2021高考数学一轮复习学案：第二章2.9函数与方程


§2.9　函数与方程


1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f (x)(x∈D)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系
方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f (x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系

Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象



与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0

概念方法微思考
函数f (x)的图象连续不断，是否可得到函数f (x)只有一个零点？
提示　不能．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　×　)
(2)函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f (a)·f (b)<0.(　×　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　√　)
(4)f (x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x) 题组二　教材改编
2．函数f (x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　由f′(x)＝ex＋3>0，得f (x)在R上单调递增，又f (－1)＝－3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x)有且只有一个零点．
3．若函数f (x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，4)
题组三　易错自纠
4．已知函数f (x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则(　　)
A．x1 C．x2 答案　C
解析　作出y＝x与y＝(x>0)，y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示，可知选C.

5．若函数f (x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．[1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
答案　C
解析　当a＝0时，函数的零点是x＝－1，不符合题意．
当a≠0时，若Δ>0，f (0)·f (1)<0，则a>1.
若Δ＝0，即a＝－，函数的零点是x＝－2，不符合题意，故选C.
6．(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．函数f (x)＝x＋1的零点为(－1,0)
B．函数f (x)＝x＋1的零点为－1
C．函数f (x)的零点，即函数f (x)的图象与x轴的交点
D．函数f (x)的零点，即函数f (x)的图象与x轴的交点的横坐标
答案　BD
解析　根据函数零点的定义，可知f (x)＝x＋1的零点为－1.函数y＝f (x)的零点，即函数y＝
f (x)的图象与x轴的交点的横坐标，
因此B，D正确，A，C错误.

函数零点所在区间的判定
1．函数f (x)＝ln x－的零点所在的区间是(　　)
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
答案　B
解析　函数f (x)＝ln x－在(1，＋∞)上是增函数，且在(1，＋∞)上连续．因为f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3－1>0，所以f (2)f (3)<0，所以函数的零点所在的区间是(2,3)．
2．若a A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案　A
解析　函数y＝f (x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a0，f (b)＝(b－c)(b－a)<0，f (c)＝(c－a)(c－b)>0.
所以f (a)f (b)<0，f (b)f (c)<0，即f (x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
3．已知函数f (x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2 答案　2
解析　对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内，∴函数f (x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.

思维升华 判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理．对于含有参数的函数的零点区间问题，往往要结合图象进行分析，一般是转化为两函数图象的交点，分析其横坐标的情况进行求解．
函数零点个数的判定
例1 (1)函数f (x)＝的零点个数是________．
答案　2
解析　当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，
所以在(－∞，0]上，f (x)有一个零点；
当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，
所以f (x)在(0，＋∞)上是增函数．
又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x)的零点个数为2.
(2)(2019·秦皇岛模拟)函数f (x)＝的零点个数是________．
答案　3
解析　当x>0时，作出函数y＝ln x和y＝x2－2x的图象，
由图知，当x>0时，f (x)有2个零点；

当x≤0时，由f (x)＝0，得x＝－.
综上，f (x)有3个零点．
(3)函数f (x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　方法一　∵f (0)f (1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，
∴函数f (x)在区间(0,1)内有且只有1个零点．
方法二　设y1＝2x，y2＝2－x3，
在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，

在区间(0,1)内，两图象的交点个数即为f (x)的零点个数．
故函数f (x)在区间(0,1)内有且只有1个零点．
思维升华　函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点：令f (x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f (a)·f (b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
跟踪训练1　(1)已知函数f (x)＝则函数g(x)＝f (1－x)－1的零点个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　g(x)＝f (1－x)－1
＝
＝
易知当x≥1时，函数g(x)有1个零点；当x<1时，函数g(x)有2个零点，所以函数g(x)的零点共有3个，故选C.
(2)函数f (x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　令f (x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝x，设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x)有2个零点．

函数零点的应用
命题点1　根据函数零点个数求参数
例2 (1)(2019·汕头质检)若函数f (x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C. D.
答案　D
解析　由题意知方程ax＝x2＋1在上有实数解，
即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.
(2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x)＝g(x)＝f (x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案　C
解析　令h(x)＝－x－a，
则g(x)＝f (x)－h(x)．
在同一坐标系中画出y＝f (x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．

若g(x)存在2个零点，则y＝f (x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点．
由图知－a≤1，∴a≥－1.

命题点2　根据函数零点的范围求参数
例3 (1)若函数f (x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是____________．
答案　
解析　依题意，结合函数f (x)的图象分析可知，m需满足
即
解得 (2)已知定义在R上的偶函数f (x)满足f (x－4)＝f (x)，且在区间[0,2]上f (x)＝x，若关于x的方程f (x)＝logax有三个不同的实根，则a的取值范围为________．
答案　(，)
解析　由f (x－4)＝f (x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f (x－4)＝f (x)＝f (4－x)，
所以函数图象关于x＝2对称，且f (2)＝f (6)＝f (10)＝2，
要使方程f (x)＝logax有三个不同的根，
则满足如图，解得
故a的取值范围是(，)．
思维升华 根据函数零点的情况求参数有三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
跟踪训练2　(1)方程(a－2x)＝2＋x有解，则实数a的最小值为________．
答案　1
解析　若方程(a－2x)＝2＋x有解，则2＋x＝a－2x有解，即x＋2x＝a有解，因为
x＋2x≥1，当且仅当x＝－1时等号成立，故a的最小值为1.
(2)(2019·岳阳检测)对任意实数a，b定义运算：a⊗b＝设f (x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y＝f (x)＋k有3个零点，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－1,3] B．[－3,1]
C．[－1,2) D．[－2,1)
答案　D
解析　令x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3，
令x2－1－(4＋x)<1，得－2 则f (x)＝
作出函数f (x)的图象，如图所示．

函数y＝f (x)＋k有3个零点，等价于函数y＝f (x)的图象与直线y＝－k有3个交点，
根据函数图象可得－1<－k≤2，即－2≤k<1.故选D.

例　(1)方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　(数形结合法)
∵a>0，∴a2＋1>1.
而y＝|x2－2x|的图象如图，

∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．
即方程有2个解．
(2)若函数f (x)＝|logax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则(　　)
A．mn＝1 B．mn>1
C．0 答案　C
解析　由题设可得|logax|＝x，不妨设a>1，m1，且－logam＝m，logan＝n，以上两式两边相减可得loga(mn)＝n－m<0，所以0
(3)设f (x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f (2－x)＝f (2＋x)，且当x∈[－2,0]时，f (x)＝x－1，若关于x的方程f (x)－loga(x＋2)＝0(a>1)在区间(－2，6]内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是(　　)
A．(，) B．(，2)
C．(，2] D．(，2]
答案　B
解析　∵f (x)为偶函数，故f (2－x)＝f (x－2)，
∴f (x＋2)＝f (x－2)，故f (x)的周期为4，
∵x∈[－2,0]时，f (x)＝x－1，故f (x)在(－2,6]上的图象如图所示，

∵f (x)－loga(x＋2)＝0有3个不同的解，
∴f (x)的图象与y＝loga(x＋2)的图象有3个不同的交点，故即
解得 素养提升　直观想象是指借助几何直观想象和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的思想过程．函数的零点问题可以转化为两个函数图象的交点问题，可以通过画图分析图象的特征、图象间的关系解决．