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所属成套资源:2021高考数学理科人教A版一轮复习学案作业
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2021高考数学(理)人教A版一轮复习学案作业:第二章2.8函数与方程
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§2.8 函数与方程
最新考纲
考情考向分析
结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
利用函数零点的存在性定理或函数的图象,判断零点个数或求相关参数的范围,是高考的热点,题型以选择、填空题为主,也可和导数等知识交汇出现解答题,中高档难度.
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y=f (x)(x∈D),把使f (x)=0的实数x叫做函数y=f (x)(x∈D)的零点.
(2)三个等价关系
方程f (x)=0有实数根⇔函数y=f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f (x)有零点.
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y=f (x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a)·f (b)<0,那么,函数y=f (x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f (c)=0,这个c也就是方程f (x)=0的根.
2.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0),(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
概念方法微思考
函数f (x)的图象连续不断,是否可得到函数f (x)只有一个零点?
提示 不能.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( × )
(2)函数y=f (x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f (a)·f (b)<0.( × )
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.( √ )
(4)f (x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有h(x)
题组二 教材改编
2.函数f (x)=ln x-的零点所在的大致区间是( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.和(3,4) D.(4,+∞)
答案 B
解析 ∵f (2)=ln 2-1<0,f (3)=ln 3->0,
且函数f (x)的图象在(0,+∞)上连续不断,f (x)为增函数,
∴f (x)的零点在区间(2,3)内.
3.函数f (x)=ex+3x的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
解析 由f′(x)=ex+3>0,得f (x)在R上单调递增,又f (-1)=-3<0,f (0)=1>0,因此函数f (x)有且只有一个零点.
4.若函数f (x)=x2-4x+a存在两个不同的零点,则实数a的取值范围是________.
答案 (-∞,4)
题组三 易错自纠
5.已知函数f (x)=x-(x>0),g(x)=x+ex,h(x)=x+ln x(x>0)的零点分别为x1,x2,x3,则( )
A.x1
C.x2
答案 C
解析 作出y=x与y=(x>0),y=-ex,y=-ln x(x>0)的图象,如图所示,可知选C.
6.若函数f (x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰有一个零点,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,1) B.[1,+∞)
C.(1,+∞) D.(2,+∞)
答案 C
解析 当a=0时,函数的零点是x=-1,不符合题意.
当a≠0时,若Δ>0,f (0)·f (1)<0,则a>1.
若Δ=0,即a=-,函数的零点是x=-2,不符合题意,故选C.
函数零点所在区间的判定
1.函数f (x)=ln x-的零点所在的区间是( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.(3,4) D.(4,5)
答案 B
解析 函数f (x)=ln x-在(1,+∞)上是增函数,且在(1,+∞)上连续.
因为f (2)=ln 2-2<0,f (3)=ln 3-1>0,所以f (2)f (3)<0,
所以函数的零点所在的区间是(2,3).
2.若a A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内
答案 A
解析 函数y=f (x)是开口向上的二次函数,最多有两个零点,
由于a 因此f (a)=(a-b)(a-c)>0,f (b)=(b-c)(b-a)<0,f (c)=(c-a)(c-b)>0.
所以f (a)f (b)<0,f (b)f (c)<0,即f (x)在区间(a,b)和区间(b,c)内各有一个零点.
3.已知函数f (x)=logax+x-b(a>0且a≠1).当2 答案 2
解析 对于函数y=logax,当x=2时,可得y<1,当x=3时,可得y>1,在同一坐标系中画出函数y=logax,y=-x+b的图象,判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内,∴函数f (x)的零点x0∈(n,n+1)时,n=2.
思维升华 判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理.对于含有参数的函数的零点区间问题,往往要结合图象进行分析,一般是转化为两函数图象的交点,分析其横坐标的情况进行求解.
函数零点个数的判定
例1 (1)函数f (x)=的零点个数是________.
答案 2
解析 当x≤0时,令x2-2=0,
解得x=-(正根舍去),
所以在(-∞,0]上,f (x)有一个零点;
当x>0时,f′(x)=2+>0恒成立,
所以f (x)在(0,+∞)上是增函数.
