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    2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义:第五章第三节 第2课时 系统题型——平面向量的数量积及应用

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    2课时 系统题型——平面向量的数量积及应用

    平面向量数量积及其性质的应用

    1(2019·宝鸡金台区质检)在直角三角形ABC中,角C为直角,且ACBC1,点P是斜边上的一个三等分点,则··(  )

    A0           B.1

    C.  D.-

    解析:B 以点C为坐标原点,分别以的方向为xy轴的正方向建立平面直角坐标系,则C(0,0)A(1,0)B(0,1),不妨设P,所以··1.故选B.

    2.已知向量ab均为单位向量,若它们的夹角为60°,则|a3b|等于(  )

    A.  B.

    C.  D4

    解析:C 依题意得a·b|a3b|,故选C.

    3(2019·江西三校联考)|a|2|b|4,且(ab)a,则ab的夹角为(  )

    A.  B.

    C.  D.-

    解析:A (ab)a(abaa2a·b0a·b=-4cosab=-ab,故选A.

    4(2019·深圳高级中学期中)已知向量m(λ1,1)n(λ2,2),若(mn)(mn),则λ(  )

    A.-4  B.3

    C.-2  D.-1

    解析:B (mn)(mn)(mn)·(mn)m2n2(λ1)21(λ2)240,解得λ=-3.故选B.

    1平面向量数量积的2种运算方法

    方法

    运用提示

    适用题型

    定义法

    当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,即a·b|a|·|b|cos θ

    适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题

    坐标法

    当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a(x1y1)b(x2y2),则a·bx1x2y1y2

    适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题

    2.利用数量积求解长度问题的处理方法

    (1)a2a·a|a|2|a|.

    (2)|a±b|.

    (3)a(xy),则|a|.

    3向量夹角问题的2个注意点

    (1)切记向量夹角的范围是[0π]

    (2)ab夹角为锐角a·b>0ab不共线,ab夹角为钝角a·b<0ab不共线.

    4两向量垂直的应用

    两非零向量垂直的充要条件是aba·b0|ab||ab|.

    平面向量数量积的应用问题

    平面向量数量积的应用中,常考查向量的模或数量积的最值或范围问题,能力要求较高,综合性强.

    考法一 平面向量模的最值或范围问题 

    [1] (1)(2019·衡水中学调研)已知向量abc满足|a||b|a·b2(ac)·(b2c)0,则|bc|的最小值为(  )

    A.  B.

    C.  D

    (2)(2019·长春模拟)已知ab是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(ac)·(bc)0,则|c|的最大值是(  )

    A1  B.2

    C.  D

    [解析] (1)|a||b|a·b2,知ab的夹角为

    可设a(2,0)b(1)c(xy)

    (ac)·(b2c)0

    (2x,-y)·(12x2y)0

    2x22y25xy20.

    方程2x22y25xy20表示圆心为,半径为的圆,|bc|表示圆2x22y25xy20上的点到点(1)的距离,所以|bc|的最小值为 .

    (2)因为|a||b|1a·b0

    (ac)·(bc)=-c·(ab)|c|2=-|c||abcos θ|c|20,其中θcab的夹角,

    所以|c||ab|cos θcos θ

    所以|c|的最大值是.

    [答案] (1)A (2)C

    [方法技巧]

    求向量模的最值(范围)2种方法

    代数法

    把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解

    几何法

    弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解

    考法二 数量积的最值或范围问题 

    [2] (1)(2019·南昌调研)如图,在直角梯形ABCD中,DAAB1BC2,点P在阴影区域(含边界)中运动,则·的取值范围是(  )

    A.  B.

    C[1,1]  D[1,0]

    (2)(2019·宝鸡模拟)在等腰直角ABC中,ABC90°ABBC2MN(不与AC重合)AC边上的两个动点,且满足| |,则·的取值范围为(  )

    A.  B.

    C.  D

    [解析] (1)在直角梯形ABCD中,DAAB1BC2

    BD.如图所示,过点AAOBD,垂足为O

    ·0

    ·(·.

    当点P与点B重合时,·取得最大值,

    ··××1

    当点P与点D重合时,·取得最小值,

    ·=-××=-1.

    ·的取值范围是[1,1]

    (2)以等腰直角三角形的直角边BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系如图所示,则B(0,0),直线AC的方程为xy2.

