2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第四章4.3简单的三角恒等变换第1课时

§4.3　简单的三角恒等变换
最新考纲
考情考向分析
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，进而推导出二倍角公式.
4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
考查三角函数化简与求值，或与三角函数图象、性质相结合，考查应用意识.各种题型均有，中低档难度.



1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β)).
(2)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β)).
(3)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β)).
(4)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β)).
(5)tan(α－β)＝(T(α－β)).
(6)tan(α＋β)＝(T(α＋β)).
2.二倍角公式
(1)基本公式：
①sin 2α＝2sin αcos α.
②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
③tan 2α＝.
(2)公式变形：
由cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得
降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；
升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
概念方法微思考
1.诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？
提示　诱导公式可以看成和差公式中β＝k·(k∈Z)时的特殊情形.
2.怎样研究形如f (x)＝asin x＋bcos x的函数的性质？
提示　先根据辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)，将f (x)化成f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再结合图象研究函数的性质.
3.思考求的正弦、余弦、正切公式.
(1)sin ＝±.
(2)cos ＝±.
(3)tan ＝±＝＝.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　√　)
(2)设α∈(π，2π)，则＝sin .(　×　)
(3)设<θ<3π，且|cos θ|＝，那么sin 的值为.(　×　)
(4)在非直角三角形中有tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan Btan C.(　√　)

题组二　教材改编
2.若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　)
A.－ B. C.－ D.
答案　C
解析　∵α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，
∴sin＝－×＋×＝－.
3.sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .
答案　
解析　sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°
＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°
＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.
4.tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝ .
答案　
解析　∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝－tan 10°tan 50°，
∴原式＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.
5.(tan 10°－)sin 40°的值为 .
答案　－1
解析　(tan 10°－)·sin 40°
＝·sin 40°
＝·sin 40°
＝·sin 40°
＝－
＝－＝－1.
题组三　易错自纠
6.(2019·衡水中学调研)已知α∈，sin α＝－，则tan等于(　　)
A.－7 B.－
C. D.7
答案　B
解析　∵α∈，sin α＝－，
∴cos α＝，∴tan α＝－.
∴tan＝＝＝－.
7.化简：＝ .
答案　4sin α
解析　＝
＝＝4sin α.
8.已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝ .
答案　－
解析　方法一　sin＝，
得sin θ－cos θ＝，
平方得2sin θcos θ＝，
又θ∈，可求得sin θ＋cos θ＝，
∴sin θ＝，cos θ＝，
∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.
方法二　∵θ∈且sin＝，
∴cos＝，
∴tan＝＝，∴tan θ＝.
故tan 2θ＝＝－.

第1课时　和角、差角和倍角公式
和差倍角公式的简单应用
1.若cos＝，则sin 2α等于(　　)
A. B. C.－ D.－
答案　D
解析　因为sin 2α＝cos＝2cos2－1，且cos＝，
所以sin 2α＝2×－1＝－，
故选D.
2.已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A.－ B. C. D.－
答案　A
解析　∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－，
又tan(π－β)＝，∴tan β＝－，
∴tan(α－β)＝
＝＝－.
3.计算的值为 .
答案　
解析　＝
＝＝＝.
4.(2019·全国Ⅰ)函数f (x)＝sin－3cos x的最小值为 .
答案　－4
解析　∵f (x)＝sin－3cos x
＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，
令t＝cos x，则t∈[－1,1]，∴f (t)＝－2t2－3t＋1.
又函数f (t)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，
∴当t＝1时，f (t)有最小值－4.
综上，f (x)的最小值为－4.
思维升华　(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
公式的灵活应用
命题点1　角的变换
例1　(1)已知sin＝，且<α<，则cos α的值为 .
答案　
解析　∵sin＝，且<α<，
∴<α＋<π.
∴cos＝－＝－.
∴cos α＝cos
＝coscos ＋sinsin 
＝－×＋×＝.
(2)(2019·烟台模拟)若cos(75°－α)＝，则cos(30°＋2α)＝ .
答案　
解析　∵cos(75°－α)＝sin(15°＋α)＝，
∴cos(30°＋2α)＝1－2sin2(15°＋α)＝1－2×＝.
命题点2　三角函数式的变换
例2　(1)(2019·长沙雅礼中学模拟)已知sin 2α＝，则cos2＝ .
答案　
解析　方法一　cos2＝＝(1－sin 2α)＝.
方法二　cos＝cos α－sin α，
所以cos2＝(cos α－sin α)2
＝(1－2sin αcos α)＝(1－sin 2α)＝.
(2)求值：－sin 10°＝ .
答案　
解析　原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝
＝＝.
命题点3　公式的综合应用
例3　(1)(1＋tan 17°)·(1＋tan 28°)的值为 .
答案　2
解析　原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°
＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°
＝1＋1＝2.
(2)若sin x＋cos x＝，则tan＝ .
答案　±
解析　由sin x＋cos x＝，得2sin＝，
即sin＝，所以cos＝±，
所以tan＝±，
即tan＝tan＝±.
(3)若<α<2π，则可化简为 .
答案　－cos 
解析　＝，
因为π<α<2π，所以|cos α|＝cos α.
所以原式＝＝.
又因为π<<π，所以原式＝－cos .
思维升华　(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等.
跟踪训练　(1)已知α∈，β∈，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β＝ .
答案　
解析　由已知可得sin α＝，sin(α＋β)＝，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝.
(2)计算：
＝ .(用数字作答)
答案　
解析　＝
＝＝＝.
(3)(2019·河北保定一中期末)已知sin 2α＝，0<α<，则cos的值为 .
答案　
解析　∵sin 2α＝，0<α<，
∴sin αcos α＝，sin α>0，cos α>0.
又∵sin2α＋cos2α＝1，
∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
∴sin α＋cos α＝.
∴cos＝＝cos α＋sin α＝.
(4)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝ .
答案　
解析　由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，
可得＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，
所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.


