2020届高考数学一轮复习新课改省份专用学案：第五章第三节第2课时系统题型——平面向量的数量积及应用

第2课时　系统题型——平面向量的数量积及应用

1．(2019·宝鸡金台区质检)在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC＝BC＝1，点P是斜边上的一个三等分点，则·＋·＝(　　)

A．0　　　　　　　　　　 B.1

C.  D．－

解析：选B　以点C为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，不妨设P，所以·＋·＝＋＝1.故选B.

2．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a＋3b|等于(　　)

A.  B.

C.  D．4

解析：选C　依题意得a·b＝，|a＋3b|＝＝，故选C.

3．(2019·江西三校联考)若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为(　　)

A.  B.

C.  D．－

解析：选A　∵(a＋b)⊥a，∴(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－4，cosa，b＝＝＝－，∴a，b＝，故选A.

4．(2019·深圳高级中学期中)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　)

A．－4  B.－3

C．－2  D．－1

解析：选B　∵(m＋n)⊥(m－n)，∴(m＋n)·(m－n)＝m2－n2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，解得λ＝－3.故选B.

1．平面向量数量积的2种运算方法

2.利用数量积求解长度问题的处理方法

(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.

(2)|a±b|＝＝.

(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.

3．向量夹角问题的2个注意点

(1)切记向量夹角的范围是[0，π]．

(2)a与b夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线，a与b夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．

4．两向量垂直的应用

两非零向量垂直的充要条件是a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.

平面向量数量积的应用中，常考查向量的模或数量积的最值或范围问题，能力要求较高，综合性强．

考法一　平面向量模的最值或范围问题　

[例1]　(1)(2019·衡水中学调研)已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a·b＝2，(a－c)·(b－2c)＝0，则|b－c|的最小值为(　　)

A.  B.

C.  D．

(2)(2019·长春模拟)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)

A．1  B.2

C.  D．

[解析]　(1)由|a|＝|b|＝a·b＝2，知a，b的夹角为，

可设a＝(2,0)，b＝(1，)，c＝(x，y)，

∵(a－c)·(b－2c)＝0，

∴(2－x，－y)·(1－2x，－2y)＝0，

即2x2＋2y2－5x－y＋2＝0.

方程2x2＋2y2－5x－y＋2＝0表示圆心为，半径为的圆，|b－c|＝表示圆2x2＋2y2－5x－y＋2＝0上的点到点(1，)的距离，所以|b－c|的最小值为 －＝.

(2)因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，

(a－c)·(b－c)＝－c·(a＋b)＋|c|2＝－|c||a＋b|·cos θ＋|c|2＝0，其中θ为c与a＋b的夹角，

所以|c|＝|a＋b|cos θ＝cos θ≤，

所以|c|的最大值是.

[答案]　(1)A　(2)C

[方法技巧]

求向量模的最值(范围)的2种方法

考法二　数量积的最值或范围问题　

[例2]　(1)(2019·南昌调研)如图，在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，点P在阴影区域(含边界)中运动，则·的取值范围是(　　)

A.  B.

C．[－1,1]  D．[－1,0]

(2)(2019·宝鸡模拟)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足| |＝，则·的取值范围为(　　)

A.  B.

C.  D．

[解析]　(1)∵在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，

∴BD＝.如图所示，过点A作AO⊥BD，垂足为O，

则＝＋，·＝0，

∴·＝(＋)·＝·.

∴当点P与点B重合时，·取得最大值，

即·＝·＝××＝1；

当点P与点D重合时，·取得最小值，

即·＝－××＝－1.

∴·的取值范围是[－1,1]．

(2)以等腰直角三角形的直角边BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则B(0,0)，直线AC的方程为x＋y＝2.

设M(a,2－a)，

则0< a <1，N(a＋1,1－a)，

∴＝(a,2－a)，＝(a＋1,1－a)，

∴·＝a (a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2 a 2－2 a＋2，

∵0<a<1，∴当a＝时，·取得最小值，

又·<2，故·的取值范围为.

