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2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第四章第5节 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用
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第5节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
考试要求 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
知 识 梳 理
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点
x
－
－＋
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
[常用结论与微点提醒]
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)将函数y＝3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.( )
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( )
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )
解析 (1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x.
(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(新教材必修第一册P240T1改编)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin 2x图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
解析 因为y＝sin＝sin 2，所以要得到其图象，需把y＝sin 2x图象上所有的点向左平移个单位长度.
答案 C
3.(老教材必修4P66T4改编)如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.则这段曲线的函数解析式为________________.
解析 观察图象可知从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.
∵×＝14－8，∴ω＝，
∴y＝10sin＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.
∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8，14].
答案 y＝10sin＋40，x∈[8，14]
4.(2019·衡水中学联考)将曲线C1：y＝2cos上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2，则C2的方程为( )
A.y＝2sin 4x B.y＝2sin
C.y＝2sin x D.y＝2sin
解析 将曲线C1：y＝2cos上的点向右平移个单位长度，可得y＝2sin 2x的图象，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得曲线C2：y＝2sin 4x，故选A.
答案 A
5.(2020·绵阳诊断改编)y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.
解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为.
答案
6.(2020·太原一模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图，则函数g(x)＝cos(4φx＋ω)的解析式为________.
解析 由题图可得A＝2，＝6－(－2)＝8，
∴T＝＝16，∴ω＝，则f(x)＝2sin.
∵函数f(x)的图象过点(6，0)，且在点(6，0)附近递增，
∴＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝－＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<π，则φ＝－，故g(x)＝cos.
答案 g(x)＝cos
考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
【例1】 某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值.
解 (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
得g(x)＝5sin.
因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)(k∈Z).
令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ(k∈Z).
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，所以令＋－θ＝(k∈Z)，解得θ＝－(k∈Z).
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
规律方法 作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
(2)(2020·石家庄调研)若把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y＝cos ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是( )
A.2 B. C. D.
解析 (1)易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2，因此D项正确.
(2)y＝sin和函数y＝cos ωx的图象重合，可得π－＝＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z.
∴2是ω的一个可能值.
答案 (1)D (2)A
考点二 由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例2】 (1)(一题多解)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，已知A，B，则f(x)图象的对称中心为( )
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
(2)(2020·河南六市联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则f(2 019)的值为________.
解析 (1)法一 T＝2＝π＝，∴ω＝2，
因此f(x)＝sin(2x＋φ).
由五点作图法知A是“第二点”，得2×＋φ＝，
所以φ＝－.
∴f(x)＝sin.
令2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z).
∴f(x)图象的对称中心为(k∈Z).
法二 T＝2＝π，由题图知，A，B的中点为f(x)图象的一个对称中心，从而f(x)图象对称中心的横坐标为＋＝＋＝＋(k，m∈Z).
所以f(x)图象的对称中心为(k∈Z).
(2)由题意可知＝－1＝，得T＝6，
又知T＝，ω>0，∴ω＝.∴f(x)＝Asin.
又∵f(1)＝A，∴Asin＝A，即sin＝1.
又0≤φ<2π，∴φ＝.∴f(x)＝Asin.
又知f(0)＝1，
∴Asin ＝1，得A＝2，∴f(x)＝2sin.
∴f(2 019)＝2sin＝2sin
＝2sin＝2sin
＝－2sin ＝－1.
答案 (1)C (2)－1
规律方法 y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
【训练2】 (1)(2020·佛山模拟)某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(|φ|<π)，则这段曲线的函数解析式可以为( )
A.y＝10sin＋20，x∈[6，14]
B.y＝10sin＋20，x∈[6，14]
C.y＝10sin＋20，x∈[6，14]
D.y＝10sin＋20，x∈[6，14]
(2)(2019·衡水中学一模)已知函数f(x)＝－2cos ωx(ω>0)的图象向左平移φ个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )
A. B. C. D.
解析 (1)令ω>0.由函数图象可知，函数的最大值M为30，最小值m为10，周期T＝2×(14－6)＝16，
∴A＝＝＝10，b＝＝＝20.
又知T＝，ω>0，
∴ω＝＝，∴y＝10sin＋20.
又知该函数图象经过(6，10)，
∴10＝10sin＋20，即sin＝－1，
∴φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
又|φ|<π，∴φ＝π.
故函数的解析式为y＝10sin＋20，x∈[6，14].