    M(a,2a)

    0< a <1N(a1,1a)

    (a,2a)(a1,1a)

    ·a (a1)(2a)(1a)2 a 22 a2

    0<a<1a时,·取得最小值

    ·<2,故·的取值范围为.

    [答案] (1)C (2)C

    [方法技巧]

    数量积的最值或范围问题的2种求解方法

    临界分析法

    结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围

    目标函数法

    将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数,建立函数关系式,再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围

    1.已知向量ab是两个互相垂直的单位向量,且c·ac·b3|c|3,则对任意的正实数t的最小值是(  )

    A2  B.2

    C4  D4

    解析:D 因为向量ab是两个互相垂直的单位向量,所以a·b0,又c·ac·b3,所以2c2t2a2b22(tc·ac·ba·b)t26t1832,当且仅当t26t,即t1时等号成立,故的最小值为4.故选D.

    2.ABC中,AB2AC6·2,点PABC所在平面内一点,则当222取得最小值时,·________.

    解析:·2·2

    ·()·0,即BAAC.以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0)B(6,0)C(0,3),设P(xy),则222x2y2(x6)2y2x2(y3)23x212x3y26y453[(x2)2(y1)210],所以当x2y1时,222取得最小值,此时·(2,1)·(6,3)=-9.

    答案:9

    平面向量与其他知识的综合问题

    平面向量集数与形于一体,是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具.在高考中,常将它与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查.

    考法一 平面向量与几何的综合问题 

    [1] (2019·杭州期末)在四边形ABCD中,点EF分别是边ADBC的中点,设·m·n.ABEF1CD,则(  )

    A2mn1  B.2m2n1

    Cm2n1  D2n2m1

    [解析] 由题可得,·()·()=-2···=-2·()m=-2·()m·m.又因为点EF分别是边ADBC的中点,所以.两式相加得2,两边同时平方得4232·,所以·=-.·,所以·m,所以nm,即2n2m1,故选D.

    [答案] D

    [方法技巧] 平面向量与几何综合问题的求解方法

    坐标法

    把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决

    基向量法

    适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解

    考法二 平面向量与三角函数的综合问题 

    [2] (2019·陕西部分学校摸底)ABC中,设ABC的对边分别为abc,向量m(cos Asin A)n(sin Acos A),且|mn|2.

    (1)求角A的大小;

    (2)b4ca,求ABC的面积.

    [] (1)mn(cos Asin Acos Asin A)

    |mn|

    .

    |mn|2sin0

    0<A<A<A0

    A.

    (2)caA

    sin C1,又0<CC.

    ∴△ABC为等腰直角三角形,SABC×(4)216.

    [方法技巧]

    平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路

    (1)向量平行、垂直与三角函数综合

    此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式,再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简,结合三角函数的图象与性质进行求解.

    (2)向量的模与三角函数综合

    此类题型主要是利用向量模的性质|a|2a2,如果涉及向量的坐标,解答时可利用两种方法:一是先进行向量的运算,再代入向量的坐标进行求解;二是先将向量的坐标代入,再利用向量的坐标运算求解.此类题型主要表现为两种形式:利用三角函数与向量的数量积直接联系;利用三角函数与向量的夹角交汇,达到与数量积的综合.  

    1.在矩形ABCD中,AB3BC2,点F在边CD上.若·3,则·的值为(  )

    A0  B.

    C.-4  D4

    解析:C 2 | |||.的夹角为α·3||cos α1| |1.A为坐标原点建立平面直角坐标系,ADx轴,ABy轴,则B(03)F(1)E.因此(,-2)·×2×326=-4,故选C.

    2.已知ABC的三个内角ABC所对的边分别为abc.设平面向量m(cos Bsin B)n(cos C,-sin C)mn所成的夹角为120°.

    (1)A的值;

    (2)ABC的面积Ssin C2sin B,求a的值.

    解:(1)由题知cos 120°

    cos(BC)=-cos A=-,则cos A.

    0<A,则A.

    (2)由正弦定理和sin C2sin B,得c2b.

    ABC的面积Sbcsin Ab2×,则b2

    解得bc.由余弦定理a2b2c22bccos A

    a22×××16,则a4.

     

     

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