又因为f (2)=-2+ln 2<0,f (3)=ln 3>0,所以f (x)在(0,+∞)上有一个零点,
综上,函数f (x)的零点个数为2.
(2)(2019·秦皇岛模拟)函数f (x)=的零点个数是________.
答案 3
解析 当x>0时,作出函数y=ln x和y=x2-2x的图象,
由图知,当x>0时,f (x)有2个零点;
当x≤0时,由f (x)=0,得x=-.
综上,f (x)有3个零点.
(3)函数f (x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
解析 方法一 ∵f (0)f (1)=(-1)×1=-1<0,且函数在定义域上单调递增且连续,
∴函数f (x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.
方法二 设y1=2x,y2=2-x3,
在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示,
在区间(0,1)内,两图象的交点个数即为f (x)的零点个数.
故函数f (x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.
思维升华 函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点:令f (x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点.
(2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续的曲线,且f (a)·f (b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)画两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
跟踪训练1 (1)已知函数f (x)=则函数g(x)=f (1-x)-1的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 g(x)=f (1-x)-1
=
=
易知当x≥1时,函数g(x)有1个零点;当x<1时,函数g(x)有2个零点,所以函数g(x)的零点共有3个,故选C.
(2)函数f (x)=|x|-cos x在(-∞,+∞)内的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.无穷多个
答案 C
解析 求解方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内根的个数问题,
可转化为求解函数h(x)=|x|和g(x)=cos x在(-∞,+∞)内的交点个数问题.
h(x)=|x|和g(x)=cos x的图象如图所示,
显然有两交点,即原方程有且仅有两个根.
函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
例2 (1)若函数f (x)=x2-ax+1在区间上有零点,则实数a的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C. D.
答案 D
解析 由题意知方程ax=x2+1在上有实数解,
即a=x+在上有解,设t=x+,x∈,则t的取值范围是.
所以实数a的取值范围是.
(2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x)=g(x)=f (x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
答案 C
解析 令h(x)=-x-a,则g(x)=f (x)-h(x).
在同一坐标系中画出y=f (x),y=h(x)图象的示意图,如图所示.
若g(x)存在2个零点,则y=f (x)的图象与y=h(x)的图象有2个交点.
由图知-a≤1,∴a≥-1.
命题点2 根据函数零点的范围求参数
例3 (1)若函数f (x)=(m-2)x2+mx+2m+1的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是____________.
答案
解析 依题意,结合函数f (x)的图象分析可知,m需满足
即
解得
(2)(2019·昆明模拟)已知定义在R上的偶函数f (x)满足f (x-4)=f (x),且在区间[0,2]上f (x)=x,若关于x的方程f (x)=logax有三个不同的实根,则a的取值范围为________.
答案 (,)
解析 由f (x-4)=f (x)知,函数的周期为4,又函数为偶函数,所以f (x-4)=f (x)=f (4-x),
所以函数图象关于x=2对称,且f (2)=f (6)=f (10)=2,
要使方程f (x)=logax有三个不同的根,
则满足如图,解得
故a的取值范围是(,).
思维升华 根据函数零点的情况求参数有三种常用方法
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.
跟踪训练2 (1)方程有解,则a的最小值为________.
答案 1
解析 若方程有解,则2+x=a-2x有解,即x+2x=a有解,因为x+2x≥1,当且仅当x=-1时等号成立,故a的最小值为1.
(2)(2020·岳阳检测)对任意实数a,b定义运算:a⊗b=设f (x)=(x2-1)⊗(4+x),若函数y=f (x)+k有3个零点,则实数k的取值范围是( )
A.(-1,3] B.[-3,1]
C.[-1,2) D.[-2,1)
答案 D
解析 令x2-1-(4+x)≥1,得x≤-2或x≥3,
令x2-1-(4+x)<1,得-2
则f (x)=
作出函数f (x)的图象,如图所示.