(2)由题图知，T＝2＝π，
∴ω＝＝2，∴f(x)＝－2cos 2x，
∴f(x＋φ)＝－2cos(2x＋2φ)，
则由图象知，f＝－2cos＝2.
∴＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，则φ＝＋kπ(k∈Z).
又0<φ<，所以φ＝.
答案 (1)A (2)C
考点三 三角函数图象、性质的综合应用多维探究
角度1 图象与性质的综合问题
【例3－1】 (2020·郑州一模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋θ)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到偶函数g(x)的图象，则函数f(x)的一个单调递减区间为( )
A. B.
C. D.
解析 因为函数f(x)＝sin(ωx＋θ)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，所以＝，即T＝π，即＝π，ω＝2，得f(x)＝sin(2x＋θ)，将f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到g(x)＝sin的图象，因为g(x)为偶函数，所以＋θ＝kπ＋(k∈Z)，解得θ＝kπ＋(k∈Z).又因为－≤θ≤，所以θ＝，
所以f(x)＝sin.
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z).
当k＝0时，得到一个单调递减区间为.
又⊆，故选B.
答案 B
角度2 三角函数的零点(方程的根)问题
【例3－2】 已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________.
解析 方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈.设2x＋＝t，则t∈，所以题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根.所以y1＝和y2＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：
由图象观察知，的取值范围是，故m的取值范围是(－2，－1).
答案 (－2，－1)
角度3 三角函数模型的应用
【例3－3】 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到地面的距离是________米.
解析 以圆心O1为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，12秒转动一周，设∠OO1M＝θ，运动t(秒)后与地面的距离为f(t).
又周期T＝12，则ω＝＝，
所以θ＝t，
则f(t)＝3－2cos t(t≥0)，
当t＝40 s时，f(t)＝3－2cos＝4.
答案 4
规律方法 1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
3.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
【训练3】 (1)(角度1)(2019·天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝( )
A.－2 B.－ C. D.2
(2)(角度2)若函数f(x)＝sin(ω>0)满足f(0)＝f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为________.
(3)(角度3)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.
解析 (1)因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)＝Asin φ＝0，即sin φ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.
由题意得g(x)＝Asin，且g(x)最小正周期为2π，
所以ω＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asin x，
所以g＝Asin ＝A＝，所以A＝2.
所以f(x)＝2sin 2x，所以f＝.故选C.
(2)因为f(0)＝f，所以x＝是f(x)图象的一条对称轴，所以f＝±1，所以ω＋＝＋kπ，k∈Z，所以ω＝6k＋2，k∈Z，所以T＝(k∈Z).又f(x)在上有且只有一个零点，所以≤≤－，所以≤T≤，所以≤≤(k∈Z)，所以－≤k≤，又因为k∈Z，所以k＝0，所以T＝π.
(3)因为当x＝6时，y＝a＋A＝28；
当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，
所以y＝f(x)＝23＋5cos，
所以当x＝10时，f(10)＝23＋5cos
＝23－5×＝20.5.
答案 (1)C (2)π (3)20.5
逻辑推理与数学运算——三角函数中有关ω的求解
数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式.运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成.
类型1 三角函数的周期T与ω的关系
【例1】 为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( )
A.98π B.π C.π D.100π
解析 由题意，至少出现50次最大值即至少需要49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π.
答案 B
思维升华 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而建立不等关系.
类型2 三角函数的单调性与ω的关系
【例2】 若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋，因为f(x)在上单调递减，
所以得6k＋≤ω≤4k＋3.
又ω>0，所以k≥0，
又6k＋<4k＋3，得0≤k<，所以k＝0.
故≤ω≤3.
答案 D
思维升华 根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，根据函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围.
类型3 三角函数的对称性、最值与ω的关系
【例3】 (1)(2020·枣庄模拟)已知f(x)＝sin ωx－cos ωx，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)
(2)已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.
解析 (1)f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，
令ωx－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z).
当k＝0时，≤π，即≤ω，
当k＝1时，＋≥2π，即ω≤.
综上，≤ω≤.
(2)显然ω≠0，分两种情况：
若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω.
因函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥.
若ω<0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，
因函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以ω≤－，解得ω≤－2.
综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥.
答案 (1) (2)
思维升华 这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何.
