2020高考数学新创新大一轮复习新课改省份专用讲义：第二章第二节　第2课时　系统题型——函数的性质及其应用

第2课时　系统题型——函数的性质及其应用

函数单调性的判断及应用
函数的单调性是高考的一个重要考点．常在选择、填空题中考查，有时也与导数结合出现在解答题第一问中，难度中等．
常见的考法有：(1)判断函数的单调性、求单调区间．(2)利用函数的单调性比较大小．(3)解函数不等式．(4)求参数的取值范围．
考法一　确定函数的单调性及求单调区间　
[例1]　(2019·新乡一中月考)函数y＝log(x2－3x＋2)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，1)　　　　　　　 B.
C．(2，＋∞) D.
[解析]　函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．令t＝x2－3x＋2，则y＝logt.∵t＝x2－3x＋2在(－∞，1)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，y＝logt为减函数，∴根据“同增异减”可知，函数y＝log(x2－3x＋2)的单调递增区间是(－∞，1)．故选A.
[答案]　A
[例2]　(2019·广东佛山联考)讨论函数f(x)＝(a>0)在(－1,1)上的单调性．
[解]　法一(定义法)：
设－1 则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
∵－1 ∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x－1)·(x－1)>0.
又a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，
故函数f(x)在(－1,1)上为减函数．
法二(导数法)：
f′(x)＝
＝＝＝－.
∵a>0，x∈(－1,1)，∴f′(x)<0.
∴f(x)在(－1,1)上是减函数．
[方法技巧]　　确定函数单调性的常用方法
定义法
先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论
图象法
若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性
导数法
先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性

考法二　比较大小　
[例3]　(2019·齐齐哈尔检测)定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有<0，则(　　)
A．f(3) B．f(1) C．f(－2) D．f(3) [解析]　由于函数f(x)对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有<0，所以函数f(x)在(－∞，0]上是减函数．又函数f(x)是偶函数，所以函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(－2)＝f(2)，所以有f(1) [答案]　B
[方法技巧]
比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．　
考法三　解函数不等式　
[例4]　(2019·会宁联考)已知函数f(x)的定义域为R，且在[0，＋∞)上是增函数，g(x)＝－f(|x|)，若g(lg x)>g(1)，则x的取值范围是(　　)
A．(0,10) B．(10，＋∞)
C. D.∪(10，＋∞)

[解析]　∵g(－x)＝－f(|－x|)＝g(x)，∴g(x)是偶函数，
又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴g(x)在[0，＋∞)上是减函数．
∵g(lg x)>g(1)，∴g(|lg x|)>g(1)，∴|lg x|<1，∴ [答案]　C
[方法技巧]
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．　　
考法四　利用单调性求参数的取值范围　
[例5]　(2019·济宁模拟)函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有>0成立，则实数a的取值范围为____________．
[解析]　由题意，函数f(x)在(－∞，1]和(1，＋∞)上都是增函数，且f(x)在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即解得a∈[4,8)．
[答案]　[4,8)
[方法技巧]
利用函数单调性求参数的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．　

1.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝－x2 B．f(x)＝3－x
C．f(x)＝ln |x| D．f(x)＝x＋sin x
解析：选C　选项A中的函数是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，故不正确；选项B中的函数是非奇非偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，故不正确；选项C中的函数是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，故正确；选项D中的函数是奇函数，在R上单调递增，故不正确．故选C.
2.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且在[－1,0]上单调递减，设a＝f()，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．b C．b 解析：选C　因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，则a＝f()＝f(－2)，b＝f(2)＝f(0)，c＝f(3)＝f(－1)．因为－1<－2<0，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，所以b 3.已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a) A. B．(0，＋∞)
C. D．(－∞，0)∪
解析：选C　∵f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a) ∴解得0 4.函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2.
(1)若函数f(x)的单调递减区间是(－∞，8]，则实数a的值(或范围)是________．
(2)若函数f(x)在区间(－∞，8]上单调递减，则实数a的值(或范围)是________．
解析：(1)因为函数f(x)的单调递减区间是(－∞，8]，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝8，即a＝－7.
(2)因为函数f(x)在区间(－∞，8]上单调递减，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，所以1－a≥8，即a≤－7.
答案：(1)－7　(2)(－∞，－7]

