2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第二章第6节　对数与对数函数

第6节　对数与对数函数

考试要求　1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.

知 识 梳 理

1.对数的概念

如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

2.对数的性质、运算性质与换底公式

(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).

(2)对数的运算性质

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R).

(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0).

3.对数函数及其性质

(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).

(2)对数函数的图象与性质

4.反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.

[常用结论与微点提醒]

1.换底公式的两个重要结论

(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).

(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).

2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.

3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)log2x2＝2log2x.(　　)

(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.(　　)

(3)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.(　　)

(4)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.(　　)

解析　(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错.

(2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错.

(4)若0<b<1<a，则当x＞1时，logax＞logbx，故(4)错.

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2.(新教材必修第一册P127T3改编)log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　　)

A.0   B.2   C.4   D.6

解析　原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.

答案　D

3.(老教材必修1P73T3改编)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则(　　)

A.a>b>c    B.a>c>b

C.c>b>a    D.c>a>b

解析　∵0<a<1，b<0，c＝log＝log23>1.

∴c>a>b.

答案　D

4.(2018·全国Ⅲ卷)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)

A.a＋b<ab<0    B.ab<a＋b<0

C.a＋b<0<ab    D.ab<0<a＋b

解析　由题设，得＝log0.30.2>0，＝log0.32<0.

∴0<＋＝log0.30.4<1，即0<<1.

又a>0，b<0，故ab<a＋b<0.

答案　B

5.(2019·武汉月考)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)

A.a>1，c>1

B.a>1，0<c<1

C.0<a<1，c>1

D.0<a<1，0<c<1

解析　由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a<1.又当x＝0时，y>0，即logac>0，所以0<c<1.

答案　D

6.(2020·河北“五个一”名校联盟诊断)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝log2(－x)＋m，且f＝，则m＝________.

解析　由f＝，且f(x)为奇函数.

∴f＝－f＝－，因此log2＋m＝－，则m＝1－.

答案　1－

考点一　对数的运算

【例1】 (1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)

A.   B.10   C.20   D.100

(2)计算：＝________.

解析　(1)由已知，得a＝log2m，b＝log5m，

则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.

解得m＝.

(2)原式＝

＝

＝＝＝＝1.

答案　(1)A　(2)1

规律方法　1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.

2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.

3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.

【训练1】 (1)(2019·北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)

A.1010.1   B.10.1   C.lg 10.1   D.10－10.1

(2)(多填题)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.

解析　(1)依题意，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得lg ＝－1.45－(－26.7)＝25.25.

所以lg ＝25.25×＝10.1，即＝1010.1.

(2)设logb a＝t，则t>1，因为t＋＝，

所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，

所以b2b＝bb2，即2b＝b2，

又a>b>1，解得b＝2，a＝4.

答案　(1)A　(2)4　2

考点二　对数函数的图象及应用

【例2】 (1)(2020·南昌调研)已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的图象可能是(　　)

(2)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.

解析　(1)由lg a＋lg b＝0，得ab＝1.

∴f(x)＝a－x＝＝bx，

因此f(x)＝bx与g(x)＝logbx单调性相同.

A，B，D中的函数单调性相反，只有C的函数单调性相同.

(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距.

由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点.

答案　(1)C　(2)(1，＋∞)

规律方法　1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.

2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

【训练2】 (1)若函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系是(　　)

A.>>   B.>>

C.>>   D.>>

(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是(　　)

A.(0，1)    B.(1，2)

C.(1，2]    D.

解析　(1)由题意可得，，，分别看作函数f(x)＝log2(x＋1)图象上的点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))与原点连线的斜率.结合图象可知当a>b>c时，>>.

(2)由题意，易知a>1.

如图，在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax，x∈(1，2)的图象.

若y＝logax过点(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2.

根据题意，函数y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方.

结合图象，a的取值范围是(1，2].

答案　(1)B　(2)C

考点三　解决与对数函数性质有关的问题　多维探究

角度1　比较大小

【例3－1】 (1)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　　)

A.a＝b<c   B.a＝b>c   C.a<b<c   D.a>b>c

(2)(2019·天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)

A.a<c<b    B.a<b<c

C.b<c<a    D.c<a<b

解析　(1)因为a＝log23＋log2＝log23＝log23>1，b＝log29－log2＝log23＝a，c＝log32<log33＝1.所以a＝b>c.

(2)因为y＝log5x是增函数，

所以a＝log52<log5＝0.5.

因为y＝log0.5x是减函数，

所以b＝log0.50.2>log0.50.5＝1.

因为y＝0.5x是减函数，所以0.5＝0.51<c＝0.50.2<0.50＝1，

即0.5<c<1.所以a<c<b.

答案　(1)B　(2)A

规律方法　比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较，若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.

