos B，
同理可证b＝ccos A＋acos C，
c＝acos B＋bcos A.
【例1】 (2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是( )
A.a＝2b B.b＝2a C.A＝2B D.B＝2A
[通性通法] 法一 因为sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，所以sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)，所以sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋
sin B，
即cos C(2sin B－sin A)＝0，
所以cos C＝0或2sin B＝sin A，
即C＝90°或2b＝a，
又△ABC为锐角三角形，所以0°
法二 由正弦定理和余弦定理得
b＝2a×＋c×，
所以2b2＝a2＋3b2－c2，
即(a2＋b2－c2)＝a2＋b2－c2，
即(a2＋b2－c2)＝0，
所以a2＋b2＝c2或2b＝a，
又△ABC为锐角三角形，所以a2＋b2>c2，故2b＝a，故选A.
[应用示范] 由正弦定理及sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C得b＋2bcos C＝2acos C＋ccos A＝acos C＋(acos C＋ccos A)＝acos C＋b，即2bcos C＝acos C，又因为△ABC为锐角三角形，所以cos C≠0，则2b＝a.
答案 A
【例2】 (2017·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________.
[通性通法] 依题意得2b×＝a×＋c×，即a2＋c2－b2＝ac，所以2accos B＝ac>0，cos B＝.又0
又2bcos B＝acos C＋ccos A，则2bcos B＝b，即cos B＝，
又B∈(0，π)，故B＝.
答案
思维升华 射影定理和正、余弦定理一样实现了边角之间的转换，运用射影定理整体代入，大大简化了运算过程，取得了事半功倍的神奇效果.
A级 基础巩固
一、选择题
1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝( )
A. B. C.2 D.3
解析 由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝3.
答案 D
2.(2020·唐山一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h＝( )
A. B. C. D.
解析 由余弦定理，得cos A＝＝＝＝，则sin A＝＝＝＝，
则h＝ACsin A＝bsin A＝3×＝，故选D.
答案 D
3.(2019·厦门一模)在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积等于( )
A. B. C. D.
解析 由正弦定理及sin C＝2sin A得c＝2a，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋4a2－2a·2a·＝4a2＝4，解得a＝1，可得c＝2，所以△ABC的面积为S＝
acsin B＝×1×2×＝.
答案 D
4.在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
解析 因为cos2＝，
所以2cos2－1＝－1，所以cos B＝，
即＝，所以c2＝a2＋b2.
所以△ABC为直角三角形.
答案 B
5.(2019·苏、锡、常、镇调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝( )
A. B. C. D.
解析 由题意得A＝B＋，所以sin A＝sin＝cos B，又a＝b，所以由正弦定理得sin A＝sin B，故cos B＝sin B，所以tan B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝，所以C＝π－－＝.
答案 B
二、填空题
6.(多填题)(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.
解析 由正弦定理，得sin B＝sin A＝，
又a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴c2－2c－3＝0，解得c＝3(c＝－1舍去).
答案 3
7.(2019·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________.
解析 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得36＝4c2＋c2－2×2c2×，
解得c＝2，所以a＝4，
所以S△ABC＝acsin B＝×4×2×＝6.
答案 6
8.(2020·西安质检)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
cos B＝，b＝4，S△ABC＝4，则△ABC的周长为________.
解析 由cos B＝，得sin B＝，由三角形面积公式可得acsin B＝ac·＝4，则ac＝12，①
由b2＝a2＋c2－2accos B，可得16＝a2＋c2－2×12×，则a2＋c2＝24，②
联立①②可得a＝c＝2，所以△ABC的周长为4＋4.
答案 4＋4
三、解答题
9.(2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－.
(1)求A；
(2)求AC边上的高.
解 (1)在△ABC中，因为cos B＝－，
所以sin B＝＝.
由正弦定理得sin A＝＝.
由题设知
(2)在△ABC中，
因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，
所以AC边上的高为asin C＝7×＝.