函数y=f (x)+k有3个零点,等价于函数y=f (x)的图象与直线y=-k有3个交点,
根据函数图象可得-1<-k≤2,即-2≤k<1.故选D.
例 (1)(2019·衡水中学调研)方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 (数形结合法)
∵a>0,∴a2+1>1.
而y=|x2-2x|的图象如图,
∴y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.
即方程有2个解.
(2)若函数f (x)=|logax|-2-x(a>0且a≠1)的两个零点是m,n,则( )
A.mn=1 B.mn>1
C.0
答案 C
解析 由题设可得|logax|=x,不妨设a>1,m
结合图象可知01,且-logam=m,logan=n,以上两式两边相减可得loga(mn)=n-m<0,所以0
(3)(2019·沈阳模拟)设f (x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R,都有f (2-x)=f (2+x),且当x∈[-2,0]时,f (x)=x-1,若关于x的方程f (x)-loga(x+2)=0(a>1)在区间(-2,6]内恰有三个不同实根,则实数a的取值范围是( )
A.(,) B.(,2)
C.(,2] D.(,2]
答案 B
解析 ∵f (x)为偶函数,故f (2-x)=f (x-2),
∴f (x+2)=f (x-2),故f (x)的周期为4,
∵x∈[-2,0]时,f (x)=x-1,故f (x)在(-2,6]上的图象如图所示,
∵f (x)-loga(x+2)=0有3个不同的解,
∴f (x)的图象与y=loga(x+2)的图象有3个不同的交点,
故即解得 素养提升 直观想象是指借助几何直观想象和空间想象感知事物的形态与变化,利用图形理解和解决数学问题的思想过程.函数的零点问题可以转化为两个函数图象的交点问题,可以通过画图分析图象的特征、图象间的关系解决.
1.函数f (x)=ln(x+1)-的零点所在的区间是( )
A. B.(1,e-1)
C.(e-1,2) D.(2,e)
答案 C
解析 ∵f (x)的定义域为(-1,0)∪(0,+∞),
f′(x)=+>0,
∴f (x)在(-1,0),(0,+∞)上单调递增.
∵f =ln -4<0,f (1)=ln 2-2<0,
f (e-1)=1-<0,f (2)=ln 3-1>0,
∴f (e-1)·f (2)<0,故函数的零点所在的区间是(e-1,2).
2.函数f (x)=x·cos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 D
解析 借助余弦函数的图象求解.f (x)=x·cos 2x=0⇒x=0或cos 2x=0,又cos 2x=0在[0,2π]上有,,,,共4个根,故原函数有5个零点.
3.已知函数f (x)=x-cos x,则f (x)在[0,2π]上的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 作出g(x)=x与h(x)=cos x的图象如图所示,可得两图象在[0,2π]上的交点个数为3,所以函数f (x)在[0,2π]上的零点个数为3,故选C.
4.函数f (x)=-cos x在[0,+∞)内( )
A.没有零点 B.有且仅有一个零点
C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点
答案 B
解析 当x∈时,因为f′(x)=+sin x,>0,sin x>0,所以f′(x)>0,故f (x)在[0,1]上单调递增,且f (0)=-1<0,f (1)=1-cos 1>0,所以f (x)在[0,1]内有唯一零点.当x>1时,f (x)=-cos x>0,故函数f (x)在[0,+∞)上有且仅有一个零点,故选B.
5.已知函数f (x)=则使方程x+f (x)=m有解的实数m的取值范围是( )
A.(1,2) B.(-∞,-2]
C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,1]∪[2,+∞)
答案 D
解析 当x≤0时,x+f (x)=m,即x+1=m,解得m≤1;
当x>0时,x+f (x)=m,即x+=m,解得m≥2,
即实数m的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞).故选D.
6.(2019·郑州质检)[x]表示不超过x的最大整数,例如[2.9]=2,[-4.1]=-5,已知f (x)=x-[x](x∈R),g(x)=log4(x-1),则函数h(x)=f (x)-g(x)的零点个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 B
解析 作出函数f (x)与g(x)的图象如图所示,可知两函数图象有两个不同的交点,故选B.
