2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第四章第七节 第1课时 系统知识——正弦定理、余弦定理及应用举例
展开第七节 正弦定理和余弦定理
第1课时 系统知识——正弦定理、余弦定理及应用举例
正弦定理、余弦定理 |
正、余弦定理的内容及变形
定理 | 正弦定理 | 余弦定理 |
内容 | ＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) | a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝a2＋c2－2accos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C |
变形形式 | a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B， c＝2Rsin_C； sin A＝；sin B＝； sin C＝； a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； asin B＝bsin A，bsin C ＝csin B，asin C＝csin A； ＝2R | cos A＝； cos B＝； cos C＝ |
[提醒] 若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理，在根据另一边所对角的正弦值，确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．
[谨记常用结论]
1．在三角形ABC中，A＋B＋C＝π，则
(1)sin A＝sin(B＋C)，cos A＝－cos(B＋C)，tan A＝－tan(B＋C)．
(2)sin ＝cos ，cos ＝sin .
(3)sin A＝sin B⇔A＝B；
sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝.
(4)A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.
2．三角形的面积
S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
1.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
答案：2
2.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若2sin B＝sin A＋sin C，cos B＝，且S△ABC＝6，则b＝________.
解析：在△ABC中，由正弦定理可得，2b＝a＋c， ①
由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac×＝(a＋c)2－ac，②
由cos B＝，得sin B＝，故S△ABC＝ac×＝6， ③
由①②③得，b＝4.
答案：4
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为________．
解析：由cos 2A＝sin A，得1－2sin2A＝sin A，解得sin A＝(负值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×＝.
答案：
4.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，A＝45°，若三角形有两解，则边b的取值范围是________．
解析：由题可知，△ABC有两解的充要条件是bsin 45°<2<b，解得2<b<2.故b的取值范围是(2,2)．
答案：(2,2)
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c，△ABC的面积为5，则c＝________.
解析：由三角形面积公式，得×4×5sin C＝5，
即sin C＝.
又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°.
由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，
解得c＝.
答案：
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝________.
解析：∵S＝absin C＝＝＝abcos C，∴sin C＝cos C，即tan C＝1.∵C∈(0，π)，∴C＝.
答案：
解三角形应用举例 |
测量中的有关几个术语的意义及图形表示
名称 | 意义 | 图形表示 |
仰角与俯角 | 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角 | |
方位角 | 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° | |
方向角 | 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西)α | 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： |
[提醒] (1)方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述．
(2)将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况．
1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________m.
答案：50
2.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
解析：如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝＝＝10(m)．
答案：10
3．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝________n mile.
答案：5
4．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________km.
解析：由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝x km，则由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos 120°，
∵x>0，∴x＝－1.
答案：－1
5.某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10 m，则旗杆的高是________m.
解析：由题意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°，AE＝，
所以AD＝＝，因此CD＝ADsin 60°＝×sin 60°＝10(3－)．
答案：10(3－)
