2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第二章第8节　函数与方程

第8节　函数与方程

考试要求　结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.

知 识 梳 理

1.函数的零点

(1)函数零点的概念

对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.

(2)函数零点与方程根的关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.

(3)零点存在性定理

如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.

2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

[常用结论与微点提醒]

1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.

2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.

3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).(　　)

(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　)

(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.(　　)

解析　(1)f(x)＝lg x的零点是1，故(1)错.

(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错.

答案　(1)×　(2)×　(3)√

2.(老教材必修1P92A2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　)

A.(1，2)   B.(2，3)   C.(3，4)   D.(4，5)

解析　由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2，3)内有零点.

答案　B

3.(新教材必修第一册P143例1改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)

A.0   B.1   C.2   D.3

解析　由f′(x)＝ex＋3>0，得f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，则f(－1)·f(0)<0.因此函数f(x)有且只有一个零点.

答案　B

4.(2020·石家庄模拟)f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间必有零点(　　)

A.(－1，0)    B.(0，1)

C.(1，2)    D.(2，3)

解析　f(－1)＝－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因为f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(1，2)内存在零点.

答案　C

5.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为(　　)

A.2   B.3   C.4   D.5

解析　2sin x－sin 2x＝0，得sin x＝0或cos x＝1.

又x∈[0，2π]，由sin x＝0，得x＝0，π，2π.

由cos x＝1，得x＝0，2π.

∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π，即f(x)在[0，2π]上有三个零点.

答案　B

6.(2020·济南质检)若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是________.

解析　m＝－x2＋2x在(0，4)上有解，

又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴y＝－x2＋2x在(0，4)上的值域为(－8，1]，∴－8<m≤1.

答案　(－8，1]

考点一　函数零点所在区间的判定

【例1】 (1)已知函数f(x)＝为奇函数，g(x)＝ln x－2f(x)，则函数g(x)的零点所在区间为(　　)

A.(0，1)   B.(1，2)   C.(2，3)   D.(3，4)

(2)设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________.

解析　(1)由函数f(x)＝为奇函数，可得a＝0，

则g(x)＝ln x－2f(x)＝ln x－.

又g(2)＝ln 2－1<0，g(3)＝ln 3－>0，

所以g(2)·g(3)<0.

故函数g(x)的零点所在区间为(2，3).

(2)设f(x)＝x3－，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝的图象如图所示.

因为f(1)＝1－＝－1<0，

f(2)＝8－＝7>0，

所以f(1)·f(2)<0，所以x0∈(1，2).

答案　(1)C　(2)(1，2)

规律方法　1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：

(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.

(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进行分析判断.

【训练1】 (2020·保定检测)函数f(x)＝x－4的零点所在的区间是(　　)

A.(0，1)   B.(1，2)   C.(2，3)   D.(3，4)

解析　函数f(x)＝x－4在R上的图象连续不间断.

又f(1)＝1－2<0，f(2)＝2－1>0，∴f(1)·f(2)<0.

故函数f(x)的零点所在的区间为(1，2).

答案　B

考点二　确定函数零点的个数

【例2】 (1)(2020·宜昌调研)已知函数f(x)＝

则函数f(x)的零点个数为(　　)

A.0   B.1   C.2   D.3

(2)(2020·惠州质检)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　)

A.0   B.1   C.2   D.3

解析　(1)当x>1时，令f(x)＝ln(x－1)＝0，得x＝2.

当x≤1时，令f(x)＝2x－1－1＝0，得x＝1.

∴函数f(x)的零点为x＝1与x＝2，有2个零点.

(2)由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象，如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.

答案　(1)C　(2)C

规律方法　函数零点个数的判断方法：

(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；

(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；

(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.

【训练2】 (1)(一题多解)函数f(x)＝的零点个数为(　　)

A.3   B.2   C.1   D.0

(2)函数f(x)＝－cos x在[0，＋∞)内(　　)

A.没有零点    B.有且仅有一个零点

C.有且仅有两个零点   D.有无穷多个零点

解析　(1)法一　　由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e.

因此函数f(x)共有2个零点.

法二　函数f(x)的图象如所示，由图象知函数f(x)共有2个零点.

 (2)当x∈(0，1]时，因为f′(x)＝＋sin x，>0，sin x>0，所以f′(x)>0，故f(x)在[0，1]上单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝1－cos 1>0，所以f(x)在[0，1]内有唯一零点.当x>1时，f(x)＝－cos x>0，故函数f(x)在[0，＋∞)上有且仅有一个零点.

答案　(1)B　(2)B

考点三　函数零点的应用　多维探究

角度1　根据函数零点个数求参数

【例3－1】 (2020·九江联考)已知f(x)＝

若关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同实根，则实数a的取值范围是(　　)

A.∪[1，2)   B.∪[1，2)

C.(1，2)    D.[1，2)

解析　依题意直线y＝a与y＝f(x)的图象有两个交点.