7.已知a,b,c,d都是常数,a>b,c>d.若f (x)=2 019-(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是( )
A.a>c>b>d B.a>b>c>d
C.c>d>a>b D.c>a>b>d
答案 D
解析 f (x)=2 019-(x-a)(x-b),又f (a)=f (b)=2 019,c,d为函数f (x)的零点,且a>b,c>d,所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x)的大致图象,如图所示,
由图可知c>a>b>d,故选D.
8.若函数f (x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式af (-2x)>0的解集是___________.
答案
解析 ∵f (x)=x2+ax+b的两个零点是-2,3.
∴-2,3是方程x2+ax+b=0的两根,
由根与系数的关系知
∴
∴f (x)=x2-x-6.∵不等式af (-2x)>0,
即-(4x2+2x-6)>0⇔2x2+x-3<0,
解集为.
9.若函数f (x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是________.
答案 (0,1]
解析 当x>0时,由f (x)=ln x=0,得x=1.因为函数f (x)有两个不同的零点,则当x≤0时,函数f (x)=2x-a有一个零点.令f (x)=0,得a=2x.因为0<2x≤20=1,所以0 10.(2020·杭州学军中学模拟)已知函数f (x)=则函数y=f [f (x)]+1的所有零点所构成的集合为________.
答案
解析 由题意知f [f (x)]=-1,所以f (x)=-2或f (x)=,则函数y=f [f (x)]+1的零点就是使f (x)=-2或f (x)=的x值.解f (x)=-2,得x=-3或x=;解f (x)=,得x=-或x=.
从而函数y=f [f (x)]+1的零点构成的集合为.
11.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上有解,求实数m的取值范围.
解 显然x=0不是方程x2+(m-1)x+1=0的解,
当0
又∵y=x+在(0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,
∴y=x+在(0,2]上的取值范围是[2,+∞),
∴1-m≥2,∴m≤-1,
故m的取值范围是(-∞,-1].
12.设函数f (x)=(x>0).
(1)作出函数f (x)的图象;
(2)当0 (3)若方程f (x)=m有两个不相等的正根,求实数m的取值范围.
解 (1)函数f (x)的图象如图所示.
(2)因为f (x)=
=
故f (x)在(0,1]上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,
由0 且-1=1-,所以+=2.
(3)由函数f (x)的图象可知,当0
13.已知x0是函数f (x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )
A.f (x1)<0,f (x2)<0 B.f (x1)<0,f (x2)>0
C.f (x1)>0,f (x2)<0 D.f (x1)>0,f (x2)>0
答案 B
解析 设g(x)=,由于函数g(x)==-在(1,+∞)上单调递增,函数h(x)=2x在(1,+∞)上单调递增,故函数f (x)=h(x)+g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数f (x)在(1,+∞)上只有唯一的零点x0,且在(1,x0)上f (x)<0,在(x0,+∞)上f (x)>0,又∵x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),∴f (x1)<0,f (x2)>0.故选B.
14.(2019·福建福州三校联考)已知函数f (x)=若存在正实数k,使得方程f (x)=有三个互不相等的实根x1,x2,x3,则x1+x2+x3的取值范围是( )
A.(4,2+2) B.(4,6+2)
C.(6,4+2) D.(8,6+2)
答案 D
解析 方程f (x)=可化为xf (x)=k,
令g(x)=xf (x),则g(x)=作出g(x)的图象,如图所示.
方程xf (x)=k有三个互不相等的实根x1,x2,x3,等价于函数g(x)的图象与直线y=k有三个不同的交点,结合图象知04.由二次函数y=-x2+4x的图象关于直线x=2对称可知,=2,即x1+x2=4.
令x2-4x=4,解得x=2±2,所以4
所以8
15.已知函数f (x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f (x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是____________.
答案 (3,+∞)
解析 在同一坐标系中,作y=f (x)与y=b的图象.
当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,
所以要使方程f (x)=b有三个不同的根,则有4m-m20.
