2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第二章第7节　函数的图象

第7节　函数的图象

考试要求　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.

知 识 梳 理

1.利用描点法作函数的图象

步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.

2.利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

(2)对称变换

y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；

y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；

y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；

y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.

(3)伸缩变换

y＝f(x)y＝f(ax).

y＝f(x)y＝Af(x).

(4)翻折变换

y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；

y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象.

[常用结论与微点提醒]

1.记住几个重要结论

(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.

(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.

(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.

3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上减下加”进行.

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.(　　)

(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.(　　)

(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.(　　)

(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.(　　)

解析　(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错.

(2)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行振幅与周期变换得到，两图象不同，(2)错.

(3)y＝f(x)与y＝－f(x)图象关于x轴对称，(3)错.

(4)中，f(2－x)＝f[1＋(1－x)]＝f[1－(1－x)]＝f(x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，(4)正确.

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2.(老教材必修1P24A7改编)下列图象是函数y＝的图象的是(　　)

解析　其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成.

答案　C

3.(新教材必修第一册P140习题4.4T6)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　)

解析　依题意，在2 h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图象B适合.

答案　B

4.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)

A.y＝ln(1－x)    B.y＝ln(2－x)

C.y＝ln(1＋x)    D.y＝ln(2＋x)

解析　法一　设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x).

法二　由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.

答案　B

5.(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)

解析　∵f(－x)＝＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数，排除A.

当x＝π时，f(π)＝>0，排除B，C，只有D满足.

答案　D

6.(2020·兰州联考)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________.

解析　当f(x)>0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2，8].

答案　(2，8]

考点一　作函数的图象

【例1】 作出下列函数的图象：

(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；

(3)y＝x2－2|x|－1.

解　(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图①实线部分.

(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.

(3)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③.

规律方法　作函数图象的一般方法

(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.

(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

【训练1】 分别作出下列函数的图象：

(1)y＝|lg x|；(2)y＝sin |x|.

解　(1)先作出函数y＝lg x的图象，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得函数y＝|lg x|的图象，如图①实线部分.

(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.

考点二　函数图象的辨识

【例2】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)函数y＝在[－6，6]的图象大致为(　　)

(2)(2020·深圳模拟)函数f(x)＝的图象大致为(　　)

解析　(1)因为y＝f(x)＝，x∈[－6，6]，

所以f(－x)＝＝－＝－f(x)，

所以f(x)是奇函数，排除选项C.

当x＝4时，y＝＝∈(7，8)，排除A，D项，B正确.

(2)由得－1<x<0或0<x<1，

所以f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.

又f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除A；

当0<x<1时，lg |x|<0，f(x)<0，排除C；

当x>0且x→0时，f(x)→0，排除D，只有B项符合.

答案　(1)B　(2)B

规律方法　1.抓住函数的性质，定性分析：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.

2.抓住函数的特征，定量计算：

从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.

【训练2】 (1)(2020·武汉调研)函数f(x)＝的大致图象为(　　)

(2)(一题多解)(2017·全国Ⅲ卷)函数y＝1＋x＋的部分图象大致为(　　)

解析　(1)易知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.f(－x)＝＝－＝－f(x)，则f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，f(1)＝3－＝>0，排除D，当x→＋∞时，3x→＋∞，则f(x)→＋∞，排除C，选项B符合.

(2)法一　易知g(x)＝x＋为奇函数，故y＝1＋x＋的图象关于点(0，1)对称，排除C；当x∈(0，1)时，y>0，排除A；当x＝π时，y＝1＋π，排除B，选项D满足.

法二　当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A，C；又当x→＋∞时，y→＋∞，排除B，而D满足.

答案　(1)B　(2)D

考点三　函数图象的应用　多维探究

角度1　研究函数的性质

【例3－1】 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)

A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)

B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)

C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)

D.f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)

解析　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得

f(x)＝

画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上是递减的.