A级 基础巩固
一、选择题
1.(2019·蚌埠质检)将函数f(x)＝sin x＋cos x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将函数图象向左平移个单位后，得到的函数g(x)的解析式为( )
A.g(x)＝sin B.g(x)＝sin
C.g(x)＝sin D.g(x)＝sin
解析 f(x)＝sin x＋cos x＝sin的图象y＝sin的图象g(x)＝sin＝sin.故选B.
答案 B
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A.y＝2sin
B.y＝2sin
C.y＝2sin
D.y＝2sin
解析 由题图可知，A＝2，T＝2＝π，
所以ω＝2，由五点作图法知2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin.
答案 A
3.(2020·吉安检测)在平面直角坐标系xOy中，将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的图象经过原点，则φ的最小值为( )
A. B. C. D.
解析 将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的图象对应的解析式为y＝sin，因为其图象经过原点，
所以sin＝0，所以3φ＋＝kπ，k∈Z，解得φ＝－，k∈Z，又φ>0，所以φ的最小值为－＝.
答案 B
4.(2019·成都检测)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图，则f(x)图象的一个对称中心是( )
A. B.
C. D.
解析 由题图得为f(x)图象的一个对称中心，＝－，∴T＝π，从而f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝1时，为，选A.
答案 A
5.(2020·张家界模拟)将函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的图象向左平移t(t>0)个单位后，得到函数g(x)的图象，若g(x)＝g，则实数t的最小值为( )
A. B. C. D.
解析 由题意得，f(x)＝2sin，
则g(x)＝2sin，
从而2sin＝2sin＝－2sin(2x－2t)＝2sin(2x－2t＋π)，又t>0，
所以2t－＝－2t＋π＋2kπ，即t＝＋(k∈Z)，实数tmin＝π.
答案 B
二、填空题
6.将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________.
解析 y＝sin xy＝siny＝sin.
答案 y＝sin
7.(2020·沈阳质检)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f＝________.
解析 由图象可知A＝2，T＝－＝，
∴T＝π，∴ω＝2.
∵当x＝时，函数f(x)取得最大值，
∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，
又0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin，
则f＝2sin＝2cos ＝.
答案
8.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元.则7月份的出厂价格为________元.
解析 作出函数简图如图：
三角函数模型为：
y＝Asin(ωx＋φ)＋B，
由题意知，A＝2 000，
B＝7 000，
T＝2×(9－3)＝12，
∴ω＝＝.
将(3，9 000)看成函数图象的“第二点”，
则有×3＋φ＝，∴φ＝0，满足|φ|<，
故f(x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*).
∴f(7)＝2 000×sin ＋7 000＝6 000.
故7月份的出厂价格为6 000元.
答案 6 000
三、解答题
9.(2019·黄冈调研)已知函数f(x)＝－cos＋1－2sin2x.
(1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f(x)在[0，π]上的图象；
(2)先将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)图象的对称中心.
解 (1)f(x)＝－cos＋1－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
列表如下：
x
0
π
f(x)
1
2
0
－2
0
1
描点、连线函数f(x)在区间[0，π]上的图象如图.
(2)将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位后得到y＝2sin＝2sin的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝2sin的图象，由－＝kπ(k∈Z)得x＝2kπ＋(k∈Z)，故g(x)图象的对称中心为(k∈Z).
10.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻最高点的距离为π.
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.
解 (1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π，
所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又f(x)的图象关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
因为－≤φ＜，所以k＝0，
所以φ＝－＝－，所以f(x)＝sin，
则f＝sin＝sin ＝.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，
所以g(x)＝f＝sin＝sin.
当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减.
因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).
B级 能力提升
11.(2020·合肥联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，|φ|<)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 2x的图象，只需将f(x)的图象( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
解析 不妨设ω>0，由图象可知，A＝1，
又知＝π－＝，得T＝π，
又∵T＝，ω>0，∴ω＝＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ).
又知函数图象经过点，
∴f＝－1，即sin＝－1，
∴π＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，得φ＝2kπ＋(k∈Z).
又∵|φ|<，∴φ＝，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.故只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可得到g(x)＝sin 2x的图象，因此选A.
答案 A
12.(2020·河南百校联考)将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋1的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，当a∈(0，1)时，方程|g(x)|＝a在区间[0，2π]上所有根的和为( )
A.6π B.8π C.10π D.12π
解析 f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1，将其图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝2sin 2x＋1的图象.画出函数y＝|g(x)|的图象与直线y＝a(0
答案 C
13.(一题多解)(2019·南昌测试)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，若f＝f＝0，则f(π)＝________.
