2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第四章第七节　第2课时　系统题型——解三角形及应用举例

第2课时　系统题型——解三角形及应用举例

1．(2018·天津期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝sin 2B，且b＝2，c＝，则a等于(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C．2  D．2

解析：选C　由sin C＝sin 2B＝2sin Bcos B及正、余弦定理得c＝2b·，代入数据得(2a＋1)(a－2)＝0，解得a＝2，或a＝－(舍去)，故选C.

2．(2018·天津实验中学期中)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选B　∵3sin A＝5sin B，∴由正弦定理可得3a＝5b，即a＝b.∵b＋c＝2a，∴c＝b，

∴cos C＝＝＝－＝－.

∵C∈(0，π)，∴C＝.故选B.

3．(2018·北京高考)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－.

(1)求∠A；

(2)求AC边上的高．

解：(1)在△ABC中，因为cos B＝－，

所以sin B＝ ＝.

由正弦定理得sin A＝＝.

由题设知<∠B<π，所以0<∠A<.

所以∠A＝.

(2)在△ABC中，

因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝，

所以AC边上的高为asin C＝7×＝.

用正、余弦定理求解三角形基本量的方法

1．(2019·湖南师大附中月考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＝，则△ABC的形状是(　　)

A．等腰三角形  B．直角三角形

C．等腰直角三角形  D．等腰三角形或直角三角形

解析：选D　由已知＝＝＝，∴＝或＝0，即C＝90°或＝.由正弦定理，得＝，∴＝，即sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B，∵B，C均为△ABC的内角，∴2C＝2B或2C＋2B＝180°，∴B＝C或B＋C＝90°，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D.

2．(2018·重庆六校联考)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)

A．直角三角形  B．等边三角形

C．等腰三角形  D．等腰三角形或直角三角形

解析：选A　已知等式变形得cos B＋1＝＋1，即cos B＝.由余弦定理得cos B＝，代入得＝，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形．

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)

A．直角三角形　　　　　 B．等腰非等边三角形

C．等边三角形  D．钝角三角形

解析：选C　∵＝，∴＝，∴b＝c.

又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，

∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝＝.

∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形．

判定三角形形状的2种常用途径

[典例]　(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.

(1)求c；

(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

[解]　(1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.

在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos，

即c2＋2c－24＝0.解得c＝4(负值舍去)．

(2)法一：由题可得∠BAD＝，由余弦定理可得cos C＝，∴CD＝，∴AD＝，∴S△ABD＝×4××sin∠DAB＝.

法二：由题设可得∠CAD＝，

所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.

故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为＝1.

又△ABC的面积为×4×2×sin＝2，

所以△ABD的面积为.

[方法技巧]　求解与三角形面积有关的问题的步骤

[针对训练]

1．(2019·德化一中、永安一中、漳平一中三校联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＝，A＝，b＝1，则△ABC的面积为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选B　由正弦定理可得＝＝＝，又A＝，b＝1，则a＝1，B＝，所以△ABC是边长为1的正三角形，所以△ABC的面积为×12×＝.

2．(2019·长沙、南昌高三第一次联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin B＝asin A＋(c－a)·sin C.

(1)求B；

(2)若3sin C＝2sin A，且△ABC的面积为6，求b.

解：(1)由bsin B＝asin A＋(c－a)sin C及正弦定理，得b2＝a2＋(c－a)c，即a2＋c2－b2＝ac.

由余弦定理，得cos B＝＝＝.

因为B∈(0，π)，所以B＝.

(2)由(1)得B＝，

所以△ABC的面积为acsin B＝ac＝6，得ac＝24.

由3sin C＝2sin A及正弦定理，得3c＝2a，

所以a＝6，c＝4.

由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝36＋16－24＝28，

所以b＝2.

在平面几何图形中考查正弦定理、余弦定理是近几年高考的热点，解决这类问题既要抓住平面图形的几何性质，也要灵活选择正弦定理、余弦定理、三角恒等变换公式．

[典例]　(2019·福州期末)已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°.E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.

(1)若△CDE的面积为，求DE的长；

(2)若CF＝4DF，求sin∠DFC.

[解]　(1)依题意，得∠BCD＝∠DAB＝60°.