10.(开放题)在△ABC中，a＝2，b＝6，________，求△ABC的周长l及面积S△ABC.
在①A＝30°，②C＝30°，③B＝60°这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解 选条件①：∵a＝2，b＝6，a
得sin B＝＝＝.
因为b>a，B>A，0°
当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4，
l＝a＋b＋c＝2＋6＋4＝6＋6，
S△ABC＝ab＝6；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2，
l＝a＋b＋c＝6＋4，
S△ABC＝absin C＝×2×6×sin 30°＝3.
选条件②：∵a＝2，b＝6，C＝30°，
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋36－2×2×6×＝12，c＝2，
则l＝a＋b＋c＝6＋4，
S△ABC＝absin C＝3.
选条件③：∵a＝2，b＝6，a
∴A＝30°，C＝90°，c＝＝4，
l＝a＋b＋c＝6＋6，
S△ABC＝ab＝6.
B级 能力提升
11.(2020·郴州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是( )
A.或 B.
C. D.
解析 由b2＋c2－bc＝a2，得b2＋c2－a2＝bc，
则cos A＝＝＝，
因为0
得sin Bsin C＝sin2A＝×＝，
即4sin(π－C－A)sin C＝，
即4sin(C＋A)sin C＝4sinsin C＝，
整理得cos 2C＝sin 2C，则tan 2C＝，又0<2C<，
即2C＝或，即C＝或.
答案 A
12.(2020·东营模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝sin Acos C，且a＝2，则△ABC面积的最大值为________.
解析 因为cos A＝sin Acos C，
所以bcos A－sin Ccos A＝sin Acos C，
所以bcos A＝sin(A＋C)，所以bcos A＝sin B，
所以＝，
又＝，a＝2，
所以＝，得tan A＝，
又A∈(0，π)，则A＝，
由余弦定理得(2)2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
即bc≤12，当且仅当b＝c＝2时取等号，
从而△ABC面积的最大值为×12×＝3.
答案 3
13.(多填题)(2019·浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上.若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.
解析 如图，易知sin ∠C＝，
cos ∠C＝.
在△BDC中，由正弦定理可得
＝，
∴BD＝＝＝.
由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，
可得cos ∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin ∠CBD
＝sin[π－(∠C＋∠BDC)]
＝sin(∠C＋∠BDC)
＝sin ∠C·cos ∠BDC＋cos ∠C·sin ∠BDC
＝×＋×＝.
答案
14.(2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值.
解 (1)在△ABC中，由正弦定理＝，
得bsin A＝asin B，
又由bsin A＝acos，
得asin B＝acos，
即sin B＝cos，
可得tan B＝.
又因为B∈(0，π)，可得B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝.
因为a
cos 2A＝2cos2A－1＝.
所以，sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝.
C级 创新猜想
15.(新背景题)(2020·北京模拟)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝.若a2sin C＝4sin A，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为________.
解析 根据正弦定理及a2sin C＝4sin A，可得ac＝4，
由(a＋c)2＝12＋b2，可得a2＋c2－b2＝4，
所以S△ABC＝
＝＝.
答案
16.(多填题)(2020·济南模拟)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，(3b－a)cos C＝ccos A，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为3，则ab＝________，a＋b＝________.
解析 ∵(3b－a)cos C＝ccos A，∴利用正弦定理可得3sin Bcos C＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B.又∵sin B≠0，∴cos C＝，又C为锐角，∴sin C＝.由△ABC的面积为3，可得absin C＝3，∴ab＝9.由c是a，b的等比中项可得c2＝ab，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C，∴(a＋b)2＝ab＝33，∴a＋b＝.
答案 9
第6节 正弦定理和余弦定理
考试要求 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
知 识 梳 理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos__A；
b2＝c2＋a2－2cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
常见
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
[常用结论与微点提醒]
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>
sin B⇔cos A
1.判断下列结论的正误.(在括号内打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.( )
解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
(3)已知三角时，不可求三边.
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(新教材必修第二册P44例6改编)在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则cos B＝( )
A. B. C. D.
解析 由余弦定理知cos B＝＝.
