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2021新高考数学（江苏专用）一轮复习学案：第二章第8节函数与方程
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第8节 函数与方程
考试要求 1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系；2.结合具体连续函数及其图象的特点，理解函数零点存在定理.
知 识 梳 理
1.函数的零点
(1)函数零点的概念
我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实数根⇔y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
2
1
0
[常用结论与微点提醒]
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.
诊 断 自 测
1.判断下列结论的正误. (在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).( )
(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( )
解析 (1)f(x)＝lg x的零点是1，故(1)错.
(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错.
答案 (1)× (2)× (3)√
2.(教材必修1P93例3改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
f(x)
－4
－2
1
4
7
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为( )
A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)
解析 由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2，3)内有零点.
答案 B
3.(新教材必修第一册P143例1改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 由f′(x)＝ex＋3>0，得f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，则f(－1)·f(0)<0.因此函数f(x)有且只有一个零点.
答案 B
4.(2020·北京模拟)f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间必有零点( )
A.(－1，0) B.(0，1)
C.(1，2) D.(2，3)
解析 f(－1)＝－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因为f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(1，2)内存在零点.
答案 C
5.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 2sin x－sin 2x＝0，得sin x＝0或cos x＝1.
又x∈[0，2π]，由sin x＝0，得x＝0，π，2π.
由cos x＝1，得x＝0，2π.
∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π，即f(x)在[0，2π]上有三个零点.
答案 B
6.(2020·日照调研)若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是________.
解析 m＝－x2＋2x在(0，4)上有解，
又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴y＝－x2＋2x在(0，4)上的值域为(－8，1]，
∴－8
考点一 函数零点所在区间的判定
【例1】 (1)已知函数f(x)＝为奇函数，g(x)＝ln x－2f(x)，则函数g(x)的零点所在区间为( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
(2)设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________.
解析 (1)由函数f(x)＝为奇函数，可得a＝0，
则g(x)＝ln x－2f(x)＝ln x－.
又g(2)＝ln 2－1<0，g(3)＝ln 3－>0，
所以g(2)·g(3)<0.
故函数g(x)的零点所在区间为(2，3).
(2)设f(x)＝x3－，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝的图象如图所示.
因为f(1)＝1－＝－1<0，
f(2)＝8－＝7>0，
所以f(1)·f(2)<0，所以x0∈(1，2).
答案 (1)C (2)(1，2)
规律方法 1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进行分析判断.
【训练1】 (2020·南通模拟)函数f(x)＝x－4的零点所在的区间是( )
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
解析 函数f(x)＝x－4在R上的图象连续不间断.
又f(1)＝1－2<0，f(2)＝2－1>0，∴f(1)·f(2)<0.
故函数f(x)的零点所在的区间为(1，2).
答案 B
考点二 确定函数零点的个数
【例2】 (1)(2020·常州监测)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)(2020·北京西城区模拟)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 (1)当x>1时，令f(x)＝ln(x－1)＝0，得x＝2.
当x≤1时，令f(x)＝2x－1－1＝0，得x＝1.
∴函数f(x)的零点为x＝1与x＝2，有2个零点.
(2)由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象，如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
答案 (1)C (2)C
规律方法 函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.
【训练2】 (1)(一题多解)函数f(x)＝的零点个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
(2)函数f(x)＝－cos x在[0，＋∞)内( )
A.没有零点 B.有且仅有一个零点
C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点
解析 (1)法一 由f(x)＝0得或
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点.
法二 函数f(x)的图象如所示，
由图象知函数f(x)共有2个零点.
(2)当x∈(0，1]时，因为f′(x)＝＋sin x，>0，sin x>0，所以f′(x)>0，故f(x)在[0，1]上单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝1－cos 1>0，所以f(x)在[0，1]内有唯一零点.当x>1时，f(x)＝－cos x>0，故函数f(x)在[0，
＋∞)上有且仅有一个零点.