答案　C

角度2　函数图象在不等式中的应用

【例3－2】 (1)(2020·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝2－|x|，若关于x的不等式f(x)≥x2－x－m的解集中有且仅有1个整数，则实数m的取值范围为(　　)

A.[－3，－1)    B.(－3，－1)

C.[－2，－1)    D.(－2，－1)

(2)函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为________.

解析　(1)在同一平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)，y＝x2－x－m的图象如图所示.

由图可知，不等式f(x)≥x2－x－m的解集中的整数解为x＝0，

故解得－2≤m<－1.

(2)当x∈时，y＝cos x>0.

当x∈时，y＝cos x<0.

结合y＝f(x)，x∈[0，4]上的图象知，当1<x<时，<0.又函数y＝为偶函数，

所以在[－4，0]上，<0的解集为，

所以<0的解集为∪.

答案　(1)C　(2)∪

角度3　求参数的取值范围

【例3－3】 设函数f(x)＝|x2－2x|－ax－a，其中a>0，若只存在两个整数x，使得f(x)<0，则a的取值范围是______.

解析　f(x)＝|x2－2x|－ax－a<0，则|x2－2x|<ax＋a，

分别画出y＝|x2－2x|与y＝a(x＋1)的图象，如图所示.

∵只存在两个整数x，使得f(x)<0，

当x＝1时，|12－2|＝1，令2a＝1，

解得a＝，此时有2个整数使f(x)<0，

即x＝0或x＝1，

结合图象可得a的取值范围为.

答案　

规律方法　1.利用函数的图象研究函数的性质

对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.

2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想.

【训练3】 (1)(角度1)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)

A.函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称

B.函数f(x)在(－∞，1)上是增函数

C.函数f(x)的图象关于直线x＝1对称

D.函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴

(2)(角度2)已知函数y＝f(x)的图象是如图所示的折线ACB，且函数g(x)＝log2(x＋1)，则不等式f(x)≥g(x)的解集是(　　)

A.{x|－1<x≤0}

B.{x|－1≤x≤1}

C.{x|－1<x≤1}

D.{x|－1<x≤2}

(3)(角度3)已知函数f(x)＝kx＋1，g(x)＝ex＋1(－1≤x≤1)，若f(x)与g(x)的图象上分别存在点M，N，使得点M，N关于直线y＝1对称，则实数k的取值范围是(　　)

A.    B.

C.[－e，＋∞)    D.∪

解析　(1)由题知，函数f(x)＝的图象是由函数y＝的图象向右平移1个单位长度得到的，可得函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，A正确；函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，B错误；易知函数f(x)＝的图象不关于直线x＝1对称，C错误；由函数f(x)的单调性及函数f(x)的图象，可知函数f(x)的图象上不存在两点A，B，使得直线AB∥x轴，D错误.

(2)令g(x)＝y＝log2(x＋1)，

作出函数g(x)的图象如图，

由得

∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}.

(3)由题意知，存在x∈[－1，1]使得kx＋1＋ex＋1＝2，即ex＝－kx，所以函数y＝ex与y＝－kx的图象在[－1，1]上恒有交点，在同一平面直角坐标系中作两函数图象如图

所示.当x＝－1时，k＝；当x＝1时，－k＝e，即k＝－e.综上，k∈.

答案　(1)A　(2)C　(3)B

直观想象——函数图象的活用

直观想象是发现和提出问题，分析和解决问题的重要手段，在数学研究的探索中，通过直观手段的运用以及借助直观展开想象，从而发现问题、解决问题的例子比比皆是，并贯穿于数学研究过程的始终，而数形结合思想是典型的直观想象范例.

类型1　根据函数图象特征，确定函数解析式

函数解析式与函数图象是函数的两种重要表示法，图象形象直观，解析式易于研究函数性质，可根据需要，相互转化.