作出y＝a，y＝f(x)的图象，如图所示.

又当x≤1时，f(x)＝∈(0，1]；

当x>1时，f(x)＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2，

∴当x＝2时，f(x)有最大值f(2)＝2.

结合图象，当a∈∪[1，2)时，两图象有2个交点.

此时，方程a＝f(x)有两个不同实根.

答案　B

角度2　根据零点的范围求参数

【例3－2】 (1)方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________.

(2)(2020·合肥模拟)已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2 020＋(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是(　　)

A.a>c>d>b    B.a>b>c>d

C.c>d>a>b    D.c>a>b>d

解析　(1)令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数.当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5<k<10.

又当f(1)＝0时，k＝5.

综上，实数k的取值范围是[5，10).

(2)根据题意，设g(x)＝(x－a)(x－b)，

则f(x)＝g(x)＋2 020，

令g(x)＝0，则x＝a或x＝b，

则函数g(x)的图象与x轴的交点为(a，0)和(b，0)，如图.

令f(x)＝2 020＋(x－a)(x－b)＝0，即g(x)＝－2 020，

因为f(x)＝2 020＋(x－a)(x－b)的零点为c，d，

所以g(x)的图象与直线y＝－2 020的交点为(c，－2 020)和(d，－2 020)，则有a>c>d>b.

答案　(1)[5，10)　(2)A

规律方法　1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值.

2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.

【训练3】 (1)(角度1)(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)

A.－   B.   C.   D.1

(2)(角度2)若函数y＝x＋log2(a－2x)＋2在R上有零点，则实数a的最小值为________.

解析　(1)f(x)＝(x－1)2－1＋a(ex－1＋e1－x)，则f(2－x)＝(2－x－1)2－1＋a[e2－x－1＋e1－(2－x)]＝(1－x)2－1＋a(ex－1＋e1－x)＝f(x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称.

若f(x)有唯一的零点，则只有f(1)＝0，∴a＝.

或：作出y＝a(ex－1＋e－x＋1)与y＝－x2＋2x的图象.

结合函数的最值求解(读者自行完成).

(2)令x＋log2(a－2x)＋2＝0，则a－2x＝2－(x＋2).

依题意，关于x的方程a＝2x＋2－(x＋2)有解.

又2x＋2－(x＋2)≥2＝1.

当且仅当x＝－1时，等号成立.

∴a≥1，故a的最小值为1.

答案　(1)C　(2)1

直观想象——解嵌套函数的零点问题

函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.

类型1　嵌套函数零点个数的判断

【例1】 已知f(x)＝则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________.

解析　由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1，

作出函数y＝f(x)的图象如图所示.

由图象知y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点.

因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个.

答案　5

【例2】 已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－的零点个数是(　　)

A.4   B.5   C.6   D.7

解析　令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)－2t－＝0的根的问题.

令y＝f(t)－2t－＝0，则f(t)＝2t＋.

分别作出y＝f(t)和y＝2t＋的图象，如图①，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2(不妨设t1<t2)，则t1＝0，1<t2<2；

由图②，结合图象，当f(x)＝0时，有一解，即x＝2；

当f(x)＝t2时，结合图象，有3个解.

所以y＝f[f(x)]－2f(x)－共有4个零点.

答案　A

思维升华　1.上述两个题目涉及嵌套函数零点个数的判断.求解的主要步骤：(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点.(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数.

2.抓住两点：(1)转化换元.(2)充分利用函数的图象与性质.

类型2　求嵌套函数零点中的参数

【例3】 函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.

解析　设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图).

当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点.

设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1.

当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解.综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点.

答案　[－1，＋∞)

思维升华　1.求解本题抓住分段函数的图象性质，由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f(x)的图象确定零点的个数.

2.含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合.

A级　基础巩固

一、选择题

1.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)

A.，0   B.－2，0   C.   D.0

解析　当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；

当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，

又因为x>1，所以此时方程无解.

综上，函数f(x)的零点只有0.

答案　D

2.若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)

A.(a，b)和(b，c)内   B.(－∞，a)和(a，b)内

C.(b，c)和(c，＋∞)内   D.(－∞，a)和(c，＋∞)

解析　∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，

f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，

由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.

答案　A

3.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)

A.(1，3)    B.(1，2)

C.(0，3)    D.(0，2)

解析　因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，

所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0<a<3.

答案　C

4.已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)

A.(－∞，－1)    B.(－∞，1)

C.(－1，0)    D.[－1，0)

解析　当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.

因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，

∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.

答案　D

5.已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(　　)

A.   B.   C.－   D.－

解析　令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，

所以2x2＋1＝x－λ，又函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，所以2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.