答案 (1)B (2)B
考点三 函数零点的应用 多维探究
角度1 根据函数零点个数求参数
【例3－1】 (2020·苏北四市联考)已知f(x)＝
若关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同实根，则实数a的取值范围是( )
A.∪[1，2) B.∪[1，2)
C.(1，2) D.[1，2)
解析 依题意直线y＝a与y＝f(x)的图象有两个交点.
作出y＝a，y＝f(x)的图象，如图所示.
又当x≤1时，f(x)＝∈(0，1]；
当x>1时，f(x)＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2，
∴当x＝2时，f(x)有最大值f(2)＝2.
结合图象，当a∈∪[1，2)时，两图象有2个交点.
此时，方程a＝f(x)有两个不同实根.
答案 B
角度2 根据零点的范围求参数
【例3－2】 (1)方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________.
(2)(2020·合肥模拟)已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2 020＋(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
A.a>c>d>b B.a>b>c>d
C.c>d>a>b D.c>a>b>d
解析 (1)令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数.当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5
综上，实数k的取值范围是[5，10).
(2)根据题意，设g(x)＝(x－a)(x－b)，
则f(x)＝g(x)＋2 020，
令g(x)＝0，则x＝a或x＝b，
则函数g(x)的图象与x轴的交点为(a，0)和(b，0)，如图.
令f(x)＝2 020＋(x－a)(x－b)＝0，即g(x)＝－2 020，
因为f(x)＝2 020＋(x－a)(x－b)的零点为c，d，
所以g(x)的图象与直线y＝－2 020的交点为(c，－2 020)和(d，－2 020)，则有a>c>d>b.
答案 (1)[5，10) (2)A
规律方法 1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值.
2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
【训练3】 (1)(角度1)(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝( )
A.－ B. C. D.1
(2)(多填题)(角度2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈
[－2，0]时，f(x)＝－1，则f(3)＝________；若在(－2，6)内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞0且a≠1)有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)f(x)＝(x－1)2－1＋a(ex－1＋e1－x)，则f(2－x)＝(2－x－1)2－1＋a[e2－x－1＋e1－(2－x)]＝(1－x)2－1＋a(ex－1＋e1－x)＝f(x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称.
若f(x)有唯一的零点，则只有f(1)＝0，∴a＝.
或：作出y＝a(ex－1＋e－x＋1)与y＝－x2＋2x的图象.
结合函数的最值求解(读者自行完成).
(2)由f(x＋2)＝f(2－x)，得f(x)＝f(4－x)，即函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称.又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(4－x)＝f(x)＝f(－x)，即f(4＋x)＝f(x)，则f(x)是以4为周期的函数.则f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－1＝－1.画出函数f(x)与函数y＝loga(x＋2)在(－2，6)上的图象如图所示.要使函数f(x)与y＝loga(x＋2)的图象有4个不同的交点，则有解得a＞8，即实数a的取值范围是(8，＋∞).
答案 (1)C (2)－1 (8，＋∞)
直观想象——解嵌套函数的零点问题
函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.
类型1 嵌套函数零点个数的判断
【例1】 已知f(x)＝则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________.
解析 由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1，
作出函数y＝f(x)的图象如图所示.
由图象知y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点.
因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个.
答案 5
【例2】 已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－的零点个数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析 令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)－2t－＝0的根的问题.
令y＝f(t)－2t－＝0，则f(t)＝2t＋.
分别作出y＝f(t)和y＝2t＋的图象，如图①，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2(不妨设t1
当f(x)＝t2时，结合图象，有3个解.
所以y＝f[f(x)]－2f(x)－共有4个零点.
答案 A
思维升华 1.上述两个题目涉及嵌套函数零点个数的判断.求解的主要步骤：(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点.(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数.
2.抓住两点：(1)转化换元.(2)充分利用函数的图象与性质.
类型2 求嵌套函数零点中的参数
【例3】 函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.
解析 设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图).
当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点.
设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1.
当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解.综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点.