解析 法一 因为f＝f＝0，所以
得(k1，k2∈Z)，两式相减得，ω＝k2－k1(k1，k2∈Z).因为0<ω<3，且k2－k1是整数，所以ω＝2.将点看作五点中的“第一点”，则－＋φ＝0，所以φ＝，满足|φ|<.
所以f(x)＝sin，所以f(π)＝.
法二 设f(x)的最小正周期为T，由f＝f＝0可得x＝－和x＝是函数f(x)的两个零点，所以k1·＝π－＝(k1∈N)，即T＝(k1∈N)，又知T＝(ω>0)，所以＝(k1∈N)，所以ω＝2k1(k1∈N)，又0<ω<3，所以当k1＝1时，ω＝2.所以f(x)＝sin(2x＋φ).由f＝0，得－＋φ＝k2π(k2∈Z)，所以φ＝k2π＋(k2∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，则f(x)＝sin，所以f(π)＝.
答案
14.已知函数f(x)＝cos＋2sinsin.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)的图象.若函数y＝g(x)在区间上的图象与直线y＝a有三个交点，求实数a的取值范围.
解 (1)f(x)＝cos＋2sinsin
＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x)
＝cos 2x＋sin 2x＋sin2 x－cos2x
＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x
＝sin.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，得y＝sin＝sin＝cos 2x的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g(x)＝cos x的图象.
作函数g(x)＝cos x在区间上的图象，及直线y＝a.根据图象知，实数a的取值范围是.
C级 创新猜想
15.(新定义题)(2020·江西红色七校联考)已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称，若h(x)＝－asin x是g(x)关于f(x)＝coscos的“对称函数”，且g(x)在上是减函数，则实数a的取值范围是________.
解析 根据“对称函数”的概念可知h(x)＋g(x)＝2f(x)，即g(x)＝2f(x)－h(x)＝cos 2x＋asin x＝－2sin2x＋asin x＋1，令t＝sin x(因为x∈，所以t∈)，则y＝－2t2＋at＋1，其图象的对称轴为t＝，开口向下.由于g(x)在上递减，y＝sin x在上递增，根据复合函数的单调性可知≤，a≤2.
答案 (－∞，2]
第5节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
考试要求 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
知 识 梳 理
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点
x
－
－＋
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
[常用结论与微点提醒]
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)将函数y＝3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.( )
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( )
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )
解析 (1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x.
(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(新教材必修第一册P240T1改编)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin 2x图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
解析 因为y＝sin＝sin 2，所以要得到其图象，需把y＝sin 2x图象上所有的点向左平移个单位长度.
答案 C
3.(老教材必修4P66T4改编)如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.则这段曲线的函数解析式为________________.
解析 观察图象可知从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.
∵×＝14－8，∴ω＝，
∴y＝10sin＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.
∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8，14].
答案 y＝10sin＋40，x∈[8，14]
4.(2019·衡水中学联考)将曲线C1：y＝2cos上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2，则C2的方程为( )
A.y＝2sin 4x B.y＝2sin
C.y＝2sin x D.y＝2sin
解析 将曲线C1：y＝2cos上的点向右平移个单位长度，可得y＝2sin 2x的图象，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得曲线C2：y＝2sin 4x，故选A.
答案 A
5.(2020·绵阳诊断改编)y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.
解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为.
答案
6.(2020·太原一模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图，则函数g(x)＝cos(4φx＋ω)的解析式为________.
解析 由题图可得A＝2，＝6－(－2)＝8，
∴T＝＝16，∴ω＝，则f(x)＝2sin.
∵函数f(x)的图象过点(6，0)，且在点(6，0)附近递增，
∴＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝－＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<π，则φ＝－，故g(x)＝cos.
答案 g(x)＝cos
考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
【例1】 某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值.
解 (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
得g(x)＝5sin.
因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)(k∈Z).
令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ(k∈Z).
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，所以令＋－θ＝(k∈Z)，解得θ＝－(k∈Z).
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
规律方法 作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
(2)(2020·石家庄调研)若把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y＝cos ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是( )
A.2 B. C. D.
解析 (1)易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2，因此D项正确.
(2)y＝sin和函数y＝cos ωx的图象重合，可得π－＝＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z.
∴2是ω的一个可能值.
答案 (1)D (2)A
考点二 由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例2】 (1)(一题多解)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，已知A，B，则f(x)图象的对称中心为( )
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
(2)(2020·河南六市联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则f(2 019)的值为________.