角度2　解简单的对数不等式

【例3－2】 (1)(2020·成都诊断)已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为(　　)

A.(2，＋∞)    B.∪(2，＋∞)

C.∪(，＋∞)   D.(，＋∞)

(2)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.

解析　(1)因为偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(1)＝2，所以不等式f(log2x)>2，即|log2x|>1，解得0<x<或x>2.

(2)当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，

则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>a，

解得1<a<.

当0<a<1时，f(x)在[1，2]上是增函数，

由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，

知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.

∴8－a<a且8－2a>0，此时解集为∅.

综上可知，实数a的取值范围是.

答案　(1)B　(2)

规律方法　形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论.

角度3　对数型函数性质的综合应用

【例3－3】 (2020·合肥调研)已知函数f(x)＝log2.

(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；

(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；

(3)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围.

解　(1)若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0，

∴log2(1＋a)＝0，∴a＝0.

当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数.

所以a＝0.

(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，则＋a>0恒成立.

即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)，

故只要a≥0，则a的取值范围是[0，＋∞).

(3)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2.

由题设得log2(1＋a)－log2≥2，

则log2(1＋a)≥log2(4a＋2).

∴解得－<a≤－.

故实数a的取值范围是.

规律方法　1.研究函数性质，要树立定义域优先的原则，讨论函数的一切问题都在定义域上进行.

2.解题注意几点：(1)由f(0)＝0，得a＝0，需验证f(－x)＝－f(x).(2)f(x)的定义域为R，转化为不等式恒成立问题.(3)第(3)问运用转化思想，把对数不等式转化为等价的代数不等式.

【训练3】 (1)(角度1)(一题多解)(2018·天津卷)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)

A.a>b>c    B.b>a>c

C.c>b>a    D.c>a>b

(2)(角度2)设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.

(3)(角度3)已知函数f(x)＝loga(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(m，n)，且函数g(x)＝mx2－2bx＋n在[1，＋∞)上单调递减，则实数b的取值范围是________.

解析　(1)法一　因为a＝log2e>1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝log＝log23>log2e＝a>1，所以c>a>b.

法二　log＝log23，如图，在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，由图知c>a>b.

(2)由f(x)是奇函数可得a＝－1，

∴f(x)＝lg，定义域为(－1，1).

由f(x)<0，可得0<<1，∴－1<x<0.

(3)∵函数f(x)＝loga(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(m，n)，令x＋2＝1，求得x＝－1，f(x)＝3，可得函数的图象经过定点(－1，3)，∴m＝－1，n＝3.

∵函数g(x)＝mx2－2bx＋n＝－x2－2bx＋3，

在[1，＋∞)上单调递减，∴－≤1，即b≥－1，

所以实数b的取值范围为[－1，＋∞).

答案　(1)D　(2)(－1，0)　(3)[－1，＋∞)

赢得高分　基本初等函数的应用“瓶颈题”突破

以基本初等函数为载体考查函数的应用，常考常新.命题多与函数零点(不等式)、参数的求值交汇，如2017·全国Ⅲ卷·T15，2018·全国Ⅰ卷·T9，2019·全国Ⅲ卷·T11，解题的关键是活用函数的图象与性质，重视导数的工具作用.

【典例】 (2020·淄博模拟)已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln ＋，对任意a∈R，存在b∈(0，＋∞)，使f(a)＝g(b)，则b－a的最小值为(　　)

A.2－1    B.e2－

C.2－ln 2    D.2＋ln 2

解析　存在b∈(0，＋∞)，使f(a)＝g(b)，

则ea＝ln ＋，令t＝ea＝ln ＋>0.

∴a＝ln t，b＝2et－，则b－a＝2et－－ln t.

设φ(t)＝2et－－ln t，则φ′(t)＝2et－－(t>0).

显然φ′(t)在(0，＋∞)上是增函数，当t＝时，φ′＝0.

∴φ′(t)有唯一零点t＝.

故当t＝时，φ(t)取得最小值φ＝2＋ln 2.

答案　D

思维升华　1.解题的关键：(1)由f(a)＝g(b)，引入参数t表示a，b两个量.(2)构造函数，转化为求函数的最值.

2.可导函数唯一极值点也是函数的最值点，导数是求解函数最值的工具.

【训练】 (2020·石家庄一中检测)函数f(x)＝

若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围是(　　)

A.(16，32)    B.(18，34)

C.(17，35)    D.(6，7)

解析　画出函数f(x)的图象如图所示.

不妨设a<b<c，则a<0，b>0.

由f(a)＝f(b)，得1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2.

又f(a)＝f(b)＝f(c)，结合图象，得0<5－c<1，则4<c<5.

∴16<2c<32.故18<2a＋2b＋2c<34.

答案　B

A级　基础巩固

一、选择题

1.已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为(　　)

A.24   B.16   C.12   D.8

解析　因为3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.