答案 [－1，＋∞)
思维升华 1.求解本题抓住分段函数的图象性质，由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f(x)的图象确定零点的个数.
2.含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合.
A级 基础巩固
一、选择题
1.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B.－2，0 C. D.0
解析 当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；
当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，
又因为x>1，所以此时方程无解.
综上，函数f(x)的零点只有0.
答案 D
2.若a
C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)
解析 ∵a0，
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.
答案 A
3.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A.(1，3) B.(1，2)
C.(0，3) D.(0，2)
解析 因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，
所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0
4.已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( )
A.(－∞，－1) B.(－∞，1)
C.(－1，0) D.[－1，0)
解析 当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.
因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，
∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.
答案 D
5.已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )
A. B. C.－ D.－
解析 令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，
所以2x2＋1＝x－λ，又函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，所以2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
答案 C
6.已知函数f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零点依次为a，b，c，则( )
A.a
令g(x)＝log2x＋x＋1＝0，则0
7.(2020·山东省实验中学检测)已知函数f(x)＝(a∈R)，若关于x的方程f(x)＝2a恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C.∪(1，＋∞) D.R
解析 作出函数f(x)的图象如图：
因为关于x的方程f(x)＝2a恰有两个不同实根，
所以y＝2a与函数y＝f(x)的图象恰有两个交点，结合图象，
得2a>2或<2a≤1.
解得a>1或
8.已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是( )
A.(－2，2) B.(－2，1) C.(0，2) D.(1，3)
解析 当x<0时，f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)＝0，所以x＝－1(舍去正根)，
故f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减，
又f(x)＝ln(x＋1)在[0，＋∞)上单调递增，
则函数f(x)的图象如图所示.
当x<0时，f(x)极大值＝f(－1)＝2，且f(0)＝0，
故当k∈(0，2)时，y＝f(x)－k有三个不同的零点.
答案 C
二、填空题
9.已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________.
解析 依题意，f(1)＝＋a＝0，∴a＝－.
答案 －
10.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数是________.
解析 由题意知，cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]的零点个数为3.
答案 3
11.(2020·济南质检)若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于________.
解析 x1，x2分别是函数y＝ex，函数y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，所以A，B两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.
答案 1
12.函数f(x)＝(a∈R)，当0≤x<1时，f(x)＝1－x，则f(x)的零点个数为________.
解析 当x<0时，必存在x0＝－e－a<0，使得f(x0)＝0，因此对任意实数a，f(x)在(－∞，0)内必有一个零点；当x≥0时，f(x)是周期为1的周期函数，且0≤x<1时，f(x)＝1－x.因此可画出函数的大致图象，如图所示，可知函数f(x)的零点个数为1.
答案 1
B级 能力提升
13.已知函数f(x)＝a＋log2(x2＋a)(a>0)的最小值为8，则实数a所在的区间是( )
A.(5，6) B.(7，8) C.(8，9) D.(9，10)
解析 由于f(x)在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，
∴f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8.
令g(a)＝a＋log2a－8，a>0.
则g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0，
又g(a)在(0，＋∞)上是增函数，
∴实数a所在的区间为(5，6).
答案 A
14.(2019·天津卷)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝－x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为( )
A. B.
C.∪{1} D.∪{1}
解析 画出函数y＝f(x)的图象，如图.
方程f(x)＝－x＋a的解的个数，即为函数y＝f(x)的图象与直线l：y＝－x＋a的公共点的个数.
当直线l经过点A时，有2＝－×1＋a，a＝；
当直线l经过点B时，有1＝－×1＋a，a＝；
由图可知，a∈时，函数y＝f(x)的图象与l恰有两个交点.
另外，当直线l与曲线y＝，x>1相切时，恰有两个公共点，此时a>0.
联立得＝－x＋a，即x2－ax＋1＝0，
由Δ＝a2－4××1＝0，得a＝1(舍去负根).
综上，a∈∪{1}.
