2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第四章4.3简单的三角恒等变换第2课时

第2课时　简单的三角恒等变换

三角函数式的化简

1.化简：＝________.

答案　cos 2x

解析　原式＝

＝

＝＝＝cos 2x.

2.当π<α<2π时，化简：＝________.

答案　cos α

解析　原式＝

＝

＝.

∵π<α<2π，∴<<π.∴cos <0.

∴原式＝＝cos α.

3.化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β＝________.

答案　

解析　方法一(从“角”入手，化复角为单角)

原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)

＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－

＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－

＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.

方法二(从“名”入手，化异名为同名)

原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos 2αcos 2β

＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2αcos 2β

＝cos2β－sin2αcos 2β－cos 2αcos 2β

＝cos2β－cos 2β

＝－cos 2β＝.

4.化简：－2cos(α＋β).

解　原式＝

＝

＝

＝

＝＝.

思维升华　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则

一看角，二看名，三看式子结构与特征.

(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点.

三角函数的求值

命题点1　给角求值

例1　(1)cos ·cos ·cos＝________.

答案　－

解析　cos ·cos ·cos

＝cos 20°·cos 40°·cos 100°

＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°

＝－

＝－

＝－

＝－

＝－＝－.

(2)＝________.

答案　

解析　＝

＝＝＝.

命题点2　给值求值

例2　(1)已知cos＝，θ∈，则sin＝________.

答案　

解析　由题意可得cos2＝＝，cos＝－sin 2θ＝－，

即sin 2θ＝.

因为cos＝>0，θ∈，

所以0<θ<，2θ∈，

根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝，

由两角差的正弦公式，可得

sin＝sin 2θcos －cos 2θsin

＝×－×＝.

(2)若cos＝，π<x<π，则＝________.

答案　－

解析　∵<x<，

∴<＋x<2π.

又cos＝，

∴sin＝－，

∴cos x＝cos

＝coscos ＋sinsin ＝－.

∴sin x＝－，tan x＝7.

∴＝

＝＝－.

命题点3　给值求角

例3　已知α，β为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________.

答案　　

解析　因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.

又因为α，β为锐角，sin β＝，

所以sin α＝，cos β＝，

因此sin 2α＝2sin αcos α＝，

所以sin(2α－β)＝×－×＝.

因为α为锐角，所以0<2α<π.

又cos 2α>0，所以0<2α<，

又β为锐角，所以－<2α－β<，

又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.

思维升华　(1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法.

(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再根据角的范围确定角.

跟踪训练　(1)cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于(　　)

A.  B.  C.  D.1＋

答案　C

解析　原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°

＝1＋sin 30°＝1＋＝.

(2)已知α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则＝________.

答案　

解析　∵α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，

则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，

又∵α∈，sin α＋cos α>0，

∴2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，

∴cos α＝，sin α＝，

∴＝

＝＝.

(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________.

答案　－

解析　∵tan α＝tan[(α－β)＋β]

＝＝＝>0，

∴0<α<.

又∵tan 2α＝＝＝>0，

∴0<2α<，

∴tan(2α－β)＝＝＝1.

∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，

∴2α－β＝－.

1.计算：等于(　　)

A.  B.  C.  D.－

答案　A

解析　＝

＝＝.

2.若sin＝，则cos 等于(　　)

A.－  B.－  C.  D.

答案　A

解析　cos＝cos

＝－cos＝－

＝－＝－.

3.已知sin＝cos，则cos 2α等于(　　)

A.1   B.－1

C.   D.0

答案　D

解析　因为sin＝cos，

所以cos α－sin α＝cos α－sin α，

可得sin α＝－cos α，

∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝0.

4.4cos 50°－tan 40°等于(　　)

A.  B.  C.  D.2－1

答案　C

解析　4cos 50°－tan 40°＝

＝

＝

＝

＝＝.故选C.

5.计算的值为(　　)

A.－2   B.2

C.－1   D.1

答案　D

解析　＝

＝＝

＝＝＝1.

6.设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)

A.3α－β＝   B.2α－β＝

C.3α＋β＝   D.2α＋β＝

答案　B

解析　因为tan α＝，所以＝，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，所以sin αcos β－cos αsin β＝cos α，即sin(α－β)＝sin，又α，β均为锐角，且y＝sin x在上单调递增，所以α－β＝－α，即2α－β＝，故选B.

7.计算：＝____________.

答案　2

解析　＝＝＝2.

8.若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ等于__________.

答案　

解析　因为θ∈，所以2θ∈，cos 2θ≤0，所以cos 2θ＝－＝－.

又因为cos 2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin2θ＝，sin θ＝.

9.化简：·＝_________.

答案　－4

解析　原式＝·＝·

＝－4·tan(45°＋15°)＝－4.

10.(2019·淄博模拟)已知tan＝3，则sin 2θ－2cos2θ＝________.

答案　－

解析　tan＝3，＝3，解得tan θ＝，

sin 2θ－2cos2θ＝＝＝－.

11.已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值.

解　由cos β＝，β∈，

得sin β＝，tan β＝2.

所以tan(α＋β)＝

＝＝1.

因为α∈，β∈，

所以<α＋β<，

所以α＋β＝.

12.已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.

(1)求sin 2β的值；

(2)求cos的值.

解　(1)方法一　因为cos＝cos cos β＋sin sin β＝cos β＋sin β＝，

所以cos β＋sin β＝，

所以1＋sin 2β＝，所以sin 2β＝－.

方法二　sin 2β＝cos＝2cos2－1＝－.

(2)因为0<α<<β<π，

所以<β－<π，<α＋β<.

所以sin>0，cos(α＋β)<0，

因为cos＝，sin(α＋β)＝，

所以sin＝，cos(α＋β)＝－.

所以cos＝cos

＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin

＝－×＋×＝.

13.(2019·福建省百校联考)若α∈(0，π)，且sin α＋2cos α＝2，则tan 等于(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　由已知得cos α＝1－sin α.

代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＋2＝1，

整理得sin2α－sin α＝0，解得sin α＝0或sin α＝.

因为α∈(0，π)，所以sin α＝，故cos α＝1－×＝.

所以tan ＝＝＝.

14.定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β＝________.

答案　

解析　由题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，

故cos(α－β)＝＝，

又cos α＝，∴sin α＝，

于是sin β＝sin[α－(α－β)]

＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)

＝×－×＝.

又0<β<，故β＝.

15.(2019·湖北省冲刺卷)已知α为锐角，β为第二象限角，且cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝，则sin(3α－β)等于(　　)

A.－   B.

C.－   D.

答案　B

解析　因为α为锐角，β为第二象限角，cos(α－β)>0，sin(α＋β)>0，所以α－β为第四象限角，α＋β为第二象限角，

所以sin(α－β)＝－，cos(α＋β)＝－，

所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝－×＋×＝1.

因为α为锐角，所以2α＝，

所以sin(3α－β)＝sin(2α＋α－β)＝cos(α－β)＝.

16.(2019·江苏泰州中学模拟)已知0<α<<β<π，且sin(α＋β)＝，tan ＝.

(1)求cos α的值；

(2)证明：sin β>.

(1)解　∵tan ＝，

∴tan α＝＝＝.

∴又α∈，解得cos α＝.

(2)证明　由已知得<α＋β<.

∵sin(α＋β)＝，∴cos(α＋β)＝－.

由(1)可得sin α＝，

∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝×－×＝>.