[答案]　(1)C　(2)C

[方法技巧]

数量积的最值或范围问题的2种求解方法

1.已知向量a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝3，|c|＝3，则对任意的正实数t，的最小值是(　　)

A．2  B.2

C．4  D．4

解析：选D　因为向量a，b是两个互相垂直的单位向量，所以a·b＝0，又c·a＝c·b＝3，所以2＝c2＋t2a2＋b2＋2(tc·a＋c·b＋a·b)＝t2＋＋6t＋＋18≥32，当且仅当t2＝，6t＝，即t＝1时等号成立，故的最小值为4.故选D.

2.在△ABC中，AB＝2AC＝6，·＝2，点P是△ABC所在平面内一点，则当2＋2＋2取得最小值时，·＝________.

解析：∵·＝2，∴·－2＝

·(－)＝·＝0，∴⊥，即BA⊥AC.以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(6,0)，C(0,3)，设P(x，y)，则2＋2＋2＝x2＋y2＋(x－6)2＋y2＋x2＋(y－3)2＝3x2－12x＋3y2－6y＋45＝3[(x－2)2＋(y－1)2＋10]，所以当x＝2，y＝1时，2＋2＋2取得最小值，此时·＝(2,1)·(－6,3)＝－9.

答案：－9

平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具．在高考中，常将它与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查．

考法一　平面向量与几何的综合问题　

[例1]　(2019·杭州期末)在四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，设·＝m，·＝n.若AB＝，EF＝1，CD＝，则(　　)

A．2m－n＝1  B.2m－2n＝1

C．m－2n＝1  D．2n－2m＝1

[解析]　由题可得，·＝(＋)·(＋)＝－2＋·－·＋·＝－2＋·(－)＋m＝－2＋·(＋＋－)＋m＝·＋m.又因为点E，F分别是边AD，BC的中点，所以＝＋＋，＝＋＋.两式相加得2＝＋，两边同时平方得4＝2＋3＋2·，所以·＝－.则·＝，所以·＝＋m，所以n＝＋m，即2n－2m＝1，故选D.

[答案]　D

[方法技巧]　平面向量与几何综合问题的求解方法

考法二　平面向量与三角函数的综合问题　

[例2]　(2019·陕西部分学校摸底)在△ABC中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos A，sin A)，n＝(－sin A，cos A)，且|m＋n|＝2.

(1)求角A的大小；

(2)若b＝4，c＝a，求△ABC的面积．

[解]　(1)∵m＋n＝(＋cos A－sin A，cos A＋sin A)，

∴|m＋n|＝

＝ .

∵|m＋n|＝2，∴sin＝0，

又0<A<π，∴－<A－<，∴A－＝0，

即A＝.

(2)∵c＝a，A＝，

∴＝＝，

∴sin C＝1，又0<C<π，∴C＝.

∴△ABC为等腰直角三角形，S△ABC＝×(4)2＝16.

[方法技巧]

平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路

(1)向量平行、垂直与三角函数综合

此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解．

(2)向量的模与三角函数综合

此类题型主要是利用向量模的性质|a|2＝a2，如果涉及向量的坐标，解答时可利用两种方法：一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算求解．此类题型主要表现为两种形式：①利用三角函数与向量的数量积直接联系；②利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合．　　

1.在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，＝2，点F在边CD上．若·＝3，则·的值为(　　)

A．0  B.

C．－4  D．4

解析：选C　＝2 ⇒| |＝||＝.设与的夹角为α，·＝3⇒||cos α＝1⇒| |＝1.以A为坐标原点建立平面直角坐标系，AD为x轴，AB为y轴，则B(0，3)，F(，1)，E.因此＝(，－2)，·＝×－2×3＝2－6＝－4，故选C.

2.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.设平面向量m＝(cos B，sin B)，n＝(cos C，－sin C)，m与n所成的夹角为120°.

(1)求A的值；

(2)若△ABC的面积S＝，sin C＝2sin B，求a的值．

解：(1)由题知cos 120°＝

＝

＝cos(B＋C)＝－cos A＝－，则cos A＝.

又0<A<π，则A＝.

(2)由正弦定理和sin C＝2sin B，得c＝2b.

则△ABC的面积S＝bcsin A＝b2×＝，则b2＝，

解得b＝，c＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，

得a2＝＋－2×××＝16，则a＝4.