答案 D
15.已知函数f(x)＝ex－e－x＋4，若方程f(x)＝kx＋4(k>0)有三个不同的实根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________.
解析 易知y＝ex－e－x为奇函数，且其图象向上平移4个单位，得y＝f(x)的图象.
所以y＝f(x)的图象关于点(0，4)对称，
又y＝kx＋4过点(0，4)且关于点(0，4)对称.
∴方程f(x)＝kx＋4的三个根中有一个为0，且另两根之和为0.因此x1＋x2＋x3＝0.
答案 0
16.已知函数f(x)＝若方程f(x)＝kx－2有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________.
解析 由题意知函数f(x)的图象与恒过定点(0，－2)的直线y＝kx－2有两个交点，作出y＝f(x)与y＝kx－2的图象，如图所示.
当直线y＝kx－2过点(1，1)时，k＝3.
结合图象知，当k≥3时，直线与y＝f(x)图象有两个交点.
答案 [3，＋∞)
C级 创新猜想
17.(新定义题)已知a，b∈R，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝2x＋1⊗(2－4x)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )
A.(0，1) B.(0，2)∪(2，3)
C.(0，2) D.(0，－1)∪(－1，2)
解析 若2x＋1－(2－4x)≤1，则(2x)2＋2×2x－3≤0，即2x≤1，解得x≤0；若
2x＋1－(2－4x)＞1，则(2x)2＋2×2x－3＞0，解得2x＞1或2x＜－3(舍去)，即x＞0.∴f(x)＝作出函数f(x)的图象和y＝c的图象如图所示.∵y＝f(x)－c有两个零点，∴f(x)＝c有两个解，∴0＜c＜1.故选A.
答案 A
18.(多填题)(2018·浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝
(1)当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________.
(2)若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________.
解析 (1)若λ＝2，当x≥2时，令x－4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2－4x＋3<0，解得1
当x<λ时，x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3.
因为函数f(x)恰有2个零点，
结合如图函数的图象知，
1<λ≤3或λ>4.
答案 (1)(1，4) (2)(1，3]∪(4，＋∞)
第8节 函数与方程
考试要求 1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系；2.结合具体连续函数及其图象的特点，理解函数零点存在定理.
知 识 梳 理
1.函数的零点
(1)函数零点的概念
我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实数根⇔y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
2
1
0
[常用结论与微点提醒]
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.
诊 断 自 测
1.判断下列结论的正误. (在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).( )
(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( )
解析 (1)f(x)＝lg x的零点是1，故(1)错.
(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错.
答案 (1)× (2)× (3)√
2.(教材必修1P93例3改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
f(x)
－4
－2
1
4
7
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为( )
A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)
解析 由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2，3)内有零点.
答案 B
3.(新教材必修第一册P143例1改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 由f′(x)＝ex＋3>0，得f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，则f(－1)·f(0)<0.因此函数f(x)有且只有一个零点.
答案 B
4.(2020·北京模拟)f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间必有零点( )
A.(－1，0) B.(0，1)
C.(1，2) D.(2，3)
解析 f(－1)＝－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因为f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(1，2)内存在零点.
答案 C
5.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 2sin x－sin 2x＝0，得sin x＝0或cos x＝1.
又x∈[0，2π]，由sin x＝0，得x＝0，π，2π.
由cos x＝1，得x＝0，2π.
∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π，即f(x)在[0，2π]上有三个零点.
答案 B
6.(2020·日照调研)若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是________.
解析 m＝－x2＋2x在(0，4)上有解，
又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴y＝－x2＋2x在(0，4)上的值域为(－8，1]，
∴－8
考点一 函数零点所在区间的判定
【例1】 (1)已知函数f(x)＝为奇函数，g(x)＝ln x－2f(x)，则函数g(x)的零点所在区间为( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
(2)设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________.
解析 (1)由函数f(x)＝为奇函数，可得a＝0，
则g(x)＝ln x－2f(x)＝ln x－.
又g(2)＝ln 2－1<0，g(3)＝ln 3－>0，
所以g(2)·g(3)<0.