答案 A
3.(教材必修5P10T4改编)在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________.
解析 由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
答案 等腰三角形或直角三角形
4.(2019·潍坊二模)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则等于( )
A. B. C. D.
解析 由bsin 2A＝asin B，及正弦定理得2sin Bsin Acos A＝sin Asin B，得cos A＝.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.故选D.
答案 D
5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A.4 B.
C. D.2
解析 由题意得cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－.
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，
所以AB＝4.
答案 A
6.(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________.
解析 作出单位圆的内接正六边形，如图，则OA＝OB＝AB＝1，
S6＝6××12×sin 60°＝.
答案
考点一 利用正、余弦定理解三角形
【例1】 (1)(2019·青岛二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2－cos 2C＝1，4sin B＝3sin A，a－b＝1，则c的值为( )
A. B. C. D.6
(2)(2020·徐州模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝1，sin Acos C＋(sin C＋b)cos A＝0，则A＝________.
解析 (1)由2cos2－cos 2C＝1，
可得2cos2－1－cos 2C＝0，
则有cos 2C＋cos C＝0，即2cos2C＋cos C－1＝0，
解得cos C＝或cos C＝－1(舍)，
由4sin B＝3sin A，得4b＝3a，①
又a－b＝1，②
联立①，②得a＝4，b＝3，
所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋9－12＝13，则c＝.
(2)由sin Acos C＋(sin C＋b)cos A＝0，
得sin Acos C＋sin Ccos A＝－bcos A，
所以sin(A＋C)＝－bcos A，即sin B＝－bcos A，
又＝，所以＝＝－，
从而＝－⇒tan A＝－，
又因为0
规律方法 利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).
利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.
【训练1】 (1)在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有( )
A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定
(2)(2020·沈阳质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C＋2sin Ccos B＝sin A，C∈，a＝，cos B＝，则b＝________.
解析 (1)∵bsin A＝×＝，∴bsin A
(2)由正弦定理及题意可得c＋2c×＝a，即a＝c，又a＝，所以c＝，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝6＋－＝，所以b＝.
答案 (1)B (2)
考点二 判断三角形的形状
【例2】 (1)(一题多解)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是( )
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
(2)(多选题)下列命题中，正确的是( )
A.在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B
B.在锐角三角形ABC中，不等式sin A＞cos B恒成立
C.在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形
D.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
解析 (1)法一 由余弦定理可得a＝2b·，
因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，
从而△ABC为等腰三角形.
法二 由正弦定理可得sin A＝2sin Bcos C，
因此sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C，
故△ABC为等腰三角形.
(2)对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，故A正确；对于B，在锐角三角形ABC中，A，B∈，且A＋B＞，则＞A＞－B＞0，所以sin A＞sin＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c.又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确.故选ABD.
答案 (1)C (2)ABD
规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
【训练2】 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
C.锐角三角形 D.等边三角形
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝
asin A，则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
解析 (1)由
所以sin C
因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
(2)由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝，
∴△ABC为直角三角形.
答案 (1)A (2)B
考点三 和三角形面积有关的问题
【例3】 (2019·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin ＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.
解 (1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sin＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，
故cos＝2sincos.
因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由(1)知A＋C＝120°，
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°
规律方法 与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
【训练3】 (2019·南京二模)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＝c(acos C＋ccos A).
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积为，且a＝3，求△ABC的周长.
解 (1)b2＋c2－a2＝c(acos C＋ccos A)可化为
b2＋c2－a2＝c，
即得＝1，所以＝，
所以cos A＝.
又因为A为△ABC的内角，所以A＝60°.
(2)根据题意，得S△ABC＝bcsin A＝bc×＝，
所以bc＝.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A
＝(b＋c)2－2bc－2bccos 60°
＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－16＝9.
解得b＋c＝5，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝8.
数学抽象、数学运算——二级结论之射影定理的活用赏析
设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有：a＝bcos C＋ccos B；b＝ccos A＋acos C；c＝acos B＋bcos A.