因为△CDE的面积S＝CD·CE·sin∠BCD＝，

所以×2CE·＝，解得CE＝1.

在△CDE中，由余弦定理得

DE＝

＝ ＝.

(2)法一：依题意，得∠ACD＝30°，∠BDC＝60°，

设∠CDE＝θ，则0°<θ<60°.

在△CDF中，由正弦定理得＝，

因为CF＝4DF，所以sin θ＝＝，

所以cos θ＝，

所以sin∠DFC＝sin(30°＋θ)＝×＋×＝.

法二：依题意，得∠ACD＝30°，∠BDC＝60°，设∠CDE＝θ，则0°<θ<60°，

设CF＝4x，因为CF＝4DF，则DF＝x，

在△CDF中，由余弦定理，得DF2＝CD2＋CF2－2CD·CFcos∠ACD，

即7x2＝4＋16x2－8x，

解得x＝，或x＝.

又因为CF≤AC＝，所以x≤，所以x＝，

所以DF＝，

在△CDF中，由正弦定理得＝，

所以sin∠DFC＝＝.

[方法技巧]

平面几何中解三角形问题的求解思路

(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；

(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．

[提醒]　做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．　　

[针对训练]

1．(2019·皖西教学联盟期末)如图，在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝，AC⊥CD，CD＝AC，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为________．

解析：设∠ABC＝α，∠ACB＝β，

在△ ABC中，由余弦定理得AC2＝4－2cos α.

由正弦定理得＝，故sin β＝.

又CD＝AC，所以在△BCD中，由余弦定理得

BD2＝3＋3(4－2cos α)－2×××cos，

即BD2＝15－6cos α＋6sin α＝15＋12sin.

当α＝时，BD取得最大值3.

答案：3

2.(2019·晋城一模)如图，在锐角三角形ABC中，sin∠BAC＝，sin∠ABC＝，BC＝6，点D在边BC上，且BD＝2DC，点E在边AC上，且BE⊥AC，BE交AD于点F.

(1)求AC的长；

(2)求cos∠DAC及AF的长．

解：(1)在锐角三角形ABC中，sin∠BAC＝，sin∠ABC＝，BC＝6，由正弦定理可得＝，所以AC＝＝＝5.

(2)由sin∠BAC＝，sin∠ABC＝，可得cos∠BAC＝，cos∠ABC＝，

所以cos C＝－cos(∠BAC＋∠ABC)

＝－cos∠BACcos∠ABC＋sin∠BACsin∠ABC

＝－×＋×＝.

因为BE⊥AC，

所以CE＝BCcos C＝6×＝，AE＝AC－CE＝.

在△ACD中，AC＝5，CD＝BC＝2，cos C＝，

由余弦定理可得AD＝＝＝，

所以cos∠DAC＝＝＝.

由BE⊥AC，得AFcos∠DAC＝AE，

所以AF＝＝.

[典例]　如图，某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为8海里，游轮由A处向正北方向航行到D处时再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，则C与D的距离为(　　)

A．20海里  B．8 海里

C．23 海里  D．24海里

[解析]　在△ABD中，因为灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12海里，货轮由A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，所以B＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理＝，

可得AD＝＝＝24海里．

在△ACD中，AD＝24海里，AC＝8 海里，∠CAD＝30°，

由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝192.

所以CD＝8 海里．故选B.

[答案]　B

[方法技巧]

处理距离问题的策略

(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．

(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．　　

 [针对训练]

1.如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为α和90°－α.后退l(单位：m)至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔CB的高为________m；旗杆BA的高为________m．(用含有l和α的式子表示)

解析：设BC＝x m，在Rt△BCP1中，∠BP1C＝α，在Rt△P2BC中，∠P2＝，          ∵∠BP1C＝∠P1BP2＋∠P2，∴∠P1BP2＝，即△P1BP2为等腰三角形，P1B＝P1P2＝l，     ∴BC＝x＝lsin α.在Rt△ACP1中，＝＝tan(90°－α)，∴AC＝，则AB＝AC－BC＝－lsin α＝＝.

答案：lsin α　

2.如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sin θ的值为________．

解析：如图，连接BC，在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos 120°＝700，

∴BC＝10， 再由正弦定理，得＝，∴sin θ＝.

答案：