1.已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α等于(　　)
A.－ B.
C.－ D.
答案　C
解析　因为α是第二象限角，且tan α＝－，
所以sin α＝，cos α＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
2.(2019·衡水中学调研)已知sin(θ＋20°)＝，则sin(2θ－50°)的值为(　　)
A.－ B.
C. D.
答案　A
解析　sin(2θ－50°)＝sin[(2θ＋40°)－90°]＝－cos(2θ＋40°)＝2sin2(θ＋20°)－1＝－.
3.的值为(　　)
A. B.
C.－ D.－
答案　B
解析　原式＝＝
＝tan(45°＋15°)＝.
4.已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值为(　　)
A.－ B. C.－ D.
答案　D
解析　因为α∈，所以2α∈(0，π)，
因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－，
所以sin 2α＝＝，
而α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，
所以sin(α＋β)＝＝，
所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝×＋×＝.
5.化简cos250°－sin220°－sin 30°sin 50°等于(　　)
A.cos 10° B.－cos 10°
C.sin 10° D.－sin 10°
答案　D
解析　原式＝－－cos 40°
＝cos 100°＝－sin 10°.
6.设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°sin 127°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.a>c>b
答案　D
解析　a＝sin 40°cos 127°＋cos 40°sin 127°
＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°，
b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°
＝sin(56°－45°)＝sin 11°，
c＝＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°，
∵sin 13°>sin 12°>sin 11°，∴a>c>b.
7.＝ .
答案　
解析　＝＝＝.
8.设α为锐角，若cos＝，则sin的值为 .
答案　
解析　∵α为锐角且cos＝>0，
∴α＋∈，∴sin＝.
∴sin＝sin
＝sin 2cos －cos 2sin
＝sincos－
＝××－
＝－＝.
9.＝ .
答案　－4
解析　原式＝
＝
＝
＝＝－4.
10.已知sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，则sin(α－β)＝ .
答案　－
解析　∵sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，
∴(sin α＋cos β)2＝，(sin β－cos α)2＝，
即sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＝，①
sin2β－2sin βcos α＋cos2α＝.②
①＋②得2＋2sin(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝－.
11.若sin θ＝且<θ<3π，求cos ，tan 的值.
解　∵sin θ＝，<θ<3π，
∴cos θ＝－＝－.
∵cos θ＝2cos2－1，
∴cos2＝，又∵<<，
∴cos ＝－＝－＝－，
tan ＝＝＝＝＝2.
12.若sin＝，cos＝，且0<α<<β<π，求cos(α＋β)的值.
解　因为0<α<<β<π.
所以π<π＋α<π，－<－β<0.
又sin＝，
cos＝，
所以cos＝－，sin＝－，
所以cos(α＋β)＝sin
＝sin
＝sincos－cossin
＝－.



13.已知cos＋sin α＝，则sin的值是(　　)
A.－ B.
C. D.－
答案　D
解析　由cos＋sin α＝，可得cos α＋sin α＋sin α＝，
即sin α＋cos α＝，
所以sin＝，sin＝，
所以sin＝－sin＝－.
14.已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝ .
答案　
解析　依题意可将已知条件变形为
sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－.
又β是第三象限角，所以cos β＝－.
所以sin＝－sin
＝－sin βcos －cos βsin
＝×＋×＝.

15.已知coscos＝，则sin4θ＋cos4θ的值为 .
答案　
解析　因为coscos
＝
＝(cos2θ－sin2θ)＝cos 2θ＝.
所以cos 2θ＝.
故sin4θ＋cos4θ＝2＋2
＝＋＝.
16.(2018·江苏)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值.
解　(1)因为tan α＝，tan α＝，
所以sin α＝cos α.
又因为sin2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，
因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).
又因为cos(α＋β)＝－，所以α＋β∈，
所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝，
所以tan 2α＝＝－.
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]
＝＝－.