注：以“a＝bcos C＋ccos B”为例，b，c在a上的射影分别为bcos C，ccos B，故名射影定理.
证明 如图，在△ABC中，AD⊥BC，
则bcos C＝CD，ccos B＝BD，
故bcos C＋ccos B＝CD＋BD＝BC＝a，
即a＝bcos C＋ccos B，
同理可证b＝ccos A＋acos C，
c＝acos B＋bcos A.
【例1】 (2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是( )
A.a＝2b B.b＝2a C.A＝2B D.B＝2A
[通性通法] 法一 因为sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，所以sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)，所以sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋
sin B，
即cos C(2sin B－sin A)＝0，
所以cos C＝0或2sin B＝sin A，
即C＝90°或2b＝a，
又△ABC为锐角三角形，所以0°
法二 由正弦定理和余弦定理得
b＝2a×＋c×，
所以2b2＝a2＋3b2－c2，
即(a2＋b2－c2)＝a2＋b2－c2，
即(a2＋b2－c2)＝0，
所以a2＋b2＝c2或2b＝a，
又△ABC为锐角三角形，所以a2＋b2>c2，故2b＝a，故选A.
[应用示范] 由正弦定理及sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C得b＋2bcos C＝2acos C＋ccos A＝acos C＋(acos C＋ccos A)＝acos C＋b，即2bcos C＝acos C，又因为△ABC为锐角三角形，所以cos C≠0，则2b＝a.
答案 A
【例2】 (2017·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________.
[通性通法] 依题意得2b×＝a×＋c×，即a2＋c2－b2＝ac，所以2accos B＝ac>0，cos B＝.又0
又2bcos B＝acos C＋ccos A，则2bcos B＝b，即cos B＝，
又B∈(0，π)，故B＝.
答案
思维升华 射影定理和正、余弦定理一样实现了边角之间的转换，运用射影定理整体代入，大大简化了运算过程，取得了事半功倍的神奇效果.
A级 基础巩固
一、选择题
1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝( )
A. B. C.2 D.3
解析 由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝3.
答案 D
2.(2020·唐山一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h＝( )
A. B. C. D.
解析 由余弦定理，得cos A＝＝＝＝，则sin A＝＝＝＝，
则h＝ACsin A＝bsin A＝3×＝，故选D.
答案 D
3.(2019·厦门一模)在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积等于( )
A. B. C. D.
解析 由正弦定理及sin C＝2sin A得c＝2a，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋4a2－2a·2a·＝4a2＝4，解得a＝1，可得c＝2，所以△ABC的面积为S＝
acsin B＝×1×2×＝.
答案 D
4.在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
解析 因为cos2＝，
所以2cos2－1＝－1，所以cos B＝，
即＝，所以c2＝a2＋b2.
所以△ABC为直角三角形.
答案 B
5.(2019·苏、锡、常、镇调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝( )
A. B. C. D.
解析 由题意得A＝B＋，所以sin A＝sin＝cos B，又a＝b，所以由正弦定理得sin A＝sin B，故cos B＝sin B，所以tan B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝，所以C＝π－－＝.
答案 B
二、填空题
6.(多填题)(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.
解析 由正弦定理，得sin B＝sin A＝，
又a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴c2－2c－3＝0，解得c＝3(c＝－1舍去).
答案 3
7.(2019·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________.
解析 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得36＝4c2＋c2－2×2c2×，
解得c＝2，所以a＝4，
所以S△ABC＝acsin B＝×4×2×＝6.
答案 6
8.(2020·西安质检)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
cos B＝，b＝4，S△ABC＝4，则△ABC的周长为________.
解析 由cos B＝，得sin B＝，由三角形面积公式可得acsin B＝ac·＝4，则ac＝12，①
由b2＝a2＋c2－2accos B，可得16＝a2＋c2－2×12×，则a2＋c2＝24，②
联立①②可得a＝c＝2，所以△ABC的周长为4＋4.
