2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第四章第四节　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用

第四节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

突破点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

3.由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．(　　)

(2)将y＝3sin 2x的图象左移个单位后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)

答案：(1)×　(2)×

二、填空题

1．函数y＝sin的振幅为__________，周期为________，初相为________．

答案：　　

2．将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是________．

答案：y＝1＋cos 2x

3．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图，则点(ω，φ)的坐标是________．

答案：

考法一　函数y＝Asin(ωx＋)的图象及变换　

1．“五点法”画图

(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．

(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．

2．三角函数图象的变换

函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：

(1)A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；

(2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；

(3)φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．

[例1]　(2019·大庆实验中学期初)已知函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象(　　)

A．可由函数g(x)＝cos 2x的图象向左平移个单位长度得到

B．可由函数g(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度得到

C．可由函数g(x)＝cos 2x的图象向左平移个单位长度得到

D．可由函数g(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度得到

[解析]　由已知得，ω＝＝2，则f(x)＝cos的图象可由函数g(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度得到，故选D.

[答案]　D

[例2]　(2019·景德镇测试)已知函数f(x)＝4cos x·sin＋a的最大值为2.

(1)求a的值及f(x)的最小正周期；

(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．

[解]　(1)f(x)＝4cos xsin＋a

＝4cos x·＋a

＝sin 2x＋2cos2x＋a

＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a

＝2sin＋1＋a，

∵f(x)的最大值为2，

∴a＝－1，最小正周期T＝＝π.

(2)由(1)知f(x)＝2sin，列表：

画图如下：

[方法技巧]　三角函数图象变换的两个要点

考法二　由图象求函数y＝Asin(ωx＋)的解析式　

[例3]　(1)(2018·怀仁期末联考)若函数f(x)＝sin(ωx－φ)的部分图象如图所示，则ω和φ的值是(　　)

A．ω＝1，φ＝　　　　 B．ω＝1，φ＝－

C．ω＝，φ＝  D．ω＝，φ＝－

(2)(2019·武邑中学调研)已知函数f(x)＝Asinx＋φ，y＝f(x)的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，作PR⊥x轴于点R，点R的坐标为(1,0)．若∠PRQ＝，则f(0)＝(　　)

A.  B.

C.  D.

[解析]　(1)由图象可知，函数的周期为4－＝4π，所以ω＝＝，将代入y＝sin，又|φ|≤，得φ＝－，故选D.

(2)过点Q作QH⊥x轴于点H.设P(1，A)，Q(a，－A)．由函数图象得2|a－1|＝＝6，即|a－1|＝3.因为∠PRQ＝，所以∠HRQ＝，则tan∠QRH＝＝，解得A＝.又P(1，)是图象的最高点，所以×1＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又因为0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝sin，f(0)＝sin ＝.故选B.

[答案]　(1)D　(2)B

[方法技巧]

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法

(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；

(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝；

(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．　　

1.将函数f(x)＝cos 2x－sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数F(x)的图象，则下列说法中正确的是(　　)

A．F(x)是奇函数，最小值是－2

B．F(x)是偶函数，最小值是－2

C．F(x)是奇函数，最小值是－

D．F(x)是偶函数，最小值是－

解析：选C　f(x)＝cos 2x－sin 2x＝cos，则F(x)＝cos＝   cos＝－sin 2x，故选C.

2.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为6π，将其图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝sin ωx的图象，则φ等于(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选B　由题意得＝6π，∴ω＝.∴f(x)＝sin.将其图象向右平移 个单位长度后得到的

函数图象的解析式为g(x)＝sin＝sin＝sin x，∴φ－＝2kπ(k∈Z)．解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，∵|φ|<，∴φ＝.故选B.

3.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为(　　)

A．y＝－cos 2x  B．y＝cos 2x

C．y＝sin  D．y＝sin

解析：选C　设函数f(x)的最小正周期为T.由题图知，T＝π－，得T＝π＝，     ∴ω＝2；由f(x)的最大值为1，得A＝1，∴f(x)＝sin，将的坐标代入可得sin＋φ＝1，又∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝sin.f(x)的图象向左平移个单位长度，可得g(x)＝sin2x＋＋＝sin的图象．故选C.

突破点二　三角函数模型的简单应用

三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：

(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．

(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．

塔斯马尼亚·琼斯试图寻回丢失的Zambeji钻石．钻石是埋在死亡峡谷内4公里的一个地方，这里被野蛮的昆虫所侵扰．为了寻回钻石，塔斯马尼亚将要闯入这个峡谷，挖取钻石，并从原路返回．在这个峡谷中，昆虫密度是时间的一个连续函数．密度记为C，是指每平方米的昆虫数量，这个C的函数表达式为

C(t)＝

这里的t是午夜后的小时数，m是一个实常数．

(1)求m的值；

(2)求出昆虫密度的最小值和出现最小值时的时间t；

(3)如果昆虫密度超过1 250只/平方米，那么昆虫的侵扰将是致命性的，午夜后几点，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．

解：(1)因为C(t)是一个连续的函数，所以当t＝8时，得到C(8)＝1 000×(1＋2)2－1 000＝8 000＝m，即m＝8 000.

(2)当cos ＝－1时，C达到最小值．即＝(2k＋1)π，k∈Z，解得t＝10,14.所以在10：00和14：00时，昆虫密度达到最小值，最小值为0.

(3)令1 0002－1 000≤1 250，

则2≤2.25，∴cos ≤－0.5.

即2kπ＋π≤≤2kπ＋π，k∈Z，

4k＋≤t≤4k＋，k∈Z.

又8≤t≤16，∴tmin＝，即上午9：20，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．

解决三角函数实际应用题的4个注意点

(1)活用辅助角公式准确化简；

(2)准确理解题意，实际问题数学化；

(3)“ωx＋φ”整体处理；

(4)活用函数图象性质，数形结合．

1．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.

解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5，所以y＝23＋5cos，当x＝10时，y＝23＋5cos×4＝20.5.

答案：20.5

2.如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.

(1)求这一天的最大用电量及最小用电量．

(2)写出这段曲线的函数解析式．

解：(1)最大用电量为50万kW·h，

最小用电量为30万kW·h.

(2)由图象可知，8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，

∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.

∵×＝14－8，∴ω＝.

∴y＝10sin＋40.

将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.

∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．