解析 (1)法一 T＝2＝π＝，∴ω＝2，
因此f(x)＝sin(2x＋φ).
由五点作图法知A是“第二点”，得2×＋φ＝，
所以φ＝－.
∴f(x)＝sin.
令2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z).
∴f(x)图象的对称中心为(k∈Z).
法二 T＝2＝π，由题图知，A，B的中点为f(x)图象的一个对称中心，从而f(x)图象对称中心的横坐标为＋＝＋＝＋(k，m∈Z).
所以f(x)图象的对称中心为(k∈Z).
(2)由题意可知＝－1＝，得T＝6，
又知T＝，ω>0，∴ω＝.∴f(x)＝Asin.
又∵f(1)＝A，∴Asin＝A，即sin＝1.
又0≤φ<2π，∴φ＝.∴f(x)＝Asin.
又知f(0)＝1，
∴Asin ＝1，得A＝2，∴f(x)＝2sin.
∴f(2 019)＝2sin＝2sin
＝2sin＝2sin
＝－2sin ＝－1.
答案 (1)C (2)－1
规律方法 y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
【训练2】 (1)(2020·佛山模拟)某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(|φ|<π)，则这段曲线的函数解析式可以为( )
A.y＝10sin＋20，x∈[6，14]
B.y＝10sin＋20，x∈[6，14]
C.y＝10sin＋20，x∈[6，14]
D.y＝10sin＋20，x∈[6，14]
(2)(2019·衡水中学一模)已知函数f(x)＝－2cos ωx(ω>0)的图象向左平移φ个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )
A. B. C. D.
解析 (1)令ω>0.由函数图象可知，函数的最大值M为30，最小值m为10，周期T＝2×(14－6)＝16，
∴A＝＝＝10，b＝＝＝20.
又知T＝，ω>0，
∴ω＝＝，∴y＝10sin＋20.
又知该函数图象经过(6，10)，
∴10＝10sin＋20，即sin＝－1，
∴φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
又|φ|<π，∴φ＝π.
故函数的解析式为y＝10sin＋20，x∈[6，14].
(2)由题图知，T＝2＝π，
∴ω＝＝2，∴f(x)＝－2cos 2x，
∴f(x＋φ)＝－2cos(2x＋2φ)，
则由图象知，f＝－2cos＝2.
∴＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，则φ＝＋kπ(k∈Z).
又0<φ<，所以φ＝.
答案 (1)A (2)C
考点三 三角函数图象、性质的综合应用多维探究
角度1 图象与性质的综合问题
【例3－1】 (2020·郑州一模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋θ)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到偶函数g(x)的图象，则函数f(x)的一个单调递减区间为( )
A. B.
C. D.
解析 因为函数f(x)＝sin(ωx＋θ)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，所以＝，即T＝π，即＝π，ω＝2，得f(x)＝sin(2x＋θ)，将f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到g(x)＝sin的图象，因为g(x)为偶函数，所以＋θ＝kπ＋(k∈Z)，解得θ＝kπ＋(k∈Z).又因为－≤θ≤，所以θ＝，
所以f(x)＝sin.
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z).
当k＝0时，得到一个单调递减区间为.
又⊆，故选B.
答案 B
角度2 三角函数的零点(方程的根)问题
【例3－2】 已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________.
解析 方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈.设2x＋＝t，则t∈，所以题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根.所以y1＝和y2＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：
由图象观察知，的取值范围是，故m的取值范围是(－2，－1).
答案 (－2，－1)
角度3 三角函数模型的应用
【例3－3】 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到地面的距离是________米.
解析 以圆心O1为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，12秒转动一周，设∠OO1M＝θ，运动t(秒)后与地面的距离为f(t).
又周期T＝12，则ω＝＝，
所以θ＝t，
则f(t)＝3－2cos t(t≥0)，
当t＝40 s时，f(t)＝3－2cos＝4.
答案 4
规律方法 1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
3.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
【训练3】 (1)(角度1)(2019·天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝( )
A.－2 B.－ C. D.2
(2)(角度2)若函数f(x)＝sin(ω>0)满足f(0)＝f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为________.
(3)(角度3)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.
解析 (1)因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)＝Asin φ＝0，即sin φ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.
由题意得g(x)＝Asin，且g(x)最小正周期为2π，
所以ω＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asin x，
所以g＝Asin ＝A＝，所以A＝2.