故函数g(x)的零点所在区间为(2，3).
(2)设f(x)＝x3－，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝的图象如图所示.
因为f(1)＝1－＝－1<0，
f(2)＝8－＝7>0，
所以f(1)·f(2)<0，所以x0∈(1，2).
答案 (1)C (2)(1，2)
规律方法 1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进行分析判断.
【训练1】 (2020·南通模拟)函数f(x)＝x－4的零点所在的区间是( )
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
解析 函数f(x)＝x－4在R上的图象连续不间断.
又f(1)＝1－2<0，f(2)＝2－1>0，∴f(1)·f(2)<0.
故函数f(x)的零点所在的区间为(1，2).
答案 B
考点二 确定函数零点的个数
【例2】 (1)(2020·常州监测)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)(2020·北京西城区模拟)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 (1)当x>1时，令f(x)＝ln(x－1)＝0，得x＝2.
当x≤1时，令f(x)＝2x－1－1＝0，得x＝1.
∴函数f(x)的零点为x＝1与x＝2，有2个零点.
(2)由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象，如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
答案 (1)C (2)C
规律方法 函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.
【训练2】 (1)(一题多解)函数f(x)＝的零点个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
(2)函数f(x)＝－cos x在[0，＋∞)内( )
A.没有零点 B.有且仅有一个零点
C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点
解析 (1)法一 由f(x)＝0得或
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点.
法二 函数f(x)的图象如所示，
由图象知函数f(x)共有2个零点.
(2)当x∈(0，1]时，因为f′(x)＝＋sin x，>0，sin x>0，所以f′(x)>0，故f(x)在[0，1]上单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝1－cos 1>0，所以f(x)在[0，1]内有唯一零点.当x>1时，f(x)＝－cos x>0，故函数f(x)在[0，
＋∞)上有且仅有一个零点.
答案 (1)B (2)B
考点三 函数零点的应用 多维探究
角度1 根据函数零点个数求参数
【例3－1】 (2020·苏北四市联考)已知f(x)＝
若关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同实根，则实数a的取值范围是( )
A.∪[1，2) B.∪[1，2)
C.(1，2) D.[1，2)
解析 依题意直线y＝a与y＝f(x)的图象有两个交点.
作出y＝a，y＝f(x)的图象，如图所示.
又当x≤1时，f(x)＝∈(0，1]；
当x>1时，f(x)＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2，
∴当x＝2时，f(x)有最大值f(2)＝2.
结合图象，当a∈∪[1，2)时，两图象有2个交点.
此时，方程a＝f(x)有两个不同实根.
答案 B
角度2 根据零点的范围求参数
【例3－2】 (1)方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________.
(2)(2020·合肥模拟)已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2 020＋(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
A.a>c>d>b B.a>b>c>d
C.c>d>a>b D.c>a>b>d
解析 (1)令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数.当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5
综上，实数k的取值范围是[5，10).
(2)根据题意，设g(x)＝(x－a)(x－b)，
则f(x)＝g(x)＋2 020，
令g(x)＝0，则x＝a或x＝b，
则函数g(x)的图象与x轴的交点为(a，0)和(b，0)，如图.
令f(x)＝2 020＋(x－a)(x－b)＝0，即g(x)＝－2 020，
因为f(x)＝2 020＋(x－a)(x－b)的零点为c，d，
所以g(x)的图象与直线y＝－2 020的交点为(c，－2 020)和(d，－2 020)，则有a>c>d>b.
答案 (1)[5，10) (2)A
规律方法 1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值.
2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
【训练3】 (1)(角度1)(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝( )
A.－ B. C. D.1
(2)(多填题)(角度2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈
[－2，0]时，f(x)＝－1，则f(3)＝________；若在(－2，6)内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞0且a≠1)有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)f(x)＝(x－1)2－1＋a(ex－1＋e1－x)，则f(2－x)＝(2－x－1)2－1＋a[e2－x－1＋e1－(2－x)]＝(1－x)2－1＋a(ex－1＋e1－x)＝f(x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称.
