2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：3.6 正弦定理和余弦定理
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第六节 正弦定理和余弦定理
知识体系
必备知识
1.正弦定理和余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆的半径,则
定理 | 正弦定理 | 余弦定理 |
内容 | ===2R | a2=b2+c2-2bccos__A; b2=c2+a2-2cacos__B; c2=a2+b2-2abcos__C |
变形 | (1)a=2Rsin__A; b=2Rsin__B;c=2Rsin__C (2)sin A=; sin B=;sin C= (3)a∶b∶c=sin__A∶sin__B∶sin__C | cos A=; cos B=; cos C= |
2.三角形常用面积公式
(1)S=a·ha(ha表示边a上的高).
(2)S=absin__C=acsin__B=bcsin__A.
(3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径).
1.易错点:
(1)正弦定理解三角形忽视分类讨论
已知两边及一边的对角,利用正弦定理求其他边或角.可能有一解、两解、无解,所以要进行分类讨论.
在△ABC中,已知a,b和A,解的个数见下表
| A为钝角 | A为直角 | A为锐角 | |
a>b | 一解 | 一解 | 一解 | |
a=b | 无解 | 无解 | 一解 | |
a<b | 无解 | 无解 | a>bsin A | 两解 |
a=bsin A | 一解 | |||
a<bsin A | 无解 | |||
(2)判断三角形形状的易误点
在判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,以免漏解.
2.注意点:三角形中角与边转化的注意点
若要把“边”化为“角”,常利用a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,若要把“角”化为“边”,常利用sin A=,sin B=,sin C=,cos C=等;然后利用三角形的内角和定理、大边对大角等知识求出三角形的基本量.
基础小题
1.下列命题正确的有 ( )
(1)在△ABC中,若A>B,则必有sin A>sin B.
(2)在△ABC中,“a2+b2<c2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件.
(3)在△ABC中,若A=60°,a=4,b=4,则B=45°或135°.
(4)在△ABC中,=.
A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4个
【解析】选C.(1)正确.A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.
(2)正确.△ABC为钝角三角形,C不一定是钝角.
(3)错误.由b<a知,B<A,所以B不能等于135°.
(4)正确.利用a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,可知结论正确.
2.(教材改编)在△ABC中,若sin2A+sin2B>sin2C,则△ABC的形状是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
【解析】选D.由正弦定理得=sin A,=sin B,=sin C,代入得到a2+b2>c2,由余弦定理得cos C=>0,所以C为锐角,且无法判断A,B的大小.
3.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,若cos B=,a=10,△ABC的面积为42,则c=________.
【解析】依题意可得sin B=,
又S△ABC=acsin B=42,所以c=14.
答案:14
4.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-,则b=______.
【解析】因为b+c=7,所以c=7-b.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,
即b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×,
解得b=4.
答案:4
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,c=,C=,则A=________.
【解析】由正弦定理sin A=·sin C=·sin 60°=,
因为a<c,所以A<60°,所以A=30°.
答案:30°
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