答案　A

2.(2020·湖南长郡中学联考)已知实数a＝2ln 2，b＝2＋2ln 2，c＝(ln 2)2，则a，b，c的大小关系是(　　)

A.c<b<a    B.a<c<b

C.b<a<c    D.c<a<b

解析　由于0<ln 2<1，

所以a＝2ln 2∈(1，2)，b>2，c＝(ln 2)2∈(0，1).

因此b>a>c.

答案　D

3.若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可能是(　　)

解析　由f(x)在R上是减函数，知0<a<1.

又y＝loga(|x|－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).

∴当x>1时，y＝loga(x－1)的图象由y＝logax的图象向右平移一个单位得到.因此选项D正确.

答案　D

4.(2020·西安联考)若函数f(x)＝|x|＋x3，则f(lg 2)＋f＋f(lg 5)＋f＝(　　)

A.2   B.4   C.6   D.8

解析　由于f(x)＝|x|＋x3，得f(－x)＋f(x)＝2|x|.

又lg ＝－lg 2，lg ＝－lg 5.

所以原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2.

答案　A

5.若函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为(　　)

A.(0，＋∞)    B.(2，＋∞)

C.(1，＋∞)    D.

解析　令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，恒有f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝－，

因为M的单调递增区间为.

又x2＋x>0，所以x>0或x<－，

所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).

答案　A

二、填空题

6.(2020·肇庆统考)已知23log4x＝27，则x的值为________.

解析　23log4x＝2log2x＝x，又27＝33＝(32)＝9，所以x＝9，所以x＝9.

答案　9

7.(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝________.

解析　由题意得，当x>0，－x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－e－ax)＝e－ax，所以f(ln 2)＝e－aln 2＝eln 2－a＝2－a＝8＝23，即2－a＝23，所以a＝－3.

答案　－3

8.设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是________.

解析　当x≤1时，由21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；

当x>1时，由1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.

综上可知，x≥0.

答案　[0，＋∞)

三、解答题

9.已知函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数.

(1)求a的值与函数f(x)的定义域；

(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围.

解　(1)因为函数f(x)＝log2是奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)，

所以log2＝－log2，

即log2＝log2，

所以a＝1，f(x)＝log2，

令>0，解得x<－1或x>1，

所以函数的定义域为{x|x<－1或x>1}.

(2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，

当x>1时，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1.

因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，

所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1].

10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x2－1)>－2.

解　(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x).

因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)，

所以函数f(x)的解析式为

f(x)＝

(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，且f(0)＝0>－2，

所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).

又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

所以|x2－1|<4，解得－<x<，

即不等式的解集为(－，).

B级　能力提升

11.(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)

解析　若a>1，则y＝单调递减，A，B，D不符合，且y＝loga过定点，C项不符合，因此0<a<1.

当0<a<1时，函数y＝ax的图象过定点(0，1)，在R上单调递减，于是函数y＝的图象过定点(0，1)，在R上单调递增，函数y＝loga的图象过定点，在上单调递减.因此， 选项D中的两个图象符合.

答案　D

12.(2017·全国Ⅰ卷)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)

A.2x<3y<5z    B.5z<2x<3y

C.3y<5z<2x    D.3y<2x<5z

解析　令t＝2x＝3y＝5z，

∵x，y，z为正数，∴t>1.

则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.

∴2x－3y＝－＝

＝>0，

∴2x>3y.

又∵2x－5z＝－＝

＝<0，

∴2x<5z，∴3y<2x<5z.

答案　D

13.设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是________.

解析　由题意知，如图，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以ab＝1，0<c<lg 10＝1，所以abc的取值范围是(0，1).

答案　(0，1)

14.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.

(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；

(2)如果对任意的x∈[1，4]不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围.

解　(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x＝2－2(log2x－1)2

因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，

故函数h(x)的值域为[0，2].

(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，

得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，

令t＝log2x，因为x∈[1，4]，

所以t＝log2x∈[0，2]，

所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，

①当t＝0时，k∈R；

②当t∈(0，2]时，k<恒成立，

即k<4t＋－15，

因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，

所以4t＋－15的最小值为－3.

所以k<－3.

综上，实数k的取值范围为(－∞，－3).

C级　创新猜想

15.(情境创新题)(2020·武汉调研)函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，则t的取值范围为(　　)

A.    B.∪

C.    D.

解析　函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a<0，且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R.当a>1时，z＝ax＋t2在R上递增，y＝logaz在(0，＋∞)上递增，可得f(x)为R上的增函数；当0<a<1时，f(x)仍为R上的增函数，

∴f(x)在定义域R上为增函数，f(x)＝loga(ax＋t2)＝x，

∴ax＋t2＝ax，则ax－a＋t2＝0.

令u＝a，u>0，

则u2－u＋t2＝0有两个不相等的正实根.

得Δ＝1－4t2>0，且t2>0，

∴0<t2<，解得t∈∪.

答案　B