2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第八章第三节　椭圆

第三节　椭圆

突破点一　椭圆的定义和标准方程

1．椭圆的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．

(1)若a＞c，则集合P为椭圆．

(2)若a＝c，则集合P为线段．

(3)若a＜c，则集合P为空集．

2．椭圆的标准方程

(1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程是＋＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.

(2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程是＋＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)，其中c2＝a2－b2.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)

(2)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　)

(3)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×

二、填空题

1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．

答案：4

2．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．

答案：(－6，－2)∪(3，＋∞)

3．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为____________．

答案：＋＝1

考法一　椭圆的定义及应用　

[例1]　(1)(2019·衡水调研)已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为(　　)

A.＋＝1　　　　        　B.－＝1

C.－＝1                   D.＋＝1

(2)(2019·齐齐哈尔八中模拟)如图，椭圆＋＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为(　　)

A.   B.

C.   D.

[解析]　(1)由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2＞|AF|＝2，

∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，∴b＝，

∴动点P的轨迹方程为＋＝1，故选D.

(2)设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则cos 60°＝＝＝，化简得，3mn＝4(a2－c2)＝4b2，∵b2＝4，∴mn＝，∴S△PF1F2＝mnsin 60°＝.故选D.

[答案]　(1)D　(2)D

[方法技巧]

椭圆焦点三角形中的常用结论

以椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的    △PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则

(1)|PF1|＋|PF2|＝2a.

(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.

(3) S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值为bc.

(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．　　

考法二　椭圆的标准方程　

[例2]　(1)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的方程为(　　)

A.＋＝1 

B.＋＝1

C.＋＝1 

D.＋＝1

(2)(2019·武汉调研)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为____________．

[解析]　(1)设F′为椭圆的右焦点，连接PF′，在△POF中，由余弦定理，得cos∠POF＝＝，则|PF′|＝＝8，由椭圆定义，知2a＝4＋8＝12，所以a＝6，又c＝2，所以b2＝16.

故椭圆C的方程为＋＝1.

(2)∵椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，

∴可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，

∵P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，

∴又a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝，c＝，

∴椭圆方程为＋＝1.

[答案]　(1)C　(2)＋＝1

[方法技巧]　待定系数法求椭圆方程的思路

1.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

解析：选B　由题意可得＝，2a＝6，解得a＝3，c＝1，则b＝＝，

所以椭圆C的方程为＋＝1.故选B.

2.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

解析：选A　依题意设椭圆G的方程为＋＝1(a＞b＞0)，∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，∴2a＝12，∴a＝6，∵椭圆的离心率为，∴e＝＝ ＝，即＝，解得b2＝9，∴椭圆G的方程为＋＝1，故选A.

3.P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左焦点和右焦点，过P点作PH⊥F1F2于点H，若PF1⊥PF2，则|PH|＝(　　)

A.   B.

C．8   D.

解析：选D　由椭圆＋＝1得a2＝25，b2＝9，

则c＝＝＝4，

∴|F1F2|＝2c＝8.

由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，

∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝82.

∴2|PF1|·|PF2|

＝(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|2＋|PF2|2)

＝100－64＝36，

∴|PF1|·|PF2|＝18.

又S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·|PH|，

∴|PH|＝＝.故选D.

突破点二　椭圆的几何性质

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a.(　　)

(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.(　　)

(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√

二、填空题

1．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．

答案：

2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．

答案：(0，±)

3．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________．

答案：＋＝1

考法一　椭圆的离心率　

椭圆的离心率是一个重要的基本量，在椭圆中有着极其特殊的作用，也是高考常考的知识点，主要考查两类问题：一是求椭圆的离心率；二是求椭圆离心率的取值范围．

[例1]　(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.   D.

(2)(2019·江西临川二中、新余四中联考)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B上下两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是(　　)

A．(0，－1)   B．(－1,1)

C．(0，－1)   D．(－1,1)

[解析]　(1)如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan ∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝.

(2)∵F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B上下两点，∴F1(－c,0)，F2(c,0)，A，B，∵△ABF2是锐角三角形，∴∠AF2F1＜45°，∴tan∠AF2F1＜1，∴＜1，整理得b2＜2ac，∴a2－c2＜2ac，两边同时除以a2，并整理，得e2＋2e－1＞0，解得e＞－1或e＜－－1(舍去)，∵0＜e＜1，∴椭圆的离心率e的取值范围是(－1,1)，故选B.

[答案]　(1)D　(2)B

[方法技巧]

1．求椭圆离心率的3种方法

(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．

(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．

(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．

[提醒]　在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．

2．求椭圆离心率范围的2种方法

考法二　与椭圆性质有关的最值范围问题　

[例2]　(1)(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)

A．(0,1]∪[9，＋∞)   B．(0， ]∪[9，＋∞)

C．(0,1]∪[4，＋∞)   D．(0， ]∪[4，＋∞)

(2)(2019·合肥质检)如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．

[解析]　(1)当0＜m＜3时，焦点在x轴上，

要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，

则≥tan 60°＝，即≥，

解得0＜m≤1.

当m＞3时，焦点在y轴上，

要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，

则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.

故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．

(2)由题意知a＝2，

因为e＝＝，

所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.

故椭圆方程为＋＝1.

设P点坐标为(x0，y0)．

所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.

因为F(－1,0)，A(2,0)，

＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，

所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.

则当x0＝－2时，·取得最大值4.

[答案]　(1)A　(2)4

[方法技巧]

与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法

(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．

(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．

(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．

(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．

[提醒]　求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．　　

1.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若·＝0，则椭圆的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　由题意知，M(－a,0)，N(0，b)，F(c,0)，∴＝(－a，－b)，＝(c，－b)．∵·＝0，∴－ac＋b2＝0，即b2＝ac.又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac.∴e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)．∴椭圆的离心率为，故选D.

2.如图，F1，F2是双曲线C1：x2－＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限内的交点，若|F1F2|＝|F1A|，则C2的离心率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　设椭圆的长半轴长为a.由题意可知，|F1F2|＝|F1A|＝6，∵|F1A|－|F2A|＝2，∴|F2A|＝4，∴|F1A|＋|F2A|＝10，∴2a＝10，∴C2的离心率是＝.故选C.

3.已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0＜＋y＜1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．

解析：由点P(x0，y0)满足0＜＋y＜1，可知P(x0，y0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a＝，b＝1，所以由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＜2a＝2，当P(x0，y0)与F1或F2重合时，|PF1|＋|PF2|＝2，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，故|PF1|＋|PF2|的取值范围是[2,2)．

答案：[2,2)