又m>0,解得m>3.
16.定义在R上的奇函数f (x),当x≥0时,f (x)=求函数F(x)=f (x)-的所有零点之和.
解 由题意知,当x<0时,
f (x)=
作出函数f (x)的图象如图所示,设函数y=f (x)的图象与y=交点的横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,x4,x5,由图象的对称性可知,x1+x2=-6,x4+x5=6,x1+x2+x4+x5=0,令-=,解得x3=,所以函数F(x)=f (x)-的所有零点之和为.
最新考纲
考情考向分析
结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
利用函数零点的存在性定理或函数的图象,判断零点个数或求相关参数的范围,是高考的热点,题型以选择、填空题为主,也可和导数等知识交汇出现解答题,中高档难度.
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y=f (x)(x∈D),把使f (x)=0的实数x叫做函数y=f (x)(x∈D)的零点.
(2)三个等价关系
方程f (x)=0有实数根⇔函数y=f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f (x)有零点.
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y=f (x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a)·f (b)<0,那么,函数y=f (x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f (c)=0,这个c也就是方程f (x)=0的根.
2.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0),(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
概念方法微思考
函数f (x)的图象连续不断,是否可得到函数f (x)只有一个零点?
提示 不能.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( × )
(2)函数y=f (x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f (a)·f (b)<0.( × )
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.( √ )
(4)f (x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有h(x)
2.函数f (x)=ln x-的零点所在的大致区间是( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.和(3,4) D.(4,+∞)
答案 B
解析 ∵f (2)=ln 2-1<0,f (3)=ln 3->0,
且函数f (x)的图象在(0,+∞)上连续不断,f (x)为增函数,
∴f (x)的零点在区间(2,3)内.
3.函数f (x)=ex+3x的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
解析 由f′(x)=ex+3>0,得f (x)在R上单调递增,又f (-1)=-3<0,f (0)=1>0,因此函数f (x)有且只有一个零点.
4.若函数f (x)=x2-4x+a存在两个不同的零点,则实数a的取值范围是________.
答案 (-∞,4)
题组三 易错自纠
5.已知函数f (x)=x-(x>0),g(x)=x+ex,h(x)=x+ln x(x>0)的零点分别为x1,x2,x3,则( )
A.x1
解析 作出y=x与y=(x>0),y=-ex,y=-ln x(x>0)的图象,如图所示,可知选C.
6.若函数f (x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰有一个零点,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,1) B.[1,+∞)
C.(1,+∞) D.(2,+∞)
答案 C
解析 当a=0时,函数的零点是x=-1,不符合题意.
当a≠0时,若Δ>0,f (0)·f (1)<0,则a>1.
若Δ=0,即a=-,函数的零点是x=-2,不符合题意,故选C.
函数零点所在区间的判定
1.函数f (x)=ln x-的零点所在的区间是( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.(3,4) D.(4,5)
答案 B
解析 函数f (x)=ln x-在(1,+∞)上是增函数,且在(1,+∞)上连续.
因为f (2)=ln 2-2<0,f (3)=ln 3-1>0,所以f (2)f (3)<0,
所以函数的零点所在的区间是(2,3).
2.若a A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内
答案 A
解析 函数y=f (x)是开口向上的二次函数,最多有两个零点,
由于a 因此f (a)=(a-b)(a-c)>0,f (b)=(b-c)(b-a)<0,f (c)=(c-a)(c-b)>0.
所以f (a)f (b)<0,f (b)f (c)<0,即f (x)在区间(a,b)和区间(b,c)内各有一个零点.
3.已知函数f (x)=logax+x-b(a>0且a≠1).当2 答案 2
解析 对于函数y=logax,当x=2时,可得y<1,当x=3时,可得y>1,在同一坐标系中画出函数y=logax,y=-x+b的图象,判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内,∴函数f (x)的零点x0∈(n,n+1)时,n=2.
思维升华 判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理.对于含有参数的函数的零点区间问题,往往要结合图象进行分析,一般是转化为两函数图象的交点,分析其横坐标的情况进行求解.