若f(x)有唯一的零点，则只有f(1)＝0，∴a＝.
或：作出y＝a(ex－1＋e－x＋1)与y＝－x2＋2x的图象.
结合函数的最值求解(读者自行完成).
(2)由f(x＋2)＝f(2－x)，得f(x)＝f(4－x)，即函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称.又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(4－x)＝f(x)＝f(－x)，即f(4＋x)＝f(x)，则f(x)是以4为周期的函数.则f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－1＝－1.画出函数f(x)与函数y＝loga(x＋2)在(－2，6)上的图象如图所示.要使函数f(x)与y＝loga(x＋2)的图象有4个不同的交点，则有解得a＞8，即实数a的取值范围是(8，＋∞).
答案 (1)C (2)－1 (8，＋∞)
直观想象——解嵌套函数的零点问题
函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.
类型1 嵌套函数零点个数的判断
【例1】 已知f(x)＝则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________.
解析 由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1，
作出函数y＝f(x)的图象如图所示.
由图象知y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点.
因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个.
答案 5
【例2】 已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－的零点个数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析 令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)－2t－＝0的根的问题.
令y＝f(t)－2t－＝0，则f(t)＝2t＋.
分别作出y＝f(t)和y＝2t＋的图象，如图①，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2(不妨设t1
当f(x)＝t2时，结合图象，有3个解.
所以y＝f[f(x)]－2f(x)－共有4个零点.
答案 A
思维升华 1.上述两个题目涉及嵌套函数零点个数的判断.求解的主要步骤：(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点.(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数.
2.抓住两点：(1)转化换元.(2)充分利用函数的图象与性质.
类型2 求嵌套函数零点中的参数
【例3】 函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.
解析 设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图).
当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点.
设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1.
当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解.综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点.
答案 [－1，＋∞)
思维升华 1.求解本题抓住分段函数的图象性质，由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f(x)的图象确定零点的个数.
2.含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合.
A级 基础巩固
一、选择题
1.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B.－2，0 C. D.0
解析 当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；
当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，
又因为x>1，所以此时方程无解.
综上，函数f(x)的零点只有0.
答案 D
2.若a
C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)
解析 ∵a
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.
答案 A
3.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A.(1，3) B.(1，2)
C.(0，3) D.(0，2)
解析 因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，
所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0
4.已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( )
A.(－∞，－1) B.(－∞，1)
C.(－1，0) D.[－1，0)
解析 当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.
因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，
∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.
答案 D
5.已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )
A. B. C.－ D.－
解析 令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，
所以2x2＋1＝x－λ，又函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，所以2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
答案 C
6.已知函数f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零点依次为a，b，c，则( )
A.a
令g(x)＝log2x＋x＋1＝0，则0
7.(2020·山东省实验中学检测)已知函数f(x)＝(a∈R)，若关于x的方程f(x)＝2a恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C.∪(1，＋∞) D.R
解析 作出函数f(x)的图象如图：
因为关于x的方程f(x)＝2a恰有两个不同实根，
所以y＝2a与函数y＝f(x)的图象恰有两个交点，结合图象，
得2a>2或<2a≤1.
解得a>1或
8.已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是( )
A.(－2，2) B.(－2，1) C.(0，2) D.(1，3)
解析 当x<0时，f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)＝0，所以x＝－1(舍去正根)，
故f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减，
又f(x)＝ln(x＋1)在[0，＋∞)上单调递增，
则函数f(x)的图象如图所示.
当x<0时，f(x)极大值＝f(－1)＝2，且f(0)＝0，
故当k∈(0，2)时，y＝f(x)－k有三个不同的零点.
答案 C
二、填空题
9.已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________.
解析 依题意，f(1)＝＋a＝0，∴a＝－.
答案 －
10.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数是________.
解析 由题意知，cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]的零点个数为3.