【例1】 (2020·长沙模拟)如图，已知函数f(x)的图象关于坐标原点对称，则函数f(x)的解析式可能是(　　)

A.f(x)＝x2ln |x|    B.f(x)＝xln x

C.f(x)＝    D.f(x)＝

解析　根据函数图象知，f(x)为奇函数，排除A，B.对于选项D，当x>0时，f(x)＝>0，这与函数的图象不符，因此只有C项f(x)＝可能适合.有兴趣的同学可研究函数的性质作出判断(略).

答案　C

类型2　利用函数的图象研究函数的性质

对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.

【例2】 已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)(　　)

A.有最小值－1，最大值1

B.有最大值1，无最小值

C.有最小值－1，无最大值

D.有最大值－1，无最小值

解析　画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x).

综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值.

答案　C

【例3】 (2020·太原调研)已知函数g(x)＝－，h(x)＝cos πx，当x∈(－2，4)时，函数g(x)与h(x)的交点横坐标分别记为xi(i＝1，2，…，n)，则xi＝(　　)

A.5  B.6  C.7  D.8

解析　易知g(x)＝－的图象关于x＝1对称，h(x)＝cos πx的图象关于x＝1对称.作出两个函数的图象，如图所示.

根据图象知，两函数有7个交点，其中一个点的横坐标为x＝1，另外6个交点关于直线x＝1对称，因此xi＝3×2＋1＝7.

答案　C

思维升华　求解图象交点横、纵坐标之和的问题，常利用图象的对称性求解，即找出两图象的公共对称轴或对称中心，从而得出各交点的公共对称轴或对称中心，由此得出定值求解.

类型3　利用函数的图象求解方程或不等式

　若研究的方程(不等式)不能用代数法求解，但其与基本初等函数有关，常将方程(不等式)问题转化为两函数图象的交点或图象的上下位置关系，然后由图象的几何直观数形结合求解.

【例4】 函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________.

解析　f(x)＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1＝sin 2x与y2＝x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1＝sin 2x与y2＝x2的图象如图所示：

由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.

答案　2

A级　基础巩固

一、选择题

1.(2020·深圳调研)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　)

解析　由函数f(x)的图象知a>1，－1<b<0.

∴g(x)＝ax＋b在R上是增函数，且g(0)＝1＋b>0.

因此选项C满足要求.

答案　C

2.(2020·马鞍山模拟)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足g(x)＝f(|x－1|)，则函数y＝g(x)的图象关于(　　)

A.直线x＝－1对称   B.直线x＝1对称

C.原点对称    D.y轴对称

解析　因为y＝f(|x|)的图象关于y轴对称，y＝f(|x|)的图象向右平移1个单位可得y＝f(|x－1|)的图象，所以函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称.

答案　B

3.(2018·浙江卷)函数y＝2|x|·sin 2x的图象可能是(　　)

解析　设f(x)＝2|x|sin 2x，其定义域为R，又f(－x)＝2|－x|·sin(－2x)＝－f(x)，所以y＝f(x)是奇函数，故排除选项A，B.令f(x)＝0，得sin 2x＝0，∴2x＝kπ(k∈Z)，即x＝(k∈Z)，排除C，只有D正确.

答案　D

4.(2020·兰州模拟)若函数y＝f(x)的图象的一部分如图(1)所示，则图(2)中的图象所对应的函数解析式可以是(　　)

A.y＝f    B.y＝f(2x－1)

C.y＝f    D.y＝f

解析　函数f(x)的图象先整体往右平移1个单位，得到y＝f(x－1)的图象，再将所有点的横坐标压缩为原来的，得到y＝f(2x－1)的图象.

答案　B

5.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于(　　)

A.－    B.－

C.－1    D.－2

解析　由图象知得

∴f(x)＝故f(－3)＝5－6＝－1.