函数零点个数的判定
例1 (1)函数f (x)=的零点个数是________.
答案 2
解析 当x≤0时,令x2-2=0,
解得x=-(正根舍去),
所以在(-∞,0]上,f (x)有一个零点;
当x>0时,f′(x)=2+>0恒成立,
所以f (x)在(0,+∞)上是增函数.
又因为f (2)=-2+ln 2<0,f (3)=ln 3>0,所以f (x)在(0,+∞)上有一个零点,
综上,函数f (x)的零点个数为2.
(2)(2019·秦皇岛模拟)函数f (x)=的零点个数是________.
答案 3
解析 当x>0时,作出函数y=ln x和y=x2-2x的图象,
由图知,当x>0时,f (x)有2个零点;
当x≤0时,由f (x)=0,得x=-.
综上,f (x)有3个零点.
(3)函数f (x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
解析 方法一 ∵f (0)f (1)=(-1)×1=-1<0,且函数在定义域上单调递增且连续,
∴函数f (x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.
方法二 设y1=2x,y2=2-x3,
在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示,
在区间(0,1)内,两图象的交点个数即为f (x)的零点个数.
故函数f (x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.
思维升华 函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点:令f (x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点.
(2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续的曲线,且f (a)·f (b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)画两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
跟踪训练1 (1)已知函数f (x)=则函数g(x)=f (1-x)-1的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 g(x)=f (1-x)-1
=
=
易知当x≥1时,函数g(x)有1个零点;当x<1时,函数g(x)有2个零点,所以函数g(x)的零点共有3个,故选C.
(2)函数f (x)=|x|-cos x在(-∞,+∞)内的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.无穷多个
答案 C
解析 求解方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内根的个数问题,
可转化为求解函数h(x)=|x|和g(x)=cos x在(-∞,+∞)内的交点个数问题.
h(x)=|x|和g(x)=cos x的图象如图所示,
显然有两交点,即原方程有且仅有两个根.
函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
例2 (1)若函数f (x)=x2-ax+1在区间上有零点,则实数a的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C. D.
答案 D
解析 由题意知方程ax=x2+1在上有实数解,
即a=x+在上有解,设t=x+,x∈,则t的取值范围是.
所以实数a的取值范围是.
(2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x)=g(x)=f (x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
答案 C
解析 令h(x)=-x-a,则g(x)=f (x)-h(x).
在同一坐标系中画出y=f (x),y=h(x)图象的示意图,如图所示.
若g(x)存在2个零点,则y=f (x)的图象与y=h(x)的图象有2个交点.
由图知-a≤1,∴a≥-1.
命题点2 根据函数零点的范围求参数
例3 (1)若函数f (x)=(m-2)x2+mx+2m+1的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是____________.
答案
解析 依题意,结合函数f (x)的图象分析可知,m需满足
即
解得
答案 (,)
解析 由f (x-4)=f (x)知,函数的周期为4,又函数为偶函数,所以f (x-4)=f (x)=f (4-x),
所以函数图象关于x=2对称,且f (2)=f (6)=f (10)=2,
要使方程f (x)=logax有三个不同的根,
则满足如图,解得
故a的取值范围是(,).
思维升华 根据函数零点的情况求参数有三种常用方法
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.
跟踪训练2 (1)方程有解,则a的最小值为________.
答案 1
解析 若方程有解,则2+x=a-2x有解,即x+2x=a有解,因为x+2x≥1,当且仅当x=-1时等号成立,故a的最小值为1.
(2)(2020·岳阳检测)对任意实数a,b定义运算:a⊗b=设f (x)=(x2-1)⊗(4+x),若函数y=f (x)+k有3个零点,则实数k的取值范围是( )
A.(-1,3] B.[-3,1]
C.[-1,2) D.[-2,1)
答案 D
解析 令x2-1-(4+x)≥1,得x≤-2或x≥3,
令x2-1-(4+x)<1,得-2
作出函数f (x)的图象,如图所示.