函数最值的求法
[典例]　(1)(2019·厦门质检)函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
(2)函数f(x)＝x－的最小值为________．
(3)函数y＝的值域为________．
[解析]　(1)(单调性法)由于y＝x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上单调递增，
所以f(x)在[－1,1]上单调递减，
故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.
(2)(换元法)令＝t(t≥0)，则x＝t2－1，所以y＝t2－t－1(t≥0)．又y＝t2－t－1(t≥0)的图象是对称轴为直线t＝，开口向上的抛物线的一部分，所以ymin＝2－－1＝－，故函数f(x)的最小值为－.
(3)(分离常数法)y＝＝＝3＋，
因为≠0，所以3＋≠3，
所以函数y＝的值域为{y|y∈R且y≠3}．
[答案]　(1)3　(2)－　(3){y|y∈R且y≠3}
[方法技巧]　
求解函数最值的3种常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)换元法：形如求y＝＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．
(3)分离常数法：形如求y＝(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．　　　
[针对训练]
1．函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.
解析：易知f(x)在[a，b]上为减函数，所以
即所以所以a＋b＝6.
答案：6
2．函数y＝x＋的最大值为________．
解析：由1－x2≥0，可得－1≤x≤1，可令x＝cos θ，θ∈[0，π]，则y＝cos θ＋sin θ＝sin，θ∈[0，π]，所以－1≤y≤，故原函数的最大值为.
答案：
3．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．
解析：函数y＝
作出函数的图象如图所示．
根据图象可知，
函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)．　
答案：[3，＋∞)


函数奇偶性的判断及应用
[典例]　(1)(2019·辽宁名校联考)函数y＝x2lg的图象(　　)
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于直线y＝x对称 D．关于y轴对称
(2)(2019·武汉十校联考)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝(　　)
A．ex－e－x B.(ex＋e－x)
C.(e－x－ex) D.(ex－e－x)
(3) 若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
[解析]　(1)记f(x)＝x2lg，定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
∵f(－x)＝(－x)2lg＝x2lg＝－x2lg＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，即函数y＝x2lg的图象关于原点对称．故选B.
(2)∵f(x)＋g(x)＝ex，①
∴f(－x)＋g(－x)＝e－x，
又f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
所以f(x)－g(x)＝e－x，②
由①②解得g(x)＝.故选D.
(3)函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax为偶函数，
故f(－x)＝f(x)，
即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，
化简得ln＝2ax＝ln e2ax，
即＝e2ax，
整理得e2ax＋3x＝1，
所以2ax＋3x＝0，解得a＝－.
[答案]　(1)B　(2)D　(3)－
[方法技巧]
应用函数奇偶性可解决的4类问题
(1)判定函数奇偶性
①定义法：

②图象法：

③性质法：
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
(2)求解析式
先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
(3)求函数解析式中参数的值
利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
(4)利用函数的奇偶性求值
首先判断函数解析式或解析式的一部分的奇偶性，然后结合已知条件通过化简、转换求值．　　
[针对训练]
1．(2019·东北名校联考)下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝2x－2－x B．f(x)＝x2－1
C．f(x)＝log|x| D．f(x)＝xsin x
解析：选B　f(x)＝2x－2－x是奇函数，故不满足条件；f(x)＝x2－1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故满足条件；f(x)＝log|x|是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件；f(x)＝xsin x是偶函数，但是在(0，＋∞)上不单调．故选B.
2．(2019·宁波期末)若函数f(x)＝ax2＋(2a2－a－1)x＋1为偶函数，则实数a的值为________．
解析：当a＝0时，f(x)＝－x＋1不是偶函数．当a≠0时，由偶函数的定义知2a2－a－1＝0，解得a＝1或a＝－.
答案：1或－
3．已知函数f(x)＝asin x－btan x＋4cos ，且f(－1)＝1，则f(1)＝________.
解析：f(x)＝asin x－btan x＋2，易知函数g(x)＝asin x－btan x是奇函数，因为f(－1)＝asin(－1)－btan(－1)＋2＝1，所以asin 1－btan 1＝1，则f(1)＝asin 1－btan 1＋2＝3.
答案：3


函数周期性的判断及应用
[典例]　(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A．－50 B．0
C．2 D．50
[解析]　(1)法一：∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数得f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)
＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
法二：由题意可设f(x)＝2sin，作出f(x)的部分图象如图所示．由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
[答案]　C

[方法技巧]
函数周期性问题的求解策略
(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
　[口诀记忆]　
周期函数有特征，图象重复记心中；
图象若见两对称，隐藏周期查分明．　　　
[针对训练]
1．函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选A　∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2.∴f＝f＝f＝2××＝.
2．(2019·东北三省四市一模)已知函数f(x)满足f(x＋1)＝，当f(1)＝2时，f(2 018)＋f(2 019)的值为________．
解析：由f(x＋1)＝，f(1)＝2，
得f(2)＝－3，f(3)＝－，f(4)＝，f(5)＝2，f(6)＝－3，f(7)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，
即f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(2 018)＋f(2 019)＝f(2)＋f(3)＝－.
答案：－