所以f(x)＝2sin 2x，所以f＝.故选C.
(2)因为f(0)＝f，所以x＝是f(x)图象的一条对称轴，所以f＝±1，所以ω＋＝＋kπ，k∈Z，所以ω＝6k＋2，k∈Z，所以T＝(k∈Z).又f(x)在上有且只有一个零点，所以≤≤－，所以≤T≤，所以≤≤(k∈Z)，所以－≤k≤，又因为k∈Z，所以k＝0，所以T＝π.
(3)因为当x＝6时，y＝a＋A＝28；
当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，
所以y＝f(x)＝23＋5cos，
所以当x＝10时，f(10)＝23＋5cos
＝23－5×＝20.5.
答案 (1)C (2)π (3)20.5
逻辑推理与数学运算——三角函数中有关ω的求解
数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式.运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成.
类型1 三角函数的周期T与ω的关系
【例1】 为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( )
A.98π B.π C.π D.100π
解析 由题意，至少出现50次最大值即至少需要49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π.
答案 B
思维升华 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而建立不等关系.
类型2 三角函数的单调性与ω的关系
【例2】 若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋，因为f(x)在上单调递减，
所以得6k＋≤ω≤4k＋3.
又ω>0，所以k≥0，
又6k＋<4k＋3，得0≤k<，所以k＝0.
故≤ω≤3.
答案 D
思维升华 根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，根据函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围.
类型3 三角函数的对称性、最值与ω的关系
【例3】 (1)(2020·枣庄模拟)已知f(x)＝sin ωx－cos ωx，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)
(2)已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.
解析 (1)f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，
令ωx－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z).
当k＝0时，≤π，即≤ω，
当k＝1时，＋≥2π，即ω≤.
综上，≤ω≤.
(2)显然ω≠0，分两种情况：
若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω.
因函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥.
若ω<0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，
因函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以ω≤－，解得ω≤－2.
综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥.
答案 (1) (2)
思维升华 这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何.
A级 基础巩固
一、选择题
1.(2019·蚌埠质检)将函数f(x)＝sin x＋cos x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将函数图象向左平移个单位后，得到的函数g(x)的解析式为( )
A.g(x)＝sin B.g(x)＝sin
C.g(x)＝sin D.g(x)＝sin
解析 f(x)＝sin x＋cos x＝sin的图象y＝sin的图象g(x)＝sin＝sin.故选B.
答案 B
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A.y＝2sin
B.y＝2sin
C.y＝2sin
D.y＝2sin
解析 由题图可知，A＝2，T＝2＝π，
所以ω＝2，由五点作图法知2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin.
答案 A
3.(2020·吉安检测)在平面直角坐标系xOy中，将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的图象经过原点，则φ的最小值为( )
A. B. C. D.
解析 将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的图象对应的解析式为y＝sin，因为其图象经过原点，
所以sin＝0，所以3φ＋＝kπ，k∈Z，解得φ＝－，k∈Z，又φ>0，所以φ的最小值为－＝.
答案 B
4.(2019·成都检测)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图，则f(x)图象的一个对称中心是( )
A. B.
C. D.
解析 由题图得为f(x)图象的一个对称中心，＝－，∴T＝π，从而f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝1时，为，选A.
答案 A
5.(2020·张家界模拟)将函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的图象向左平移t(t>0)个单位后，得到函数g(x)的图象，若g(x)＝g，则实数t的最小值为( )
A. B. C. D.
解析 由题意得，f(x)＝2sin，
则g(x)＝2sin，
从而2sin＝2sin＝－2sin(2x－2t)＝2sin(2x－2t＋π)，又t>0，
所以2t－＝－2t＋π＋2kπ，即t＝＋(k∈Z)，实数tmin＝π.
答案 B
二、填空题
6.将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________.
解析 y＝sin xy＝siny＝sin.
答案 y＝sin
7.(2020·沈阳质检)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f＝________.
解析 由图象可知A＝2，T＝－＝，
∴T＝π，∴ω＝2.
∵当x＝时，函数f(x)取得最大值，
∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，
又0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin，
则f＝2sin＝2cos ＝.
答案
8.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元.则7月份的出厂价格为________元.
解析 作出函数简图如图：
三角函数模型为：
y＝Asin(ωx＋φ)＋B，
由题意知，A＝2 000，
B＝7 000，
T＝2×(9－3)＝12，
∴ω＝＝.