函数y=f (x)+k有3个零点,等价于函数y=f (x)的图象与直线y=-k有3个交点,
根据函数图象可得-1<-k≤2,即-2≤k<1.故选D.
例 (1)(2019·衡水中学调研)方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 (数形结合法)
∵a>0,∴a2+1>1.
而y=|x2-2x|的图象如图,
∴y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.
即方程有2个解.
(2)若函数f (x)=|logax|-2-x(a>0且a≠1)的两个零点是m,n,则( )
A.mn=1 B.mn>1
C.0
解析 由题设可得|logax|=x,不妨设a>1,m
结合图象可知0
A.(,) B.(,2)
C.(,2] D.(,2]
答案 B
解析 ∵f (x)为偶函数,故f (2-x)=f (x-2),
∴f (x+2)=f (x-2),故f (x)的周期为4,
∵x∈[-2,0]时,f (x)=x-1,故f (x)在(-2,6]上的图象如图所示,
∵f (x)-loga(x+2)=0有3个不同的解,
∴f (x)的图象与y=loga(x+2)的图象有3个不同的交点,
故即解得 素养提升 直观想象是指借助几何直观想象和空间想象感知事物的形态与变化,利用图形理解和解决数学问题的思想过程.函数的零点问题可以转化为两个函数图象的交点问题,可以通过画图分析图象的特征、图象间的关系解决.
1.函数f (x)=ln(x+1)-的零点所在的区间是( )
A. B.(1,e-1)
C.(e-1,2) D.(2,e)
答案 C
解析 ∵f (x)的定义域为(-1,0)∪(0,+∞),
f′(x)=+>0,
∴f (x)在(-1,0),(0,+∞)上单调递增.
∵f =ln -4<0,f (1)=ln 2-2<0,
f (e-1)=1-<0,f (2)=ln 3-1>0,
∴f (e-1)·f (2)<0,故函数的零点所在的区间是(e-1,2).
2.函数f (x)=x·cos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 D
解析 借助余弦函数的图象求解.f (x)=x·cos 2x=0⇒x=0或cos 2x=0,又cos 2x=0在[0,2π]上有,,,,共4个根,故原函数有5个零点.
3.已知函数f (x)=x-cos x,则f (x)在[0,2π]上的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 作出g(x)=x与h(x)=cos x的图象如图所示,可得两图象在[0,2π]上的交点个数为3,所以函数f (x)在[0,2π]上的零点个数为3,故选C.
4.函数f (x)=-cos x在[0,+∞)内( )
A.没有零点 B.有且仅有一个零点
C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点
答案 B
解析 当x∈时,因为f′(x)=+sin x,>0,sin x>0,所以f′(x)>0,故f (x)在[0,1]上单调递增,且f (0)=-1<0,f (1)=1-cos 1>0,所以f (x)在[0,1]内有唯一零点.当x>1时,f (x)=-cos x>0,故函数f (x)在[0,+∞)上有且仅有一个零点,故选B.
5.已知函数f (x)=则使方程x+f (x)=m有解的实数m的取值范围是( )
A.(1,2) B.(-∞,-2]
C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,1]∪[2,+∞)
答案 D
解析 当x≤0时,x+f (x)=m,即x+1=m,解得m≤1;
当x>0时,x+f (x)=m,即x+=m,解得m≥2,
即实数m的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞).故选D.
6.(2019·郑州质检)[x]表示不超过x的最大整数,例如[2.9]=2,[-4.1]=-5,已知f (x)=x-[x](x∈R),g(x)=log4(x-1),则函数h(x)=f (x)-g(x)的零点个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 B
解析 作出函数f (x)与g(x)的图象如图所示,可知两函数图象有两个不同的交点,故选B.
7.已知a,b,c,d都是常数,a>b,c>d.若f (x)=2 019-(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是( )
A.a>c>b>d B.a>b>c>d
C.c>d>a>b D.c>a>b>d
答案 D
解析 f (x)=2 019-(x-a)(x-b),又f (a)=f (b)=2 019,c,d为函数f (x)的零点,且a>b,c>d,所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x)的大致图象,如图所示,
由图可知c>a>b>d,故选D.