答案 4＋4
三、解答题
9.(2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－.
(1)求A；
(2)求AC边上的高.
解 (1)在△ABC中，因为cos B＝－，
所以sin B＝＝.
由正弦定理得sin A＝＝.
由题设知
(2)在△ABC中，
因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，
所以AC边上的高为asin C＝7×＝.
10.(开放题)在△ABC中，a＝2，b＝6，________，求△ABC的周长l及面积S△ABC.
在①A＝30°，②C＝30°，③B＝60°这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解 选条件①：∵a＝2，b＝6，a
得sin B＝＝＝.
因为b>a，B>A，0°
当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4，
l＝a＋b＋c＝2＋6＋4＝6＋6，
S△ABC＝ab＝6；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2，
l＝a＋b＋c＝6＋4，
S△ABC＝absin C＝×2×6×sin 30°＝3.
选条件②：∵a＝2，b＝6，C＝30°，
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋36－2×2×6×＝12，c＝2，
则l＝a＋b＋c＝6＋4，
S△ABC＝absin C＝3.
选条件③：∵a＝2，b＝6，a
∴A＝30°，C＝90°，c＝＝4，
l＝a＋b＋c＝6＋6，
S△ABC＝ab＝6.
B级 能力提升
11.(2020·郴州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是( )
A.或 B.
C. D.
解析 由b2＋c2－bc＝a2，得b2＋c2－a2＝bc，
则cos A＝＝＝，
因为0
得sin Bsin C＝sin2A＝×＝，
即4sin(π－C－A)sin C＝，
即4sin(C＋A)sin C＝4sinsin C＝，
整理得cos 2C＝sin 2C，则tan 2C＝，又0<2C<，
即2C＝或，即C＝或.
答案 A
12.(2020·东营模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝sin Acos C，且a＝2，则△ABC面积的最大值为________.
解析 因为cos A＝sin Acos C，
所以bcos A－sin Ccos A＝sin Acos C，
所以bcos A＝sin(A＋C)，所以bcos A＝sin B，
所以＝，
又＝，a＝2，
所以＝，得tan A＝，
又A∈(0，π)，则A＝，
由余弦定理得(2)2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
即bc≤12，当且仅当b＝c＝2时取等号，
从而△ABC面积的最大值为×12×＝3.
答案 3
13.(多填题)(2019·浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上.若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.
解析 如图，易知sin ∠C＝，
cos ∠C＝.
在△BDC中，由正弦定理可得
＝，
∴BD＝＝＝.
由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，
可得cos ∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin ∠CBD
＝sin[π－(∠C＋∠BDC)]
＝sin(∠C＋∠BDC)
＝sin ∠C·cos ∠BDC＋cos ∠C·sin ∠BDC
＝×＋×＝.
答案
14.(2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值.
解 (1)在△ABC中，由正弦定理＝，
得bsin A＝asin B，
又由bsin A＝acos，
得asin B＝acos，
即sin B＝cos，
可得tan B＝.
又因为B∈(0，π)，可得B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝.
因为a
cos 2A＝2cos2A－1＝.
所以，sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝.
C级 创新猜想
15.(新背景题)(2020·北京模拟)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝.若a2sin C＝4sin A，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为________.
解析 根据正弦定理及a2sin C＝4sin A，可得ac＝4，
由(a＋c)2＝12＋b2，可得a2＋c2－b2＝4，
所以S△ABC＝
＝＝.
答案
16.(多填题)(2020·济南模拟)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，(3b－a)cos C＝ccos A，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为3，则ab＝________，a＋b＝________.
解析 ∵(3b－a)cos C＝ccos A，∴利用正弦定理可得3sin Bcos C＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B.又∵sin B≠0，∴cos C＝，又C为锐角，∴sin C＝.由△ABC的面积为3，可得absin C＝3，∴ab＝9.由c是a，b的等比中项可得c2＝ab，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C，∴(a＋b)2＝ab＝33，∴a＋b＝.
答案 9
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