将(3，9 000)看成函数图象的“第二点”，
则有×3＋φ＝，∴φ＝0，满足|φ|<，
故f(x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*).
∴f(7)＝2 000×sin ＋7 000＝6 000.
故7月份的出厂价格为6 000元.
答案 6 000
三、解答题
9.(2019·黄冈调研)已知函数f(x)＝－cos＋1－2sin2x.
(1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f(x)在[0，π]上的图象；
(2)先将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)图象的对称中心.
解 (1)f(x)＝－cos＋1－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
列表如下：
x
0
π
f(x)
1
2
0
－2
0
1
描点、连线函数f(x)在区间[0，π]上的图象如图.
(2)将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位后得到y＝2sin＝2sin的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝2sin的图象，由－＝kπ(k∈Z)得x＝2kπ＋(k∈Z)，故g(x)图象的对称中心为(k∈Z).
10.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻最高点的距离为π.
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.
解 (1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π，
所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又f(x)的图象关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
因为－≤φ＜，所以k＝0，
所以φ＝－＝－，所以f(x)＝sin，
则f＝sin＝sin ＝.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，
所以g(x)＝f＝sin＝sin.
当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减.
因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).
B级 能力提升
11.(2020·合肥联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，|φ|<)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 2x的图象，只需将f(x)的图象( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
解析 不妨设ω>0，由图象可知，A＝1，
又知＝π－＝，得T＝π，
又∵T＝，ω>0，∴ω＝＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ).
又知函数图象经过点，
∴f＝－1，即sin＝－1，
∴π＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，得φ＝2kπ＋(k∈Z).
又∵|φ|<，∴φ＝，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.故只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可得到g(x)＝sin 2x的图象，因此选A.
答案 A
12.(2020·河南百校联考)将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋1的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，当a∈(0，1)时，方程|g(x)|＝a在区间[0，2π]上所有根的和为( )
A.6π B.8π C.10π D.12π
解析 f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1，将其图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝2sin 2x＋1的图象.画出函数y＝|g(x)|的图象与直线y＝a(0
答案 C
13.(一题多解)(2019·南昌测试)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，若f＝f＝0，则f(π)＝________.
解析 法一 因为f＝f＝0，所以
得(k1，k2∈Z)，两式相减得，ω＝k2－k1(k1，k2∈Z).因为0<ω<3，且k2－k1是整数，所以ω＝2.将点看作五点中的“第一点”，则－＋φ＝0，所以φ＝，满足|φ|<.
所以f(x)＝sin，所以f(π)＝.
法二 设f(x)的最小正周期为T，由f＝f＝0可得x＝－和x＝是函数f(x)的两个零点，所以k1·＝π－＝(k1∈N)，即T＝(k1∈N)，又知T＝(ω>0)，所以＝(k1∈N)，所以ω＝2k1(k1∈N)，又0<ω<3，所以当k1＝1时，ω＝2.所以f(x)＝sin(2x＋φ).由f＝0，得－＋φ＝k2π(k2∈Z)，所以φ＝k2π＋(k2∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，则f(x)＝sin，所以f(π)＝.
答案
14.已知函数f(x)＝cos＋2sinsin.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)的图象.若函数y＝g(x)在区间上的图象与直线y＝a有三个交点，求实数a的取值范围.
解 (1)f(x)＝cos＋2sinsin
＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x)
＝cos 2x＋sin 2x＋sin2 x－cos2x
＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x
＝sin.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，得y＝sin＝sin＝cos 2x的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g(x)＝cos x的图象.
作函数g(x)＝cos x在区间上的图象，及直线y＝a.根据图象知，实数a的取值范围是.
C级 创新猜想
15.(新定义题)(2020·江西红色七校联考)已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称，若h(x)＝－asin x是g(x)关于f(x)＝coscos的“对称函数”，且g(x)在上是减函数，则实数a的取值范围是________.
解析 根据“对称函数”的概念可知h(x)＋g(x)＝2f(x)，即g(x)＝2f(x)－h(x)＝cos 2x＋asin x＝－2sin2x＋asin x＋1，令t＝sin x(因为x∈，所以t∈)，则y＝－2t2＋at＋1，其图象的对称轴为t＝，开口向下.由于g(x)在上递减，y＝sin x在上递增，根据复合函数的单调性可知≤，a≤2.
答案 (－∞，2]
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