答案　C

6.已知函数f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零点依次为a，b，c，则(　　)

A.a<b<c    B.a<c<b

C.b<c<a    D.b<a<c

解析　令函数f(x)＝2x＋x＋1＝0，可知x<0，即a<0；

令g(x)＝log2x＋x＋1＝0，则0<x<1，即0<b<1；

令h(x)＝log2x－1＝0，可知x＝2，即c＝2.显然a<b<c.

答案　A

7.(2020·湖南雅礼中学检测)已知函数f(x)＝(a∈R)，若关于x的方程f(x)＝2a恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围为(　　)

A.    B.

C.∪(1，＋∞)   D.R

解析　作出函数f(x)的图象如图：

因为关于x的方程f(x)＝2a恰有两个不同实根，

所以y＝2a与函数y＝f(x)的图象恰有两个交点，结合图象，

得2a>2或<2a≤1.

解得a>1或<a≤.

答案　C

8.已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是(　　)

A.(－2，2)    B.(－2，1)

C.(0，2)    D.(1，3)

解析　当x<0时，f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3，

令f′(x)＝0，所以x＝－1(舍去正根)，

故f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减，

又f(x)＝ln(x＋1)在[0，＋∞)上单调递增，

则函数f(x)的图象如图所示.

当x<0时，f(x)极大值＝f(－1)＝2，且f(0)＝0，

故当k∈(0，2)时，y＝f(x)－k有三个不同的零点.

答案　C

二、填空题

9.已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________.

解析　依题意，f(1)＝＋a＝0，∴a＝－.

答案　－

10.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数是________.

解析　由题意知，cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]的零点个数为3.

答案　3

11.(2020·济南质检)若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于________.

解析　x1，x2分别是函数y＝ex，函数y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，所以A，B两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.

答案　1

12.函数f(x)＝(a∈R)，当0≤x<1时，f(x)＝1－x，则f(x)的零点个数为________.

解析　当x<0时，必存在x0＝－e－a<0，使得f(x0)＝0，因此对任意实数a，f(x)在(－∞，0)内必有一个零点；当x≥0时，f(x)是周期为1的周期函数，且0≤x<1时，f(x)＝1－x.因此可画出函数的大致图象，如图所示，可知函数f(x)的零点个数为1.

答案　1

B级　能力提升

13.已知函数f(x)＝a＋log2(x2＋a)(a>0)的最小值为8，则实数a所在的区间是(　　)

A.(5，6)   B.(7，8)   C.(8，9)   0D.(9，10)

解析　由于f(x)在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，

∴f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8.

令g(a)＝a＋log2a－8，a>0.

则g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0，

又g(a)在(0，＋∞)上是增函数，

∴实数a所在的区间为(5，6).

答案　A

14.(2019·天津卷)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝－x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为(　　)

A.    B.

C.∪{1}    D.∪{1}

解析　画出函数y＝f(x)的图象，如图.

方程f(x)＝－x＋a的解的个数，即为函数y＝f(x)的图象与直线l：y＝－x＋a的公共点的个数.

当直线l经过点A时，有2＝－×1＋a，a＝；

当直线l经过点B时，有1＝－×1＋a，a＝；

由图可知，a∈时，函数y＝f(x)的图象与l恰有两个交点.

另外，当直线l与曲线y＝，x>1相切时，恰有两个公共点，此时a>0.

联立得＝－x＋a，即x2－ax＋1＝0，

由Δ＝a2－4××1＝0，得a＝1(舍去负根).

综上，a∈∪{1}.

答案　D

15.已知函数f(x)＝ex－e－x＋4，若方程f(x)＝kx＋4(k>0)有三个不同的实根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________.

解析　易知y＝ex－e－x为奇函数，且其图象向上平移4个单位，得y＝f(x)的图象.

所以y＝f(x)的图象关于点(0，4)对称，

又y＝kx＋4过点(0，4)且关于点(0，4)对称.

∴方程f(x)＝kx＋4的三个根中有一个为0，且另两根之和为0.因此x1＋x2＋x3＝0.

答案　0

16.已知函数f(x)＝若方程f(x)＝kx－2有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________.

解析　由题意知函数f(x)的图象与恒过定点(0，－2)的直线y＝kx－2有两个交点，作出y＝f(x)与y＝kx－2的图象，如图所示.

当直线y＝kx－2过点(1，1)时，k＝3.

结合图象知，当k≥3时，直线与y＝f(x)图象有两个交点.

答案　[3，＋∞)

C级　创新猜想

17.(多填题)(2018·浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝

(1)当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________.

(2)若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________.

解析　(1)若λ＝2，当x≥2时，令x－4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2－4x＋3<0，解得1<x<2.综上可知，1<x<4，所以不等式f(x)<0的解集为(1，4).

(2)

令f(x)＝0，当x≥λ时，x＝4，

当x<λ时，x2－4x＋3＝0，

解得x＝1或x＝3.

因为函数f(x)恰有2个零点，

结合如图函数的图象知，

1<λ≤3或λ>4.

答案　(1)(1，4)　(2)(1，3]∪(4，＋∞)