8.若函数f (x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式af (-2x)>0的解集是___________.
答案
解析 ∵f (x)=x2+ax+b的两个零点是-2,3.
∴-2,3是方程x2+ax+b=0的两根,
由根与系数的关系知
∴
∴f (x)=x2-x-6.∵不等式af (-2x)>0,
即-(4x2+2x-6)>0⇔2x2+x-3<0,
解集为.
9.若函数f (x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是________.
答案 (0,1]
解析 当x>0时,由f (x)=ln x=0,得x=1.因为函数f (x)有两个不同的零点,则当x≤0时,函数f (x)=2x-a有一个零点.令f (x)=0,得a=2x.因为0<2x≤20=1,所以0 10.(2020·杭州学军中学模拟)已知函数f (x)=则函数y=f [f (x)]+1的所有零点所构成的集合为________.
答案
解析 由题意知f [f (x)]=-1,所以f (x)=-2或f (x)=,则函数y=f [f (x)]+1的零点就是使f (x)=-2或f (x)=的x值.解f (x)=-2,得x=-3或x=;解f (x)=,得x=-或x=.
从而函数y=f [f (x)]+1的零点构成的集合为.
11.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上有解,求实数m的取值范围.
解 显然x=0不是方程x2+(m-1)x+1=0的解,
当0
∴y=x+在(0,2]上的取值范围是[2,+∞),
∴1-m≥2,∴m≤-1,
故m的取值范围是(-∞,-1].
12.设函数f (x)=(x>0).
(1)作出函数f (x)的图象;
(2)当0 (3)若方程f (x)=m有两个不相等的正根,求实数m的取值范围.
解 (1)函数f (x)的图象如图所示.
(2)因为f (x)=
=
故f (x)在(0,1]上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,
由0 且-1=1-,所以+=2.
(3)由函数f (x)的图象可知,当0
13.已知x0是函数f (x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )
A.f (x1)<0,f (x2)<0 B.f (x1)<0,f (x2)>0
C.f (x1)>0,f (x2)<0 D.f (x1)>0,f (x2)>0
答案 B
解析 设g(x)=,由于函数g(x)==-在(1,+∞)上单调递增,函数h(x)=2x在(1,+∞)上单调递增,故函数f (x)=h(x)+g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数f (x)在(1,+∞)上只有唯一的零点x0,且在(1,x0)上f (x)<0,在(x0,+∞)上f (x)>0,又∵x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),∴f (x1)<0,f (x2)>0.故选B.
14.(2019·福建福州三校联考)已知函数f (x)=若存在正实数k,使得方程f (x)=有三个互不相等的实根x1,x2,x3,则x1+x2+x3的取值范围是( )
A.(4,2+2) B.(4,6+2)
C.(6,4+2) D.(8,6+2)
答案 D
解析 方程f (x)=可化为xf (x)=k,
令g(x)=xf (x),则g(x)=作出g(x)的图象,如图所示.
方程xf (x)=k有三个互不相等的实根x1,x2,x3,等价于函数g(x)的图象与直线y=k有三个不同的交点,结合图象知0
令x2-4x=4,解得x=2±2,所以4
15.已知函数f (x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f (x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是____________.
答案 (3,+∞)
解析 在同一坐标系中,作y=f (x)与y=b的图象.
当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,
所以要使方程f (x)=b有三个不同的根,则有4m-m2
又m>0,解得m>3.
16.定义在R上的奇函数f (x),当x≥0时,f (x)=求函数F(x)=f (x)-的所有零点之和.
解 由题意知,当x<0时,
f (x)=
作出函数f (x)的图象如图所示,设函数y=f (x)的图象与y=交点的横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,x4,x5,由图象的对称性可知,x1+x2=-6,x4+x5=6,x1+x2+x4+x5=0,令-=,解得x3=,所以函数F(x)=f (x)-的所有零点之和为.
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