答案　C

6.已知函数f(2x＋1)是奇函数，则使函数y＝f(2x)的图象成中心对称的点为(　　)

A.(1，0)    B.(－1，0)

C.    D.

解析　f(2x＋1)是奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，而f(2x)的图象是由f(2x＋1)的图象向右平移个单位得到的，故关于点成中心对称.

答案　C

7.(2020·衡水中学调研)函数y＝(2x－1)ex的图象大致是(　　)

解析　当x→－∞时，y＝(2x－1)ex<0，则C、D错误.

因为y′＝(2x＋1)ex，所以当x<－时，y′<0，y＝(2x－1)ex在上单调递减，所以A正确，B错误.

答案　A

8.(2020·潍坊质检)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数f(x)的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是(　　)

A.0    B.0或－

C.－或    D.0或－

解析　因为f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，如图所示：

由图知，直线y＝x＋a与函数f(x)的图象在区间[0，2]内恰有两个不同的公共点时，直线y＝x＋a经过点(1，1)或与曲线f(x)＝x2(0≤x≤1)相切于点A，则1＝1＋a，或方程x2＝x＋a只有一个实数根.所以a＝0或Δ＝1＋4a＝0，即a＝0或a＝－.

答案　D

二、填空题

9.若函数y＝f(x)的图象过点(1，1)，则函数y＝f(4－x)的图象一定经过点________.

解析　由于函数y＝f(4－x)的图象可以看作y＝f(x)的图象先关于y轴对称，再向右平移4个单位长度得到.点(1，1)关于y轴对称的点为(－1，1)，再将此点向右平移4个单位长度为(3，1).所以函数y＝f(4－x)的图象过定点(3，1).

答案　(3，1)

10.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________.

解析　当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b(k≠0).

则得∴y＝x＋1.

当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1(a≠0).

∵图象过点(4，0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝，

∴y＝(x－2)2－1.

答案　f(x)＝

11.(2020·福州质检)设函数y＝f(x)的图象与y＝的图象关于直线y＝x对称，且f(3)＋f＝4，则实数a＝________.

解析　设(x，y)是y＝f(x)图象上任意一点，则(y，x)在函数y＝的图象上.

∴x＝，则y＝logx－a.

因此f(x)＝logx－a.

由f(3)＋f＝4，得－1＋1－2a＝4，∴a＝－2.

答案　－2

12.已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2<f(x＋t)<4的解集为(－1，2)，则实数t的值为________.

解析　由图象可知不等式－2<f(x＋t)<4，

即f(3)<f(x＋t)<f(0).

又y＝f(x)在R上单调递减，

∴0<x＋t<3，不等式解集为(－t，3－t).

依题意，t＝1.

答案　1

B级　能力提升

13.(2020·安徽联盟联考)已知函数f(x)＝，则函数f(x)的图象大致为(　　)

解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，

又f(－x)＝＝－＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，则函数f(x)的图象关于原点对称，排除B，

因为f(1)＝>0，且f(5)＝<1，所以排除C，D，选A.

答案　A

14.若直角坐标系内A，B两点满足：(1)点A，B都在f(x)的图象上；(2)点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”.已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点对”有(　　)

A.1个   B.2个   C.3个   D.4个

解析　作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数y＝(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个.

答案　B

15.已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________.

解析　如图，作出函数f(x)＝|log3x|的图象，观察可知0<m<1<n且mn＝1.

若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，

从图象分析应有f(m2)＝2，

∴log3m2＝－2，∴m2＝.从而m＝，n＝3，故＝9.

答案　9

16.(2020·成都检测)已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是________.

解析　函数f(x)＝的图象如图所示，不妨令a<b<c，

由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1<c<2 020，

所以2<a＋b＋c<2 021.

答案　(2，2 021)

C级　创新猜想

17.(多选题)对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的是(　　)

A.f(x＋2)是偶函数

B.f(x＋2)是奇函数

C.f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数

D.f(x)没有最小值

解析　f(x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误.作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误.

答案　AC