2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析2.8　函数与方程 学案

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核心考点·精准研析

考点一　判断函数零点所在区间 

1.已知实数a>1,0<b<1,则函数f(x)=ax+x-b的零点所在的区间是 (　　)

A.(-2,-1)     B.(-1,0)

C.(0,1)      D.(1,2)

2.设函数f(x)=x-ln x,则函数y=f(x) (　　)

A.在区间,(1,e)内均有零点

B.在区间,(1,e)内均无零点

C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点

D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点

3.(2020·扬州模拟)设函数y=x2与y=的图象交点为(x0,y0),则x0所在区间是              (　　)

A.(0,1)      B.(1,2)

C.(2,3)      D.(3,4)

4.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间              (　　)

世纪金榜导学号

A.(a,b)和(b,c)内   B.(-∞,a)和(a,b)内

C.(b,c)和(c,+∞)内  D.(-∞,a)和(c,+∞)内

【解析】1.选B.因为a>1,0<b<1,f(x)=ax+x-b,所以f(-1)=-1-b<0,f(0)=1-b>0,由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点.

2.选D.令f(x)=0得x=ln x.作出函数y=x和y=ln x的图象,如图,

显然y=f(x)在内无零点,在(1,e)内有零点.

3.选B.因为函数y=x2与y=的图象交点为(x0,y0),则x0是方程x2=的解,也是函数f(x)=x2-的零点.

因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(2)=22-1=3>0,f(1)=1-2=-1<0,所以f(1)·f(2)<0.由零点存在性定理可知,方程的解在(1,2)内.

4.选A.因为a<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函数零点存在性定理可知:在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点;因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内.

　确定函数零点所在区间的常用方法

(1)利用函数零点存在性定理.

(2)数形结合法.

【秒杀绝招】　用特殊值法可解T2.

考点二　确定函数零点的个数 

【典例】1.函数f(x)=|x-2|-ln x零点的个数为 (　　)

A.0   B.1   C.2   D.3

2.(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为

(　　)

A.2   B.3   C.4   D.5

3.已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当x∈[-1,1]时,f(x)=2|x|-1,则函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是              世纪金榜导学号(　　)

A.9   B.10   C.11   D.18

【解题导思】

【解析】1.选C.作出函数y=|x-2|与g(x)=ln x的图象,如图所示.由图象可知两个函数的图象有两个交点,即函数f(x)在定义域内有2个零点.

2.选B.令f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0,

则sin x=0或cos x=1,又x∈[0,2π],所以x=0,π,2π,共三个零点.

3.选B.在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=|lg x|的大致图象如图,由图象可知,它们共有10个不同的交点,因此函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是10.

　函数零点个数的判断方法

(1)直接求零点.

(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数.

(3)利用函数图象的交点个数判断.

1.函数f(x)=3x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是 (　　)

A.0   B.1   C.2   D.3

【解析】选B.由题意知f(x)单调递增,且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=3+1-2=2>0,即f(0)·f(1)<0且函数f(x)在(0,1)内连续不断,所以f(x)在区间(0,1)内有一个零点.

2.已知函数f(x)=则函数y=f(x)+3x的零点个数是 (　　)

A.0   B.1   C.2   D.3

【解析】选C.令f(x)+3x=0,则或解得x=0或x=-1,所以函数y=f(x)+3x的零点个数是2.

3.已知f(x)=则函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点个数是________. 

【解析】由2[f(x)]2-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1,作出函数y=f(x)的图象.

由图象知y=与y=f(x)的图象有2个交点,y=1与y=f(x)的图象有3个交点.

因此函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点有5个.