答案 3
11.(2020·济南质检)若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于________.
解析 x1，x2分别是函数y＝ex，函数y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，所以A，B两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.
答案 1
12.函数f(x)＝(a∈R)，当0≤x<1时，f(x)＝1－x，则f(x)的零点个数为________.
解析 当x<0时，必存在x0＝－e－a<0，使得f(x0)＝0，因此对任意实数a，f(x)在(－∞，0)内必有一个零点；当x≥0时，f(x)是周期为1的周期函数，且0≤x<1时，f(x)＝1－x.因此可画出函数的大致图象，如图所示，可知函数f(x)的零点个数为1.
答案 1
B级 能力提升
13.已知函数f(x)＝a＋log2(x2＋a)(a>0)的最小值为8，则实数a所在的区间是( )
A.(5，6) B.(7，8) C.(8，9) D.(9，10)
解析 由于f(x)在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，
∴f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8.
令g(a)＝a＋log2a－8，a>0.
则g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0，
又g(a)在(0，＋∞)上是增函数，
∴实数a所在的区间为(5，6).
答案 A
14.(2019·天津卷)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝－x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为( )
A. B.
C.∪{1} D.∪{1}
解析 画出函数y＝f(x)的图象，如图.
方程f(x)＝－x＋a的解的个数，即为函数y＝f(x)的图象与直线l：y＝－x＋a的公共点的个数.
当直线l经过点A时，有2＝－×1＋a，a＝；
当直线l经过点B时，有1＝－×1＋a，a＝；
由图可知，a∈时，函数y＝f(x)的图象与l恰有两个交点.
另外，当直线l与曲线y＝，x>1相切时，恰有两个公共点，此时a>0.
联立得＝－x＋a，即x2－ax＋1＝0，
由Δ＝a2－4××1＝0，得a＝1(舍去负根).
综上，a∈∪{1}.
答案 D
15.已知函数f(x)＝ex－e－x＋4，若方程f(x)＝kx＋4(k>0)有三个不同的实根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________.
解析 易知y＝ex－e－x为奇函数，且其图象向上平移4个单位，得y＝f(x)的图象.
所以y＝f(x)的图象关于点(0，4)对称，
又y＝kx＋4过点(0，4)且关于点(0，4)对称.
∴方程f(x)＝kx＋4的三个根中有一个为0，且另两根之和为0.因此x1＋x2＋x3＝0.
答案 0
16.已知函数f(x)＝若方程f(x)＝kx－2有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________.
解析 由题意知函数f(x)的图象与恒过定点(0，－2)的直线y＝kx－2有两个交点，作出y＝f(x)与y＝kx－2的图象，如图所示.
当直线y＝kx－2过点(1，1)时，k＝3.
结合图象知，当k≥3时，直线与y＝f(x)图象有两个交点.
答案 [3，＋∞)
C级 创新猜想
17.(新定义题)已知a，b∈R，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝2x＋1⊗(2－4x)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )
A.(0，1) B.(0，2)∪(2，3)
C.(0，2) D.(0，－1)∪(－1，2)
解析 若2x＋1－(2－4x)≤1，则(2x)2＋2×2x－3≤0，即2x≤1，解得x≤0；若
2x＋1－(2－4x)＞1，则(2x)2＋2×2x－3＞0，解得2x＞1或2x＜－3(舍去)，即x＞0.∴f(x)＝作出函数f(x)的图象和y＝c的图象如图所示.∵y＝f(x)－c有两个零点，∴f(x)＝c有两个解，∴0＜c＜1.故选A.
答案 A
18.(多填题)(2018·浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝
(1)当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________.
(2)若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________.
解析 (1)若λ＝2，当x≥2时，令x－4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2－4x＋3<0，解得1
当x<λ时，x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3.
因为函数f(x)恰有2个零点，
结合如图函数的图象知，
1<λ≤3或λ>4.
答案 (1)(1，4) (2)(1，3]∪(4，＋∞)
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