答案:5

考点三　函数零点的应用 

由零点的个数求参数值或范围

【典例】已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是              (　　)

A.[-1,0)       B.[0,+∞)

C.[-1,+∞)      D.[1,+∞)

【解析】选C.画出函数f(x)的图象,y=ex在y轴右侧的图象去掉,再画出直线y=-x,并上下移动,可以发现当直线过点(0,1)时,直线与函数图象有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图象有两个交点,即方程f(x)=-x-a有两个解,也就是函数g(x)有两个零点,此时满足-a≤1,即a≥-1.

已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题的关键是什么?

提示:关键是将函数零点个数问题转化为方程解的个数,或两个函数图象交点的个数问题,再去求解.

由函数有无零点求参数

【典例】若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是

________.世纪金榜导学号 

【解析】因为函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,即方程a=4x-2x在[-1,1]上有解.

方程a=4x-2x可变形为a=-,

因为x∈[-1,1],所以2x∈,

令2x=t,t∈,a=-,0≤t-≤,0≤≤,-≤-≤2,

所以a=-的范围为,

所以实数a的取值范围是.

答案:

函数有(或无)零点如何求参数的范围?

提示:先分离参数,再依据有(或无)零点得出等式(或不等式),最后得出结论.

与函数零点有关的比较大小

【典例】(2019·承德模拟)已知a是函数f(x)=2x-lox的零点,若0<x0<a,则f(x0)的值满足              (　　)

世纪金榜导学号

A.f(x0)=0        B.f(x0)>0

C.f(x0)<0        D.f(x0)的符号不确定

【解析】选C.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=lox的图象,由图象可知,当0<x0<a时,有<lox0,即f(x0)<0.

与函数零点有关的函数值如何比较大小?

提示:在同一平面直角坐标系中画出图象,根据图象所处的上下位置确定.

1.若函数f(x)=|2x-4|-a存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a的取值范围为              (　　)

A.(0,4)       B.(0,+∞)

C.(3,4)       D.(3,+∞)

【解析】选C.令g(x)=|2x-4|,其图象如图所示,

若f(x)=|2x-4|-a存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a∈(3,4).

2.已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为              (　　)

A.a>b>c       B.b>c>a

C.c>a>b       D.b>a>c

【解析】选B.在同一直角坐标系中画出y=2x,y=log2x,y=x3与y=-x的图象,前3个图象与y=-x交点的横坐标依次为a,b,c.如图,可知b>c>a.故选B.

3.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=-x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为              (　　)

A.       B.

C.∪{1}     D.∪{1}

【解析】选D.作出函数f(x)=的图象,

以及直线y=-x,如图,

关于x的方程f(x)=-x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,即为y=f(x)和y=-x+a(a∈R)的图象有两个交点,平移直线y=-x,考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时,有两个交点,可得a=或a=,

考虑直线y=-x+a(a∈R)与y=在x>1时相切,ax-x2=1,由Δ=a2-1=0,解得a=1(-1舍去),

所以a的取值范围是∪.

4.方程2x+3x=k的解在[1,2)内,则k的取值范围是________. 

【解析】令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)·f(2)<0,即(5-k)(10-k)<0,解得5<k<10.

又当f(1)=0时,k=5.则方程2x+3x=k的解在[1,2)内,k的取值范围是[5,10).

答案:[5,10)

1.(2020·包头模拟)已知函数f(x)=ln x+3x-8的零点x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N*,则a+b=              (　　)

A.0   B.2   C.5   D.7

【解析】选C.因为f(2)=ln 2+6-8=ln 2-2<0,f(3)=ln 3+9-8=ln 3+1>0,且函数f(x)=ln x+3x-8在(0,+∞)上为单调递增函数,所以x0∈[2,3],即a=2,b=3,所以a+b=5.

2.已知a为正常数,f(x)=若∃x1,x2∈R,使f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围是________. 

【解析】由于a>0,函数y=x2+ax+3在[0,+∞)上单调递增,当x=0时有最小值为3.在x<0时,函数为增函数,要使x1,x2存在,使得f(x1)=f(x2),则需20+a>3,解得a>2.

答案:(2,+∞)

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